תחומי פריקות יחידה

מבוא בסדרת הפוסטים על חוגים עד כה האבטיפוס שלי לחוג היה המספרים השלמים, \(\mathbb{Z}\). במובן מסויים זו נקודת מבט צרה מדי, כי \(\mathbb{Z}\) הוא בעל שתי תכונות שממש לא נדרשות בחוגים כלליים – ראשית, הכפל שלו הוא קומוטטיבי; שנית, הוא תחום שלמות, כלומר אין בו מחלקי אפס. למרות שזו מראש התמקדות במחלקה צרה יחסית של …

מה הולך פה?

ייתכן ששמתם לב שביומיים האחרונים האתר נעלם ועכשיו הוא חזר אבל נראה מזעזע. לא, לא חילקתי באפס. קרה הדבר שקורה לכולם – מישהו פרץ איכשהו לאתר והחדיר קוד זדוני, והייתי צריך להסיר את הכל ולשחזר מגיבוי, ועל הדרך להתקין את הגרסה העדכנית ביותר של וורדפרס. מכיוון שהיה לי חשוב שהאתר יחזור לפעילות כמה שיותר מהר …

חוגי שברים

הפוסט הקודם שלי על חוגים הציג בסופו "שיטה" ליצירת שדות (חוגים קומוטטיביים שבהם כל איבר שונה מאפס הוא הפיך) על ידי לקיחת חוג קומוטטיבי וחלוקה שלו באידאל מקסימלי. כאשר עושים את התעלול הזה עבור החוג \(\mathbb{Z}\), למשל, מקבלים את כל השדות מהצורה \(\mathbb{Z}_{p}\) של המספרים מ-0 עד \(p-1\) עם חיבור וכפל מודולו \(p\), עבור ראשוני …

האם פאי הוא מספר אינסופי?

אני רוצה לכתוב על נושא שכבר כתבתי עליו בבלוג לפני עשור בערך ועוד פעם לפני חמש שנים, אבל הפעם בצורה קצת פחות אגרסיבית מאשר בפעמים ההן (שבהן יצא שהתלוננתי על פופולריזציות בעייתיות של המתמטיקה) ובתקווה שעם הסברים טובים יותר. הנושא הוא לכאורה המספר \(\pi\) ("פאי") אבל כפי שנראה בהמשך, הוא מקיף קצת יותר מזה. השאלה …

מה הקשר בין חוגי פולינומים לאימות חומרה?

ביקשו ממני לכתוב פוסט שיתן שימוש כלשהו למה שדיברתי עליו על חוגים במדעי המחשב. ובכן, לא הצלחתי לחשוב על משהו מוחץ ממש. התחום השימושי ביותר הוא ככל הנראה תורת השדות, בפרט שדות סופיים, אבל אני לא מחשיב את התחום הזה כחלק מתורת החוגים אלא כתחום העומד בפני עצמו. האם אני יכול לשלוף מהשרוול דוגמא שמשתמשת …

אז למה דברים בחזקת 0 שווים 1?

שאלה שאני נתקל בה לא מעט ולא נראה לי שאי פעם עניתי עליה בבלוג היא למה להעלות דברים בחזקת 0 יוצא 1. זה אחד מאותם דברים שנלמדים בבית הספר ויכולים להרגיש שרירותיים מאוד אבל אפשר לתת להם הצדקה אינטואיטיבית בקלות רבה יחסית, ולומר עליהם עוד דברים מעניינים בנוסף. אז הנה הצדקה אינטואיטיבית. מה זו בכלל …

הומומורפיזמים, חוגי מנה, ואידאלים

עכשיו, אחרי שהבנו מהם חוגים, אפשר להתחיל לחקור אותם באופן כללי כפי שעשינו עם חבורות, והצעד המתבקש הראשון הוא חוגי מנה. מכיוון שהרעיון הבסיסי הוא זה שהיה בחבורות, בואו נזכר מה קרה בחבורות (ומי שיאבדו אותי – שילכו לקרוא את הפוסט בחבורות!). שם הייתה לי חבורה \(G\), שהפעם אתאר את הפעולה שלה בתור חיבור ולא …

אז למה 1 אינו מספר ראשוני?

אחת מההגדרות המוכרות ביותר במתמטיקה היא זו של מספר ראשוני: "מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו". רק שעם ההגדרה הזו מגיעה לפעמים ההסתייגות ש"בכל זאת, 1 אינו נחשב ראשוני" (למרות שהוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו. כן, עצמו זה גם כן 1), ואז כמובן מגיעה התהיה המתבקשת – למה. למה ש-1 לא יהיה ראשוני? האם יש בכך …

חוגים – מבוא קצת יותר פורמלי

הגדרות בסיסיות אחרי פוסט המבוא שלי על חוגים, אני רוצה לתת פוסט קצת יותר פורמלי וקונקרטי, ועם קצת פחות נפנופי ידיים ויותר דוגמאות קונקרטיות. נתחיל מההגדרה הבסיסית: חוג (Ring) מורכב מקבוצה \(R\) ושתי פעולות בינאריות מעליה שאני מסמן ב-\(+\) וב-\(\cdot\) (את הכפל אני לרוב לא מסמן בכלל, כלומר במקום \(a\cdot b\) אני כותב \(ab\)). אנחנו …

אז מה זה בעצם חוג?

סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת התחילה עם המון פוסטים על חבורות. עכשיו סיימנו את הנושא הזה, פחות או יותר, ואנחנו עוברים אל הנושא המתבקש הבא: חוגים. אבל מה זה חוג? באופן שבו מלמדים את זה על פי רוב, חוג הוא "חבורה שהוסיפו לה עוד משהו". זו לא דרך התבוננות רעה; בפרט, היא מאפשרת לקחת …

אינדוקציה שלמה ואינדוקציה רגילה

פנו אלי בשאלה פשוטה: איך מוכיחים את עקרון האינדוקציה השלמה מעקרון האינדוקציה הרגיל? ובכן, בואו נסביר על מה מדובר בכלל, ואיך מוכיחים. אינדוקציה "רגילה" היא דרך מקובלת במתמטיקה להסיק טענה כללית: מתחילים ממקרים פרטיים ספציפיים שבהם קל להראות את הטענה באופן מפורש, ואז מציגים "תבנית הוכחה" שהיא מהצורה "אם המקרה הפשוט הזה נכון, אז גם …

על הבעיה הקשה של מלכות השחמט והבעיה הקשה עוד יותר של מלקות התקשורת

נפתח עם התיאור הקולע ביותר שראיתי מימי של הקשר הבעייתי בין מדע ותקשורת, פרי מכחולו ועטו של חורחה צ'ם, היוצר של PHD Comics: הסיפור מתחיל עם חוקרים, שכותבים על פי רוב מאמר רציני ומפרסמים אותו בכתב עת רציני, שם הוא יזכה לתשומת לבם של עמיתים לתחום שיכולים להעריך את תוכנו. אבל הסיפור לא נגמר שם. …

המעשה המופלא בלוח המסתורי פלימפטון 322

בדיוק סיימתי פוסט על אחת מהתעלומות הגדולות במדעי המחשב – תעלומה בקושי בת עשור וקצת. נראה לי די מתאים, אם כן, לעבור לדבר על תעלומה במתמטיקה שהמקור שלה הוא בן אלפי שנים (אם כי הפולמוס סביב אותו מקור הוא בן פחות ממאה שנה) – התעלומה של לוח החרס הבבלי שנקרא "פלימפטון 322" ואפשר לראות כאן: …

המעשה המופלא בקבוע המסתורי 0x5f3759df (חלק ב' – הקשה)

בואו נמשיך את סיפור המעשה מהפוסט הקודם על קוד מסתורי שמחשב את \(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) בצורה יעילה עד להפתיע. אנחנו כבר כמעט מסוגלים להבין מה הקוד עושה באופן מלא, רק צריך קודם להבין את העניין הפעוט הזה של איך מספרים מיוצגים במחשב. פרק רביעי, ובו ביטים עושים דברים בגדול, אפשר לומר שחלק נכבד מהיקום כולל דברים שמורכבים …

המעשה המופלא בקבוע המסתורי 0x5f3759df (חלק א' – הקל)

למתמטיקאים יש את סיפורי המסתורין שלהם. המפורסם מביניהם הוא ככל הנראה הערה ששרבט פייר דה פרמה בשולי ספר ה"אריתמטיקה" של דיופנטוס שלו, שבה העיר שהכללה של טענה שהופיעה בספר היא שגויה תמיד וש"בידי הוכחה מופלאה למשפט אך שולי ספר זה צרים מלהכילה". הערת השוליים הזו לא פורסמה על ידי פרמה בימי חייו והיא התגלתה רק …

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות (סוג של אפילוג)

אפשר לדבר על חבורות עוד ועוד ועוד ועוד וזה לעולם לא יסתיים. לרוב מפסיקים את הדיבור הבסיסי אחרי שמציגים מספיק דברים בסיסיים שאפשר להשתמש בהם בכל רחבי המתמטיקה, וזה גם מה שאני בוחר לעשות. כדי להצדיק את המקום שבו אני עוצר, אני רוצה להקדיש את פוסט הסיכום והנעילה הזה להמחשה עד כמה אפשר לדבר על …

בואו נמיין חבורות!

מבוא בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות היעד הצנוע שאני שואף אליו הוא להבין בדיוק איך נראות כל החבורות עד וכולל סדר 20. למה היעד השרירותי הזה? כי כדי להגיע אליו אנחנו זקוקים בדיוק לסט הכלים והמושגים הבסיסיים של תורת החבורות; מיון החבורות עד סדר 20 זה פשוט דרך לצאת "לשטח" ולראות איך זה בא …

קומוטטורים וחבורות פתירות

סדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות התחילה ברובה עם חבורות אבליות, כאלו שבהן \(ab=ba\). חבורות כאלו, הזהרתי מראש, הן פשוטות יחסית. בפוסטים האחרונים אנחנו לאט לאט נוגעים בכל מני חבורות לא אבליות מעניינות כמו חבורת התמורות והחבורה הדיהדרלית, ומדברים על מושגים שיש להם משמעות רק בהקשר של חבורות לא אבליות כמו מכפלה חצי ישרה. גם …

למה מינוס כפול מינוס זה פלוס?

מבוא ביקשו ממני להסביר דבר פשוט לכאורה שכולם לומדים בבית הספר היסודי: שמינוס כפול מינוס הוא פלוס. אם לדבר קונקרטית, ש-\(\left(-3\right)\times\left(-5\right)=15\). למה? למה זה נכון? לשאלה הזו יש שתי תשובות מיידיות. הראשונה היא שזה נובע מייד מהתכונות הבסיסיות של כפל ומהאופן שבו מוגדרים המספרים השליליים. זו התשובה הנכונה מבחינה מתמטית, והיא כמובן תשובה איומה ונוראה, …

מכפלות חצי ישרות

מבוא במסגרת העיסוק שלנו בחבורות ראינו עוד ועוד דרכים לתאר חבורות ולבנות חבורות חדשות מחבורות קיימות. עכשיו הגיע הזמן לסגור את החור האחרון שאני רוצה לסגור כרגע (למרות שכמובן, זה רחוק מלהיות סוף הסיפור באופן כללי) ולהראות בניה כללית וחזקה למדי – בניה של מכפלה חצי ישרה, שהיא סוג של הכללה של המכפלה הישרה שהראיתי …