ללא גבולות

$latex \pi$ (ובעברית פאי), הוא מספר קסום. לך תייצג אותו. אין משוואה פולינומית עם מקדמים שאנחנו יודעים לייצג שהוא פתרון שלה, והוא בטח ובטח לא מנה של שני מספרים שלמים או משהו דומה. אין קץ לספרות בפיתוח העשרוני שלו, ואין בהן שום מחזוריות. הקשר היחיד שלנו אליו הוא הקונספט (המילה הלועזית הזו נראית לי מתאימה משום מה) שמאחוריו: יחס בין היקף המעגל לקוטרו. כמובן שזה לא עוזר לנו, אלא ההפך: אומר שאם את קוטר המעגל אנחנו מסוגלים לייצג בצורה נוחה, לא נצליח לעשות דבר דומה להיקף, ולהפך.

אז מה עושים? מקרבים.

תעשיית קירוב פאי היא נושא לפוסט בפני עצמו. בדרך כלל כשמציגים את פאי, כותבים משהו כמו $latex \pi=3.14159265\dots$ – כאן שלוש הנקודות הן חשובות מאוד, שכן הן אומרות "כאן זה לא נגמר – זה נמשך עד אין קץ". כמות הספרות שבהצגה הזו מספיקה לרוב הצרכים המעשיים שלנו – אם נחליף את פאי במספר $latex 3.14159265$ (הפעם בלי שלוש נקודות), לא נרגיש בהבדל אלא אם אנו עוסקים בחישובים מאוד רגישים (ובואו נודה בזה – קרוב לודאי שאנחנו לא), אולם מסתבר שהרצון לחישוב פאי כלל לא מונע ממניעים תועלתניים בזויים שכאלו.

שיטה לחישוב פאי הומצאה כבר בימי יוון העתיקה בידי ארכימדס (שמצא שיטה לקירוב שטח המעגל – שהוא כידוע פאי כפול הרדיוס בריבוע – ואם בוחרים רדיוס שקל למדוד, קל לגלות את פאי בעזרת ידיעת שטח המעגל) ומאז הומצאו עוד עשרות – אם לא מאות – שיטות אחרות. אני מודה שאין לי מושג מה השיטה שבה משתמשים מחשבים כרגע, אולם היא כנראה לא רעה שכן חושבו כבר ביליון ספרות של פאי, או משהו בסגנון. כדי לומר משהו על רמת המופרכות של חישוב שכזה אעיר שעל פי חישוב מהיר (ושגוי?) שביצעתי, כדי לשמור את כל הספרות הללו בזכרון מחשב (בהנחה שצריך 4 ביטים כדי לשמור ספרה עשרונית), יש צורך ב-3725.3 ג'יגהבייט.

פרט לכך הפולקלור של פאי עשיר – יש "יום קירוב פאי" (3/14), יש סרט קולנוע בשם "פאי" שמנסה להציג מתמטיקאי כמטורף גדול עוד יותר מאשר "נפלאות התבונה", יש שיר בשם "פאי" של קייט בוש, שבו היא שרה, בין היתר, את מאה הספרות הראשונות של פאי (עם קפיצה כלשהי באמצע), יש ויכוח ארוך על מידת הדיוק של מופע פאי בתנ"ך (פשוטו של הכתוב הוא שפאי שווה 3; בפועל, התחכמויות מצליחות להעלות את רמת הדיוק בצורה מפתיעה) ויש אגדה אורבנית על חוק שהועבר במדינה אמריקאית נחשלת שמטרתו היה לקבוע אחת ולתמיד שפאי שווה 3 (האמת קצת פחות משעשעת אבל עדיין מעניינת). על כל אלו אני מקווה לכתוב פוסט נפרד מתישהו.

מה ניסיתי לומר כאן? שקירוב הוא דבר טוב. כל מה שדיברתי עליו לעיל עוסק בקירובים שונים ומשונים של פאי. מהי בעצם מהותו של קירוב שכזה?

בשפת היום-יום, קירוב למספר $latex A$ הוא מספר $latex B$ ש"קרוב" אליו. אוזניים תצילנה! מה זה "קרוב"? למופע של מרכאות בטקסט מתמטי אותו אפקט כשל הופעת נוסחה בספר מדע פופולרי (שמצמצמת את מספר הקוראים בחצי, אם להאמין למה שכתב סטיבן הוקינג בהקדמה ל"קיצור תולדות הזמן"). הבעיה היא שלא ניתן לתת פרשנות מניחה את הדעת למושג זה. נניח שבעיני "קרוב" פירושו "ההפרש בין $latex A$ ובין $latex B$ הוא אלפית" – את מי זה מעניין? יבוא המהנדס שצריך להנחית חללית על הירח ויגיד שבעיניו קירוב טוב הוא שההבדל ביניהם הוא מיליונית, וכן הלאה.

לכן עדיף לחשוב על קירובים בתור סדרה של מספרים "קרובים", כשבמקרה הזה "קרובים" פירושו "קרובים עד כמה שאתה רוצה". רוצה משהו שקרוב עד כדי מיליארדית? בבקשה, לך לאיבר ה-1,000 בסדרה, הוא קרוב מספיק. רוצה טריליונית? לך לאיבר ה-1,002, הוא קרוב מספיק – וכו', וכו'.

במתמטיקה הומצא פורמליזם שיגדיר במדוייק את הכוונה האינטואיטיבית שעליה אנו חושבים כאן (זה לא קרה מייד – בין הצורך ובין ההמצאה עברו למעלה ממאה שנים, שבמהלכן השתמשו במתמטיקה במושגים מעורפלים וזכו לקיתונות של בוז – וזאת למרות שהתוצאות שהושגו בעזרתם היו מרשימות ביותר) . הפורמליזם הזה נקרא "גבול" (במקרה שלנו, של סדרה). לא אתאר אותו במדוייק, שכן ההגדרה הפורמלית קשה לעיכול, ומהווה את אחד המכשולים המרכזיים שאיתם צריכים סטודנטים שנה א' למתמטיקה להתמודד. די אם אעיר שה"קרוב עד כמה שאתה רוצה" מחודד עוד יותר – מובטח שהסדרה גם לא מסוגלת להתרחק יותר מדי מהמספר שהיא "מקרבת".

סדרה שמקרבת את פאי יכולה להיראות כך, למשל: $latex 3, 3.1, 3.14, 3.141,3.1415\dots$. שלוש הנקודות כאן מציינות שהסדרה היא אינסופית, אבל כבר הבנתם את הרעיון – בכל איבר בסדרה אנו מגבירים את הדיוק על ידי הוספת ספרה אחת נוספת. וכל אחד מהאיברים בסדרה הזו הוא מספר רציונלי, ולכן "פשוט" יחסית: למשל, המספר $latex 3.141$ הוא פשוט המספר $latex \frac{3141}{1000}$ בתחפושת עשרונית.

בדומה, ניתן לקרב באמצעות סדרה של מספרים רציונליים כל מספר ממשי, וכאן גם לב הבעיה שנתנה מוטיבציה לאחת מהגדרות המספרים הממשיים: קיימות סדרות של מספרים רציונליים שמתנהגות כאילו הן "רוצות להתכנס", אבל אין מספר שהן מתכנסות אליו בתוך מערכת המספרים הקיימת שלנו.

מה פירוש "רוצות להתכנס"? לסדרות מתכנסות יש תכונה (שנובעת מהפורמליזם המתמטי שאליו כאמור איננו נכנסים) שאבריהן הולכים ומתקרבים זה לזה ככל שהסדרה מתקדמת ("הסדרה מתקדמת" פירושו "אנחנו מסתכלים על איברים בעלי אינדקסים גדולים יותר ויותר"). סדרות שמקיימות תכונת "התקרבות" כזו מכונות "סדרות קושי", על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי, מחלוצי הפורמליזם של התחום הזה ומתמטיקאי פורה בצורה בלתי רגילה (שמו מוזכר כמעט בכל קורס לתואר ראשון בפקולטה למתמטיקה).

והנה, שוד ושבר, יש סדרות קושי שאין מספר רציונלי שהן מתכנסות אליו – למשל, סדרת המספרים שמתכנסת אל פאי שהצגתי לעיל היא כזו. היא אמנם מתקרבת אל פאי, אבל בדרך היא מתרחקת מכל מספר רציונלי שהיא עוברת – ופאי, כאמור, אינו רציונלי. לכן בצורה ציורית ניתן לומר שיש לנו "חור" בציר המספרים

כדי לפתור את הבעיה הזו, עושים משהו שעל פניו נראה, כרגיל, כמו רמאות: מוסיפים מספרים למערכת המספרים שלנו שמתאימים לכל סדרת קושי שאינה מתכנסת לגבול שכבר במערכת. בפועל, יש פורמליזם מתמטי מוצק גם מאחורי הבניה הזו, ואף ניתן להכליל אותה לעולמות מתמטיים מורכבים יותר, אך לא אכביר פרטים כאן. רק אומר שהרעיון הבסיסי, שהוצע בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1872, הוא להגדיר את המספרים עצמם בתור סדרות. קודם, כשבנינו את הרציונליים, הגדרנו אותם בתור זוגות של מספרים שלמים; כעת, בבנייה של הממשיים, אנחנו מגדירים כל מספר ממשי בתור סדרה אינסופית של מספרים רציונליים (למעשה, שוב יש לנו בעיית ייצוגים – יש כמה סדרות שמתכנסות לאותו מספר – ולכן שוב חושבים על כולן כמייצגות את אותו הדבר ובוחרים "נציג מוסכם"). כאן טמונה הבעייתיות העצומה שבמספרים הממשיים, להבדיל מכל שאר הבניות (ובפרט, מהמספרים המרוכבים שאליהם טרם הגענו) – הבניה שלהם משתמשת בצורה חזקה מאוד במושג האינסוף: אנחנו בונים עצמים שהתיאור של כל אחד מהם הוא אינסופי!

קשה להדגיש את חשיבות העובדה הזו. אני מקווה להראות בעתיד שנובע ממנה, למשל, שאת רובם המוחץ של המספרים הממשיים אין שום דרך לחשב (את פאי, לעומת זאת, כן אפשר לחשב – כאמור, לא חסרות שיטות לקרב אותו עד לכל ספרה אפשרית, כל עוד יש לנו מספיק זמן וזכרון מחשב). בשל העובדה הזו, לטעמי הבנייה המוטלת ביותר בספק, הבעייתית ביותר והמטרידה ביותר היא זו של המספרים ה"ממשיים".

$latex \pi$ הוא יצור מוזר בתכלית. לא $latex i$.

17 תגובות בנושא “ללא גבולות”

  1. תובנות מרתקות.

    אגב, נזכרתי בסיפור הזה, שאני צריך לקרוא שוב, אבל למיטב זכרוני הוא ריגש אותי כשקראתי אותו בעבר.

    ציטוט לא מייצג:

    המספרים האלה הם מספרים שלא מאפסים אף פולינום בעל מקדמים
    רציונליים. במילים אחרות- קשה מאד לנסח את השאלה, שהם מהווים תשובה עליה […]
    חלק הארי של המספרים , האינסוף האמיתי, הגדול, השלם-
    מורכב ממספרים שאין לנו מושג איך לגשת אליהם, הגלקסיה שלנו
    מורכבת כמעט כולה מתשובות ללא שאלות.
    אני נזכר לפעמים, באחד ממורי באקדמיה, שהתרגש כולו כשגילה לנו
    את העובדה הזו. העובדה שאנחנו מכלים את ימינו בגישוש אחר
    תשובות לשאלות חסרות המענה שבידינו, כשאנחנו מוקפים עד מחנק
    באינסוף תשובות ללא שאלות, ואנחנו מתעלמים מהם, רק בגלל שאיננו
    מצליחים לנסח לעצמנו את השאלה שתספק לנו את המנוחה שבידיעה
    שאכן אנחנו זקוקים להם.

    (מי שאין לו כוח לקרוא את כל הסיפור, יכול לקרוא לפחות את הקטע שציטטתי, ומיד אחריו את הפיסקה האחרונה בסיפור.)

  2. גם אני ממוקסמי פאי, ולאו דוקא מסיבות מתמטיות (וגם לא מסיבות גסטרונומיות).
    פאי מזכיר לי את המשפט היחיד הזכור לי מלימודי המתמטיקה:

    This function demonstrates the intimate relationships between the functions e and π

    הפונקציה כבר נשכחה ממני, אבל אלפוס, מחבר ספר האינפי שיחסים אינטימיים אינם זרים לו נשאר עמוק בתודעתי (את הספר לא מצאתי בחיפוש חפוז ברשת). ועתה עלה בדעתי שאולי הוא אפילו שייך לעץ המשפחה שלי (אלפוס, לא פאי)!

    יופי של בלוג!

  3. "מופע של מרכאות בטקסט מתמטי אותו אפקט כשל הופעת נוסחה בספר מדע פופולרי"

    אבל אני מעולם לא ראיתי ספר מתמטי (אולי פרט לספרים שניסו ללא הצלחה לבסס את המתמטיקה בתחילת המאה שעברה) בו כל המשפטים/הוכחות כתובים בשפה פורמלית (exist in forall) ללא הרבה מילים. כנראה כי ספר כזה לא היה קריא ולכן היה נכשל.

    אז צריך לשמור איזון בין מילים לנוסחאות…

  4. כמובן, אבל אין הכוונה לכל טקסט כתוב, אלא לטקסט כתוב שסביבו מרכאות שמשמעותן "זה שם פורמלי" או "זה תיאור לא מדוייק". כמובן שגם כאלו יש בספרים מתמטיים – בפרט, בהקדמות לחלקים, לפני שנכנסים לפרטים – אבל הן לא נפוצות במיוחד, ולרוב מגיעה אחריהן "התנצלות" שאומרת "מה שאמרנו כרגע לא מדוייק, תכף נגיע לפירוט".

  5. ניטפוק: 4 ביטים לכל ספרה אומר 2 ספרות בבייט, מה שאומר שביליון ספרות נכנסות בחצי ביליון בייטים, או 500MB.
    אני חושב שהתבלבלת בין ביטים לבייטים וגם פספסת בשלושה סדרי גודל…
    אה, ויופי של בלוג!

  6. ב"ביליון" הכוונה הייתה ל"אלף מיליארדים" (באמריקה "ביליון" זה מיליארד, אבל למיטב הבנתי בארץ זה שונה), אבל עושה רושם שבאמת התבלבתי בין ביטים לבייטים, אז צריך לחלק את התוצאה שלי בשמונה (מה ששומר על סדרי הגודל).

  7. בדיוק הרגע קלטתי שאולי לזה התכוונת. אם תשאל אותי, "טריליארד" זה מושג אפילו יותר גרוע מהאונקיות והיארדים, אבל זה עניין של טעם.

  8. שלום גדי ואיזה יופי של בלוג!
    רק כדי לראות אם הבנתי נכון את הנקודה:
    הסדרה הזו שמתכנסת לפאי, מה החוקיות שלה? אין לה כמובן שום חוקיות.
    ז"א אין פונקציה שתיתן את a_n בהינתן n.
    אז זו לא ממש סידרה, אלא יותר רצף אקראי של מספרים.
    לעומת זאת סדרות אינסופיות שמייצגות מספרים רציונליים, כן יש בהן סדר: חזרה אינסופית של אותו רצף. למשל 0.14285714285714285714285 … הוא 1/7
    אז מה שאתה אומר בעצם זה שיש *הרבה* יותר סדרות אקראיות מאשר כאלה עם חוקיות? ושהן סותמות את החורים על ציר הרציונלים? ככה לפחות אני הבנתי את זה. תקן אותי אם אני טועה.
    תודה רבה.

  9. היי אמיר. בהחלט יש בה חוקיות, ובהחלט יש פונקציה שתיתן את a_n בהינתן n, זו פשוט לא חוקיות שקל לכתוב בצורה פשוטה עם סימונים מתמטיים אלמנטריים בלבד. יש, למשל, אלגוריתם שמחשב את פאי לכל קירוב שרק נרצה, ולכן אם ניתן לו כקלט מספר n הוא יוכל (לאחר חישוב) להחזיר את a_n כפלט. במובן זה יש חוקיות בסדרה, אם כי אכן יש הרבה אמת בטענה שהספרות בפיתוח של פאי "נראות אקראיות" (למעשה, זוהי שאלה פתוחה במתמטיקה האם הם אכן אקראיות, על פי מובן מוגדר היטב שמאפשר לייחס אקראיות לסדרה הקבועה הזו – בניסוח המקובל, השאלה היא האם פאי הוא מספר נורמלי).

    החוקיות של הרציונליים פשוטה במיוחד – אפשר לתאר כל מספר רציונלי באמצעות סדרה *סופית* של ספרות. מה שאני אומר הוא בדיוק שיש *הרבה* יותר סדרות שלא ניתנות לתיאור כזה מאשר כאלו שכן, והן סותמות את החורים המדוברים.

  10. תודה על ההסבר. ברשותך, עוד הבהרה קטנה.
    אם כך, יש הרבה סדרות שלא ניתנות לתאור באמצעות סדרה סופית של ספרות, או רצפים סופיים שחוזרים על עצמם אינסוף פעמים. פאי הוא אחת מהן ויש אלגריתמים לחישוב ספרותיו. אבל פאי הוא רק טיפה בים. מה ידוע על שאר האי-רציונליים במובן של איך לחשב אותם? האם יש כאלה שהוכח שאי אפשר לחשב אותם?אולי הם מתחלקים לכאלה שאפשר לחשב וכאלה שלא? ואולי זו בעיה פתוחה (ומרתקת)?
    ייתכן והתשובה היא בפוסט מאוחר יותר. אני קורא אותם לפי הסדר הכרונולוגי.
    שוב תודה.

  11. אכן, יש מושג שנקרא "מספר חשיב" – בינתיים אין לי פוסט עליו. בפוסט מאוחר יותר שעוסק בתורת הקבוצות אני מוכיח בנפנוף ידיים שהמספרים שניתנים לחישוב הם רק טיפה בים ושאת הרוב המוחץ של האי רציונליים לא ניתן לחשב. הרעיון הבסיסי בהוכחה הוא שאלגוריתם, בכל הגדרה סבירה שלו, הוא אובייקט בעל תיאור סופי, ויש רק אינסוף בן מניה של אובייקטים שכאלו, בזמן שיש מספר לא בן מניה של מספרים אי רציונליים.

    1. אכן, לצערי יש באג לא ברור בוורדפרס שמעלים לי פוסטים מסויימים ולא הצלחתי עדיין לגלות למה. הטקסט של הפוסט עצמו עדיין קיים במסד הנתונים והוא פשוט לא מוצג. אני מקווה שזה יתוקן באחד העדכונים הקרובים.

  12. הפוסט נעלם משום מה, אך אני קורא אדוק של כל הבלוג וחבל לי לפספס פוסט שנשמע מעניין
    אם תוכל לשלוח לי את הפוסט לאימייל זה יהיה נהדר!

    תודה לך מראש

    damikem@gmail.com

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *