כמה מעלות טובות לרדיאן עלינו

אחד מהחיפושים שהוביל נפש תועה לשווא אל הבלוג הזה היה "כמה מעלות אלגברה פאי". הניחוש שלי הוא שפשר השאלה הוא איך פאי, ברדיאנים, מתרגם למעלות. זה תירוץ מצויין לדבר קצת על מהם רדיאנים ולמה פתאום, באמצע הלימודים הבית ספריים, מפסיקים להשתמש במעלות ועוברים לדבר עליהם. לשם כך קודם כל צריך לדבר על מה שבכלל מודדות הן מעלות והן רדיאנים – זווית. זו אולי נראית שאלה פשוטה ומטופשת, אבל מהי בעצם זווית?

זווית
הדרך הטובה ביותר שאני מכיר לתאר זווית היא פשוט בתור "כמות סיבוב". נהוג לחשוב על זה כך: קחו שני קווים ישרים בעלי נקודת התחלה משותפת ואותו אורך (פורמלית קוראים לשני דברים כאלו "קטעים", כי קו הוא אינסופי, אבל מה זה חשוב). ה"זווית" שבין שני הקווים היא כמות הסיבוב שנדרשת כדי להניח אחד מהם על השני. תכף ומייד מתברר שההגדרה הזו היא מה שמכונה במתמטיקה "לא מוגדרת היטב", פשוט כי יש שתי דרכים לסובב את הישרים כך שיונחו אחד על השני – הדרך הקצרה והדרך הארוכה (אורך שתיהן שוות רק כששני הקווים פונים לכיוונים מנוגדים). מכאן שכל שני קווים מגדירים שתי זוויות ולא אחת.

אם כן, זוהי זווית, אבל כדי למדוד אותה יש צורך ביחידות (אי אפשר להגיד "סיבוב קצר", "סיבוב קצת יותר גדול" וכדומה). בשביל לעשות זאת, רצוי להתחיל מסיבוב "מלא" (לוקחים קו; מסובבים אותו סביב ציר שנמצא באחת מנקודות הקצה שלו, עד שהוא חוזר למקום שבו היה בהתחלה; מודדים את כמות הסיבוב שנדרשה לשם כך) ולהגיד כמה יחידות הוא מכיל. על פניו, הגדרה "טבעית" תהיה להגיד שסיבוב מלא הוא יחידה אחת, כלומר 1, ולכן רבע סיבוב (שיוצר את מה שמכונה "זווית ישרה") יהיה בגודל 1/4, וכן הלאה. זה לא רעיון מופרך, אך לא משתמשים בו.

מה שכן משתמשים בו, לפחות בהתחלה, הוא מעלות. לסיבוב המלא נותנים שרירותית את הגודל 360 מעלות, ואז זווית ישרה תהיה בת 90 מעלות, למשל. למרות שזו החלטה שרירותית לכאורה, יש בה הגיון רב. היא ככל הנראה נובעת מהבבלים הקדמונים, שהייתה להם חיבה למספר 60 (הוא היה בסיס מערכת הספירה שלהם, שהייתה מתקדמת מאוד לזמנה), וייתכן מאוד שהושפעה מכך שיש 365 ימים בשנה. היתרון הברור של 360 על פני 1 הוא שאת 360 אפשר לחלק בהמון דרכים שונות, ולכן לתת ייצוג מספרי פשוט (במספרים שלמים, במקום בשברים) להמוני זווית קטנות שהן שבר פשוט של סיבוב שלם ($latex 360=2^33^25$ ולכן אפשר לייצג במעלות שלמות דברים כמו "חצי סיבוב", "רבע סיבוב", "שמינית סיבוב", "שליש סיבוב", "תשיעית סיבוב", "חמישית סיבוב", "עשירית סיבוב", וכדומה). למעשה, אפשר לקבל אישוש כלשהו לכמה השיטה הזו מוצלחת בכך שעד היום אנחנו משתמשים בה למרות שהמספרים שלה אינם "טבעיים" כמו כפולות של 10, ובוודאי שאינם "טבעיים" כמו הרדיאנים שתכף אציג.

אם כן, במשך רוב שנות בית הספר, ובפרט בלימודי הגאומטריה האוקלידית, משתמשים במעלות ותו לא. גם בחיי היום יום משתמשים במעלות. הרדיאנים צצים לראשונה בדרך כלל רק כשהתלמידים מגיעים ללימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. רק על עצמי לספר ידעתי: כשלימדו אותי את המושג לראשונה, לא הבנתי כלום. בפרט לא הבנתי למה צריך אותו ואיך מגיעים אליו. כל מה שהבנתי הוא את נוסחת המעבר ממדידה במעלות למדידה ברדיאנים, וגם אותה שכחתי כל הזמן. מה לעשות – אחרי שמתרגלים למעלות, מדידה באמצעות פאי נראית לא טבעית בעליל. האתגר הקשה של הצגת הרדיאנים הוא המוטיבציה לקיומם; אומרים שהם "טבעיים", ומצד שני, קשה להסביר למה למישהו שטרם למד חשבון דיפרנציאלי. אעדיף קודם להציג אותם ורק אחר כך להגיע לנימוק בדיוק מסיבה זו – כדי שגם מי שטרם נתקל בחשבון דיפרנציאלי יוכל לפחות להבין על מה מדובר כשמדברים על רדיאנים.

הצעתי קודם שיטה אחרת למדידה – לוקחים את "הסיבוב המלא" בתור 1. מהו "הסיבוב המלא" המדובר? אם מסתכלים על נקודת הקצה השנייה של הקו הישר שמסובבים, רואים שכאשר מסובבים אותו סיבוב מלא, הוא יוצר מעגל (תזכורת לשונית קטנה – מעגל הוא כל הנקודות שנמצאות על שפת הצורה שנוצרת. עיגול הוא גם ה"בפנוכו" של הצורה הזו). כאשר מסובבים אותו סיבוב חלקי, הוא יוצר חלק ממעגל – מה שמכונה "קשת" (Arc). כעת, למעגל כבר קיימים שני גדלים מדידים שמשוייכים אליו – הרדיוס שלו, והיקפו. הרדיוס של מעגל הוא מרחק הנקודות של המעגל מנקודת המרכז שלו. מכיוון שנקודת המרכז שלנו היא אחת מקצוות הישר שמסובבים, וכל נקודה על המעגל נמצאת על קצהו השני של הישר, הרדיוס במקרה הזה הוא אורכו של הישר שמסובבים. כעת, היקף המעגל תלוי ברדיוס – מן הסתם מעגלים בעלי רדיוס גדול יותר יהיו בעלי היקף גדול יותר – אך בכל זאת הוא קבוע במובן מסויים – היחס שלו ושל הרדיוס הוא מספר קבוע (למיטב זכרוני, ההוכחה נובעת מתכונות דמיון משולשים, בנוסף להגדרה המדוייקת של "היקף", אך לא ניכנס לכך בינתיים). כלומר, אם מגדילים את הרדיוס של מעגל פי 2, גם היקפו גדל פי 2. זהו קשר פשוט ונאה מאוד. כדי שאפשר יהיה לקשר את הרדיוס וההיקף באמצעות נוסחה פשוטה כדאי לתת סימון לקבוע של היחס בין ההיקף והרדיוס; בפועל, ניתן סימון לקבוע של היחס בין ההיקף וקוטר המעגל (קוטר המעגל הוא אורך כל ישר שמחבר שתי נקודות על המעגל ועובר דרך המרכז – אורכו הוא פעמיים הרדיוס). הסימון הזה הוא פאי, $latex \pi$. בשל כך, מתקיים הקשר הבא בין הרדיוס $latex r$ ובין ההיקף $latex c$: $latex c=2\pi r$.

איך זה מתקשר לרדיאנים? ובכן, הלך המחשבה הוא זה: במקום להגדיר שרירותית את גודל הסיבוב של "מעגל שלם" בתור המספר 1 או המספר 360, אפשר להשתמש בגודל "טבעי" שכבר קיים עבורו – היקפו. הבעיה היא שההיקף, כאמור, אינו קבוע ותלוי ברדיוס המעגל. אם כן, כדי לקבל מספר קבוע, מגדירים את גודל הסיבוב של "מעגל שלם" בתור היקפו חלקי רדיוסו – מקבלים שגודל הסיבוב הזה הוא המספר $latex 2\pi$.

אורך קשת

כעת יש לנו גם אפשרות למדוד זוויות אחרות: באופן כללי, כשנתונה לנו זווית באמצעות שני ישרים שווי אורך, מהסוג שתיארתי קודם, אפשר לחשב את אורך הקשת שמחברת אותם (במובן מסויים זהו המרחק שהישר הראשון צריך לעבור עד שיגיע אל הישר השני – שכן הוא נע בסיבוב ולא בצורה ישרה, ולכן הקו הישר שמחבר בין שתי קצוות הישרים אינו המרחק האמיתי ביניהם) ולחלק באורכם. לרוב כדי להימנע מכל החלוקה הזו, פשוט מגדירים את הזווית באמצעות שני ישרים שאורכם 1. ה"יחידות" של אופן המדידה הזה נקראות "רדיאנים" – אבל למעשה, אלו אינן יחידות שרירותיות; מכיוון שאפשר להגדיר את הרדיאן בצורה פורמלית בתור אורך חלקי אורך (אורך הקשת חלקי אורך הישר שמסובבים), היחידות הן של מספרים "טהורים" – מה שמכונה בפיזיקה "גודל חסר ממד" (כלומר, שאינו תלוי במערכת המדידה שלנו). יתר על כן, הצלחנו לקשר את הכמות שמתארת זווית לכמות שמתארת מושג מרכזי עוד יותר – אורך, ולכן הרדיאנים הם אכן יחידות "טבעיות". את היתרון של ה"טבעיות" הזו אראה בפוסט הבא.

הקשר בין מעלות לרדיאנים הוא, בתקווה, קצת יותר ברור כעת: אם במעגל יש 360 מעלות (שמסומנות $latex 360^\circ$) ו-$latex 2\pi$ רדיאנים, אז מתקיים הקשר $latex 2\pi=360^\circ$. לכן, מעלה אחת היא $latex \frac{\pi}{180}$ רדיאנים, ואילו רדיאן אחד הוא $latex \frac{180}{\pi}$ מעלות. בפרט, בתשובה לשאלה שפתחה את הדיון הזה, פאי רדיאנים הוא בדיוק 180 מעלות.

ומה על המוטיבציה? ובכן, אני מתכנן לזרוק לחלל האוויר בפוסט הבא את סינוס וקוסינוס, ואת הגבול $latex \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$, ואולי גם טיפה טורי פורייה; אבל אשמח לשמוע עוד דוגמאות למקומות שבהם נוח להשתמש ברדיאנים ולא במעלות (וגם אשמח לראות הוכחה פורמלית לכך שפאי קבוע, אם כבר מדברים על כך, או הפניה לספר שמוכיח זאת).

25 תגובות בנושא “כמה מעלות טובות לרדיאן עלינו”

  1. אני מלמד לבגרות במתמטיקה 4 יחידות, ובדיוק השבוע היה לי ויכוח עם תלמיד לגבי מעלות ורדיאנים. הטענה שלו היתה שמכניסים להם רדיאנים רק כדי לבלב אותם ושמעלות זה היחידה הטבעית לעבודה. כשניסיתי להסביר לו שהחלוקה למעלות היא שרירותית הוא לא הבין על מה אני מדבר. שאלתי אותו אם הוא יודע להסביר למה יש בסיבוב שלם דווקא 360 מעלות, והוא אמר "כי ככה זה, בסיבוב יש בדיוק 360 מעלות!" 😉

  2. חזי, התלמיד שלך צודק. על קביעות שרירותיות מקבלים תשובות שרירותיות… 🙂

    אבל לענייננו,
    יש סיבה מאד פשוטה למה רדיאנים נחשבים ליחידה מדידה טבעית. הסיבה היא "טוהר המידות" או ליתר דיוק "תואר יחידות המידה". מתמטיקאים לא אוהבים גדלים שרירותיים, ורדיאן הוא בפירוש לא כזה. הרדיאן הוא יחס בן אורכים, וככזה אין לו "יחידות". לא משנה מה יחידת המידה לאורך (מטרים, אינצ'ים, רגל וכו'), היחס תמיד יהיה אותו יחס – ולכן גודלו של רדיאן אחד איננו תלוי בשום צורה שהיא בשום מוסכמה שרירותית.

    בעיני, זו גם הסיבה שהרדיאנים "עובדים" באינפי וכד'. בתור מספרים טהורים אפשר להפעיל עליהם פונקציות באופן חופשי, לחבר רדיאן עם רדיאן בריבוע, וכד'.

    לכן חשוב בעיני להבהיר לתלמידים שהרדאינים היא לא יחידת מידה של זוית, אלא תכונה של זוית. וזה הבדל תהומי.

  3. למעשה הקביעה שלי לא היתה שרירותית – נתתי הסבר קצר לעניין בדומה למה שמופיע בפוסט הנוכחי, אבל בקיצור. כל העניין עלה בעקבות חקירת הפונקציה: f(x)=0.5x+sin2x שרבים מהתלמידים הציבו בה את ערכי x במעלות, והתקשו להבין מדוע זה לא לגיטימי (או ליתר דיוק, לא הבינו למה התוצאה שהם מקבלים שונה מהתוצאה הרשומה בספר… )

  4. חזי, לחלוטין לא ניסיתי להאשים אותך 🙂
    הכוונה היתה שהעובדה שיש במעגל דווקא 360 מעלות ולא 1729 היא אכן שרירותית. לעומת זאת הקביעה שבמעגל יש שני פאי רדיאנים היא ממש לא שרירותית וניתנת להוכחה. וזה בדיוק ההבדל. גודל הזוית ברדיאנים הוא תכונה של הזוית שאינה קשורה בשום מוסכמה. לעומת זאת מידת הסוית במעלות קשורה במוסכמה מסויימת.

  5. הסבר נפלא!!!
    בדיוק ניסיתי להסביר לתלמידה מה הוא רדיאן, וההסבר עוזר להבין מה שלא הסבירו לנו כתלמידים אולי הדור הבא יבין יותר ולא ילמד בעל פה כללים יבשים.
    תודה רבה.

  6. למה פאי קבוע ?

    השאלה שקולה לשאלה: למה היחס (המנה) בין זוג צלעות מתאימות במשולשים דומים קבוע ?

    בתור פיסיקאי, התשובה שלי לשתי השאלות:
    נתחיל ממרחב אחיד (אפילו אוקלידי). נמתח או ננפח אותו באופן אחיד, נניח בפקטור K, אז כל אובייקט יגדל פי D בחזקת K, כאשר D הוא מימד האובייקט (D=1 עבור קוים, D=0 עבור נקודה, D=2 עבור משטח, D=3 עבור גוף עם נפח, ו-D לא שלם הוא פרקטל). יכול מאוד להיות שזאת ההגדרה, של מתיחה / ניפוח באופן אחיד.
    היות והיקף מעגל, רדיוס וצלעות משולש, כולם בעלי מימד D=1, הגדלה של המרחב לא תשנה את היחס בין האורכים שלהם.

    צורת הניסוח של התשובה היא כנראה הסיבה שבקורס אינפי, למרות שהגעתי לתשובות הסופיות הנכונות, קיבלתי ציון נכשל ברוב המטלות.

  7. שימוש נפלא ברדיאן במדידת מרחק
    הסימנים על משקפות לרוב מציינים זווית של אלפית הרדיאן
    כך שניתן להעריך את המרחק לעצם אם ידוע מה גודלו
    לדוגמה עצם בגודל של 2 מטר העומד במרחק של 1000 מטר מהצופה יראה בגודל של 2 אלפיות הרדיאן.
    או להפך אם ידוע שהעצם הוא בגודל של 6 מטר ועל גבי המשקפת הזווית הנוצרת בין קצותיו היא של 3 אלפיות הרדיאן משמע שהמרחק בין הצופה לעצם הוא 2000 מטר.
    משחק עם משקפת בחוץ למדידת מרחק לעצמים שונים היא חוויה מלמדת בקלות את מושג הרדיאן.

  8. קראתי עכשיו ואני בכלל באוניברסיטה. מאוד נהנתי והחכמתי. והשאלה מהי זווית לפחות בשבילי מעולם לא הייתה טריוויאלית. רק לפני שנה וחצי או שנתיים באמת הבנתי את המושג לאשורו. בכל אופן תודה.

  9. עמית – את זה שיש 360 מעלות בזווית שלמה ניתן להוכיח באותה מידה. זה פשוט מכיוון שמעלה היא ה"סביב השלם" חלקי 360. הבחירה להשתמש בחיי היום יום במעלות היא שרירותית אולי (וגם לה כמו שגדי אמר – יש סיבות), אבל המעלות לא שונות באופן "מהותי" מרדיאנים. הרדיאנים הם גם גודל שמבטא כמות כלשהי של זווית, דהיינו כמות של סיבוב שלם חלקי 2 פאי או של סיבוב באורך רדיוס הסיבוב (זה אותו הדבר בעצם). היחידת מידה הכי טבעית להרגשתי למדידת זווית היא פשוט התייחסות לזווית שלמה כיחידה ולבטא את שאר הזוויות ביחס אליה, אבל בגלל פישוט צורת הסימון שלנו של רעיונות מתמטיים בחשבון האינפיניטיסמלי (במיוחד בחשבון אינפינטיסימלי של פונקציות טריגונומטריות) נוח לנו להשתמש ברדיאנים. בכל מקרה אין הבדל "מהותי" כלשהו בניהם לבין מעלות, גם את זה שיש 360 מעלות בזווית שלמה אפשר להוכיח בידיוק באותו אופן (זה דיי טיפשי להוכיח את זה, כי זה פשוט משמעות המילה "מעלה" – חלק 1 מתוך חלוקה של הזווית השלמה ל 365 חלקים שווים. זה כמו האלו שמגדירים כל מיני מושגים מתמטיים (כמו טנזורים) ואז מסיקים את תכונותיהם מההגדרות. ברור שאם תגדיר משהו בצורה שרירותית שנועדה להסקת התכונות, אתה תסיק כל מיני תכונות. העניין האמיתי הוא להגיע לרעיונות האלו מכל מיני בעיות/ תיאוריות ודברים דומים ולהבין את תכונותיהם באותו אופן שבו הרעיונות באמת עולים (במחקר המתמטי האמיתי), לא לתת רשימת מכולת של תכונות שרירותיות.)

  10. הבנתי שאכן היחס בין היקף המעגל לרדיוסו הוא 2π ושבאמצעות השם נוכל להביע כל זווית כחלק היחסי של השלם. אבל לא הבנתי כיצד הסיקו שהיחס הזה מבטא סיבוב שלם, או בפרט סיבוב. למיטב הבנתי, מעלות הוגדרו באופן הבא: נלקח ישר, כדי לסובב אותו חזרה לנקודת ההתחלה צריך 360 מעלות ומכאן אפשר להגיע לכל חלק אחר כלומר המעלות הוגדרו על סמך הסיבוב. עם זאת, פה הרדיאנים הוגדרו על סמך היחס בין ההיקף לרדיוס ויחס זה בדרך כל שהיא מתאר את גודל הסיבוב. כלומר המעלות הוגדרו על הסיבוב בעוד שהרדיאנים הוגדרו על סמך היחס והם מנסים להתאים את עצמם למושג שנקרא סיבוב. מישהו יכול להסביר לי אז מדוע רדיאנים אכן מתארים סיבוב?

  11. תנסה לחשוב על זה ככה: קח מעגל עם רדיוס מאורך 1 (1 מה? לא משנה, מה שבא לך). תקבל שההיקף של המעגל הזה הוא 2 פאי (עם אותה יחידה כמו של הרדיוס).

  12. אז רגע, למה בעצם דווקא פאי?
    הרי ההיקף יוצא 2 פאי כפול הרדיוס, למה להסתבך עם כפולות, לא יכלו לתת ערך כפול לפאי ולסגור את זה עם ערך אחד(מי אמר טאו)?

  13. כשהייתי בתיכון הסברתי לעצמי את ה"טבעיות " של הרדיאנים כי רק אז הנגזרת של סינוס וקוסינוס היא קוסינוס ומינוס סינוס (בהתאמה) ללא צורך במקדמים. קצת חדו'א אבל ברמה של תיכון

  14. שלום גדי המלך.
    תודה רבה על ההסבר.

    שני עניינים:
    1. הסיפא הסיפתית שלך לא ברורה (אני מדבר על הסוגריים בסוף).
    "(וגם אשמח לראות הוכחה פורמלית לכך שפאי קבוע, אם כבר מדברים על כך, או הפניה לספר שמוכיח זאת)"

    מה הכוונה הוכחה פורמלית שפאי קבוע?
    קבוע בקשר למה?

    2. "הבעיה היא שההיקף, כאמור, אינו קבוע ותלוי ברדיוס המעגל. אם כן, כדי לקבל מספר קבוע, מגדירים את גודל הסיבוב של "מעגל שלם" בתור היקפו חלקי רדיוסו"

    זה מאוד משונה הדבר הזה וגם די מתסכל אותי.
    אני לא מצפה לחיים קלים וקיצורי דרך כדי שיהיה נוח; אני מצפה שיפתרו את הבעיה לכל היקף שהוא.
    וגם בלי הציפיות שלי, זה ניראה תמוה (למביט מן הצד. אני הדיוט במתמטיקה) שכדי שמשהו יסתדר אנו פשוט נחלק את ההיקף שכבר יש לו r, ב- r.
    אם תרצה זה לא מספיק טהרני כמו שהייתי רוצה, שיהיה מטא לכל מעגל ולא רק למעגל עם רדיוס בגודל 1.
    אין לי למה להשוות את זה כדי להסביר למה זה תמוה אבל זו נראית הנפצה כלאחר יד.
    האם הרעיון הוא שממילא מעגל נשאר מעגל (מבחינת התכונות שלו (מלבד ההיקף)) וממילא גם זוויותיו (ממרכזו) זהות אפילו שמעגל אחד הוא בהיקף האצבע שלי ומעגל אחר הוא בהיקף של הגלקסיה שלנו?

  15. להערכתי-חלק לא קטן מן התלמידים, מתחילים "ליפול" במתימטיקה או לשנוא אותה, כשמציגים בפניהם לראשונה את נושא הרדיאנים. זו נקודת שבר רצינית בהתיחסות למתימטיקה שהיא מרתקת ויפהפיה. בנקודת שבר זו-ההבנה של תלמידים מתחילה להתערבל בגלל שגדלו מגיל צעיר על מעלות. זה כמו שאנשים מבוגרים מתקשים לעבור לMODE של סמארטפונים מול הטלפונים הפשוטים הקודמים שלהם ! זה לא בהכרח קשור בשכל, אלא בחסם תודעתי.
    אהבתי מאד את הסברך, והלוואי שהיו לי מורים כמוך. לך תדע כמה מתימטיקאים פוטנציאליים הלכו לאיבוד בגלל מורים חסרי נשמה יתירה.

  16. אחר כל ההסברים המלומדים
    יכלו באותה מידה לחלק את המעגל לפאי אחד והייתם מקבלים את כל המעלות הטובות של הרדיאן
    או במילים אחרות במקום לחלק את המעגל למספר 360 באופן שרירותי חילקו אותו למספר ………..6.283185307
    בדיוק באותו אופן שרירותי

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *