הבעיה של מונטי הול

אתם משתתפים בתוכנית טלוויזיה. המנחה מציג בפניכם שלוש דלתות סגורות. מאחורי שתיים מהן יש עז, ומאחורי השלישית – מכונית. המשחק – אתם בוחרים דלת, וזוכים במה שמאחוריה. מן הסתם אתם רוצים לזכות במכונית. אתם מצביעים על אחת משלוש הדלתות, ואז מגיע הטוויסט: המנחה הולך ופותח דלת אחרת, מראה שמאחוריה יש עז, ושואל אם בא לכם להחליף את הבחירה שלכם לדלת השלישית (הדלת שבה לא בחרתם והוא לא פתח). משתלם להחליף, או לא?

הסיטואציה הזו אינה בדיונית לגמרי; היא הופיעה, בערך (לא ממש הציעו להחליף דלת) בשעשועון טלוויזיה אותו הנחה מונטי הול, ומכאן שם הבעיה – "הבעיה של מונטי הול". גם בישראל הייתה תוכנית (בהנחיית אברי גלעד) שכללה סיטואציה כזו (כולל החלפת הדלת). עם זאת, הבעיה עתיקת יומין עוד יותר (עוד מהמאה ה-19) ויש לה גם ניסוח קצת שונה, שאציג בהמשך.

חשוב לציין כי כפי שהצגתי את השאלה, אין שום דרך לדעת את התשובה הנכונה עלייה – זה תלוי בכללי ההתנהגות שמנחים את מונטי הול. אם, למשל, הוא פותח דלת נוספת ומציע להחליף רק אם בחרתם בדלת הנכונה, הרי שברור שעדיף תמיד לסרב להצעה. אם הוא מציע להחליף רק אם לא בחרתם בדלת הנכונה, תמיד כדאי להחליף; אבל איך אפשר לדעת מה עובר לו בראש? לכן ההנחה שבבסיס השאלה כולה היא שמונטי תמיד פותח דלת נוספת (נניח – חוקי התוכנית מכתיבים זאת).

כעת, אם מקבלים את ההנחה הזו, התשובה המפתיעה למדי, לפחות ממבט ראשון, לשאלה היא שכן, כדאי להחליף – זה מכפיל את סיכויי הזכייה שלך. זאת בניגוד לאינטואיציה, שרומזת שהסיכוי הוא 50:50 – כי במה עדיפה דלת אחת על חברתה? בפרט, אם מונטי פותח דלת, ורק אז אתה נכנס לאולפן ובוחר באקראי דלת אחת מבין השתיים שנותרו, הסיכוי שלך יהיה 50:50. מה ההבדל?

כשנתקלתי בחידה בזמנו חשבתי שאין הבדל, והגנתי בלהט על עמדת ה-50:50. מה ששכנע אותי היה כתיבת תוכנה ש"מדמה" את המשחק והגילוי שסטטיסטית, מי שמחליף דלת אכן זוכה ב-2/3 מהמקרים (למעוניינים: הנה תוכנית שכתבתי בשפת רובי שעושה זאת). עם זאת, לדעתי יש כמה דרכים פשוטות יותר להשתכנע. כמובן שניתן לכתוב את הסיטואציה באופן מתמטי-פורמלי באמצעות תורת ההסתברות והתוצאה נובעת מאליה; אבל סתם חבל לעשות זאת כשאפשר לפייס את האינטואיציה בדרכים אחרות.

הדרך האהובה עלי ביותר היא זו: נניח שהמשחק היה שונה – במקום שמונטי יפתח דלת וישאל אם אנחנו רוצים לעבור, הוא לא יפתח דלת, וישאל אם אנחנו רוצים לקבל את מה שמאחורי שתי הדלתות שבהן לא בחרנו. די ברור שההסתברות לזכות אם מחליפים מכפילה את עצמה – שתי דלתות במחיר אחת! עם זאת, מה ההבדל בין זה ובין הסיטואציה שבה מונטי מציע את אותה הצעה בדיוק, אבל פותח את הדלת ה"מיותרת" מבין השתיים (כלומר, זו שמכילה עז)? התשובה היא שאין הבדל.

עדיין, קשה להצביע על הסיבה המדוייקת שבגללה ההסתברות מוכפלת, ולכן כדאי לחדד את מה שהולך כאן. כשאנחנו בוחרים את הדלת הראשונה, הסיכוי שלנו לזכות הוא 1/3, כי רק אחת משלוש הדלתות היא הנכונה. כעת, אם בחרנו את הדלת הנכונה ונחליף אותה, מובטח לנו שנפסיד – אבל אם בחרנו את הדלת הלא נכונה ונחליף אותה, מובטח לנו שננצח. מובטח שננצח כי מונטי "נפטר" מהדלת האחרת שהייתה גורמת לנו להפסד; הוא העביר לנו מידע שלא גלוי למי שכרגע נכנס לאולם ולא יודע מה הדלת המקורית שבה בחרנו – המידע הזה הוא "אם בחרת בדלת הלא נכונה, אז כדאי לך לנסות את הדלת שבה לא בחרת ואותה לא פתחתי". על כן, אם אנחנו תמיד מחליפים, נפסיד רק אם בחרנו את הדלת הנכונה כבר בהתחלה – וההסתברות לכך היא רק 1/3, ולכן ננצח בהסתברות 2/3.

יש עוד מגוון של אינטואיציות שונות לנכונות התוצאה – לא אציג אותן כאן, אבל אם מישהו יבקש פירוט בתגובות אוכל לנסות. כעת – למשהו אחר לגמרי, באותו עניין.

למרות שהבעיה הומצאה עוד במאה ה-19, ופורסמה בידי מרטין גרדנר בסוף שנות ה-50, מה שנתן לה תנופה פרסומית היה שערוריה זוטא הקשורה אליה. מקורה בבעלת הטור מרילין ווס סוונט (vos Savant – זה שם אמיתי, מסתבר). מרילין נחשבת ל"בעלת ה-IQ הגבוה בעולם" (למיטב הבנתי, כך טוען ספר השיאים של גינס, אבל לא ברור לגמרי מה הוא – לכל היותר 230) ובאופן כללי כנראה עצבנה לא מעט אנשים לאורך הדורות. השיא הגיע כאשר בטור שאלות ותשובות שהיה לה בעיתון היא התייחסה לבעיית מונטי הול וסיפקה את הפתרון הנכון (עדיף להחליף). התוצאה? לפחות לדבריה, מתקפה המונית של אלפי קוראים לעגניים שמיהרו להוקיע אותה על "טעותה", כולל מתמטיקאים רציניים. מאוחר יותר, בספר "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה", תואר כל העניין בתוספת ציטוטים של כמה מכתבים נזעמים שכאלו (הם נשמעים מטופשים למדי), ובספר "האיש שאהב רק מספרים" העוסק בפאול ארדש נטען שארדש עצמו (אחד מהמתמטיקאים המבריקים ביותר של המאה ה-20) לא הבין בתחילה את הבעיה ופתרונה. מה הולך כאן?

לצערי, אין לי את הטור של מרילין בהישג יד, ואשמח אם מישהו יוכל לקשר לציטוט מדוייק שלו. הניחוש שלי? מרילין לא הציגה את התנאים בצורה מדוייקת מספיק, ולא התייחסה לכך שהמנחה חייב לפתוח את הדלת. כאמור, בלי התייחסות לנקודה העדינה הזו, פחות או יותר כל פתרון הוא סביר; אך מתמטיקאי רציני לא צריך להגיד "את טועה! הפתרון הנכון הוא 50:50!" או משהו בסגנון – עליו להגיד "המממ, חסרה לך כאן הנחה, הבעיה הנוכחית לא מוגדרת היטב ויש לה כמה פתרונות שונים". בסופו של דבר, זה אחד מהדברים המרכזיים שמתמטיקאים עושים לבעיות. ציטוט ידוע אומר שמה שהמתמטיקאי באמת רוצה איננו הוכחה, כי אם הגדרה – ואכן, אחרי שכבר מגדירים במדוייק מושגים מסויימים ומנסחים היטב את התנאים למשפטים מסויימים, ההוכחה נראית קלה למדי. דוגמה נאה אחת לכך היא מושג הקומפקטיות הטופולוגי – אני מקווה להרחיב על כך בפוסט עתידי.

חזרה עכשיו לבעיה עצמה, או ליתר דיוק, לניסוח של מרטין גרדנר אליה. הניסוח אכזרי הרבה יותר – יש לנו שלושה אסירים, ומחר בבוקר יוציאו להורג אחד מהם וישחררו את השאר. אחד מהאסירים בא לסוהר ומתחנן בפניו שיגיד לו את שמו של אחד מהאסירים האחרים שישוחררו, אולם הסוהר מתנגד לכך, בטענה שבכך הוא יגדיל את הסיכוי (הסובייקטיבי) של האסיר שואל השאלה להיות מוצא להורג – מ-1/3 ל-1/2. הסוהר, מצויין במפורש, פועל כך: אם ישחררו את שואל השאלה, הסוהר יגיד את שמו של המשתחרר האחר; אם יוציאו להורג את שואל השאלה, הסוהר בוחר אחד משני האסירים האחרים בהסתברות שווה.

"אה!" אתם אומרים. "זה בדיוק מונטי הול! רק שכאן להיות מוצא להורג זו המכונית, ולכן אנחנו רוצים להפסיד. מכיוון שראינו שגילוי המידע של מונטי לא משאיר הסתברות של 50:50 לשתי האפשרויות הנותרות, הסוהר טועה, ההסתברות תישאר 1/3… רגע, היא לא אמורה לגדול ל-2/3? רגע, הפכת את הכל! מה הולך כאן?!"

טוב, זה לא אתם אומרים; זה מה שאני אמרתי כשראיתי את הבעיה. אכן, למרות שרואים שזה מונטי הול, הקשר לא ברור לי מיידית. הבה ונפתור את הבעיה הזו בצורה הכללית ביותר שלה – אם האסיר שואל השאלה (נסמנו A) מוצא להורג, הסוהר בוחר לומר "B ישוחרר" בהסתברות $latex p$, ו-"C ישוחרר" בהסתברות $latex 1-p$. הסיכוי הסובייקטיבי של האסיר להיות מוצא להורג בהתחלה הוא 1/3; למה הוא הופך אחרי שהשומר עונה? איכשהו, האינסטינקט אומר לנו דווקא שעבור $latex p=\frac{1}{2}$ ההסתברות של A להיות מוצא להורג לא תשתנה – הסוהר לא מגלה לו שום דבר שהאסיר לא יכל לנחש בעצמו (מזכיר, במעורפל, את המושג של "הוכחה באפס ידע"). עם זאת, לכל $latex p$ אחר כן ידלוף "קצת" מידע החוצה. כדי לראות את זה בבירור נלך למקרה קיצוני – $latex p=1$. במקרה כזה, אין שום סיכוי שהסוהר יענה "C" אם A יוצא להורג; מכאן שאם הסוהר ענה "C", אז A יודע בודאות שהוא ישוחרר (אם לעומת זאת הסוהר ענה "B", הסיכוי של A צונח פלאים).

למרות שהבעיה היא בעיה הסתברותית פשוטה למדי, לעתים קרובות נותנים אותה כתרגיל וסטודנטים רבים מתקשים; הסיבה לכך היא שמרחב ההסתברות כאן מחוכם, ולא ברור ממבט ראשון (בפרט אם מציגים את גרסת ה"50:50" של השומר בלי לדבר על $latex p$ כללי). העניין הוא בכך שמתבצעות כאן שתי הגרלות, ויש להתחשב בשתיהן – הראשונה, איזה אסיר יוצא להורג (מניחים שכל אחד נבחר בהסתברות 1/3, אחרת באמת אי אפשר לנתח כאן כלום), והשנייה, מה יענה השומר בהינתן שידוע שאסיר מסויים מוצא להורג (לדבר שכזה קוראים "הסתברות מותנית"). בלי להיכנס לעובי הקורה ההסתברותי, אפשר לומר שמרחב התוצאות האפשריות מכיל את 4 התוצאות האפשריות הבאות:

  1. C מוצא להורג והשומר אומר "B" – ההסתברות לכך היא 1/3, כי ההסתברות של "C מוצא להורג" היא 1/3 ובמקרה הזה, השומר חייב לומר "B".
  2. B מוצא להורג והשומר אומר "C" – כמו קודם, הסתברות של 1/3.
  3. A מוצא להורג והשומר אומר "B" – ההסתברות ש-A יוצא להורג היא 1/3, וההסתברות שהשומר יאמר "B" בהינתן ש-A מוצא להורג היא $latex p$, ולכן ההסתברות הכוללת שהתוצאה הזו תתקיים היא $latex \frac{p}{3}$.
  4. A מוצא להורג והשומר אומר "C" – בדומה ל-3, רק עם הסתברות $latex 1-p$ שהשומר יאמר "C", ולכן $latex \frac{1-p}{3}$.

כעת, לניתוח המדוייק – מה ההסתברות של "A מוצא להורג" (3 או 4) בהינתן שהשומר עונה "B", (כלומר, 1 או 3)? לדבר כזה קוראים חישוב של הסתברות אפוסטריורי, כלומר – למרות שקודם הוגרל המאורע של "מי יוצא להורג" ורק אחר כך המאורע של "מה יגיד השומר", אנחנו מסיקים מהמאוחר יותר משהו על המוקדם יותר. אחת מהנוסחאות הבסיסיות והנאות ביותר בהסתברות (לטעמי) היא נוסחת בייס, שנותנת את ההסתברות האפוסטריורית על בסיס ההסתברות האפריורית (ההסתברות שהמאורע המאוחר יותר יקרה בהינתן שמאורע מוקדם יותר קרה). ההסתברות שהשומר יאמר "B" בהינתן ש-A מוצא להורג היא, כאמור, $latex p$. על פי בייס, יש "לתקן" אותה על ידי כפל בהסתברות של "A מוצא להורג" חלקי "השומר אומר B". ההסתברות של "A מוצא להורג" היא 1/3, ואילו ההסתברות של "השומר אומר B" (וכאן החלק ה"עדין) היא $latex \frac{1}{3}+\frac{p}{3}=\frac{1+p}{3}$ – זה סכום ההסתברויות של 1 ו-3 גם יחד. התוצאה הסופית? ההסתברות ש-A יוצא להורג בהינתן שהשומר אמר "B" היא $latex \frac{p}{p+1}$.

כעת אפשר לשחק טיפה עם הנוסחה – מציבים בה 1/2 ומגלים שההסתברות של A לא משתנה אם השומר עונה "B" – היא נותרת 1/3. אם מציבים 1, מקבלים שההסתברות של A להיות מוצא להורג קפצה ל-1/2, ואם מציבים בה 0 – שההסתברות שלו ירדה ל-0; אבל לכל הצבה של ערך שונה מ-1/2 בנוסחה נקבל הסתברות שונה מ-1/3, כלומר כל ערך שונה מ-1/2 אכן נותן אינפורמציה כלשהי.

אבל איפה מונטי הול כאן? איפה ה"כדאי להחליף"? קודם הרי דרשנו בכוח שהמנחה יהיה אובייקטיבי ויפתח דלת בהסתברות 1/2, מה נשתנה? התשובה היא שלא השתנה כלום; פשוט הסתכלנו על הבעיה מזווית ראייה שונה. נסו לחשוב מדוע. אני מקווה שלא אזכה ל-10,000 תגובות נזעמות בשל כך.

72 תגובות בנושא “הבעיה של מונטי הול”

  1. בינתיים אף לא תגובה אחת… אבל זה בגלל שעוד לא הבנתי. אצטרך לקרוא את זה שוב השבוע. תודה שכתבת, גדי, זה מאוד מעניין.

  2. הדבר המשמעותי ביותר שקרה לבעיה הזו במשך השנים הוא המצאת האימייל. מאז היא הפכה להיות פופלרית להחריד ולא עוברת שנה מבלי שהיא מופיעה באימייל שלי לצד בדיחה על גרוזינים ווידאו של חתול דופק מכות לכלב.

    גם "פרדוקס" ימי ההולדת הוא כזה.

  3. אהלן גדי, כמה הצעות:
    1) תוסיף עמוד "צור קשר" (או שתוסיף פרטי אימייל בסוף עמוד האודות). פשוט כי אחרת אני לא יודע כיצד ליצור איתך קשר.
    2) אשמח אם תשקול להוסיף לינק אלי לבלוג "סטטיסטיקה ללא סטטיסטיקאים" ב:
    http://www.biostatistics.co.il
    (שמכיל לינק לבלוגך כבר זמן רב 🙂 )

    נ.ב: אחלה בלוג.

    טל.

  4. מהיום שפרסמת את זה אני לא מפסיק לחשוב על זה. לעזאזל, אני גם אכתוב תוכנה שבודקת את זה, למרות שכבר השתכנעתי שכדאי להחליף וילון, אבל אבל, זה ממש מדיר שינה מעיני. איך זה יכולהיות שכדאי להחליף וילון? איך זה יכולהיות??? למה זה לא 50-50?? זה כמעט הוכחה שיש אלוהים או משהו כזה.

  5. א. דרך נוספת שיכולה להשקיט את האינטואיציה-
    נניח שיש 100 וילונות, 1 עם מכונית, ו- 99 עם עזים.
    אני בוחר וילון אחד מתוכם, ומונטי פותח לי מתוך כל הנשארים 98 וילונות שמאחוריהם עזים. לא ברור ששווה לי לעבור לוילון הנותר?! אותו דבר יכול להיות גם עם 3 וילונות.

    ב. עדיין קשה לי עם זה, ויש לי שאלה-

    נחזור למשחק המקורי, של מונטי, עם 3 וילונות. (מס' 1, מס' 2 ומס' 3, לצורך העניין).
    עכשיו נניח שישנם 2 שחקנים (אולי הם אפילו לא יודעים זה על זה…), בו זמנית. בשביל הנוחות נאמר, ששחקן 1 בוחר את וילון 1, ושחקן 2 בוחר את וילון 2.
    מונטי פותח את וילון מס' 3, ומגלה את העז שמאחוריה. (מתמטית יכול להיות שתצוץ שם המכונית בטעות, אבל ב2/3 מהמקרים תהיה שם עז, אז נדבר רגע על המקרים האלה..).

    יכול להיות שמתמטית, אובייקטיבית, לשחקן 1 יהיה משתלם להחליף לוילון מס' 2, בעוד שלשחקן 2 נאמר שלא כדאי לו להשאר עם הוילון הזה בדיוק, אלא לעבור לוילון מס' 1? (מתמטית! אחרי שכרגע המלצנו לשחקן 1 לוותר על הוילון הזה…!)

    ???

  6. גישת 100 הוילונות אף פעם לא שכנעה אותי. מדובר בגישה שכולה אינטואיציה אבל אין מאחוריה שום נימוק מתמטי אמיתי.

    דוגמת 2 השחקנים שלך לא טובה בדיוק בגלל ההתעלמות שאתה עושה ממקרי ה"קצה" שלא מעניינים אותך, כמו זה שבו שני השחקנים בחרו את הוילון הלא נכון. חשוב לזכור שכשאנחנו אומרים "כדאי להחליף" אנחנו אומרים את זה לא על מקרה ספציפי של המשחק (כי אם השחקן בחר את הוילון הנכון, ברור שלא כדאי לו להחליף) אלא בתור אסטרטגיה כללית, כזו שאם משחקים הרבה פעמים, תזכה ב-2/3 מהמקרים. החישוב הזה מסתמך על כך שאם משחקים הרבה פעמים, אז ב-1/3 מהמקרים הניחוש הראשוני יהיה נכון, וב-2/3 מהם הוא יהיה שגוי. אם היינו "מסננים" חלק מהמקרים, התשובה שלנו הייתה שונה לחלוטין.

  7. מממ…. הבנתי ולא הבנתי.

    קודם כל, לפי זה לפחות אפשר לטעון שרק ב1/3 מהמקרים שווה להחליף אבל ב2/3 האחרים, שווה להחליף בדיוק כמו ששווה להשאר. (טוב, זה בעצם באמת אומר שבהתייחס ל100%, אולי יהיה שווה להחליף..).

    אבל הנקודה שאני רוצה להגיד היא שאני לא מבין איך אפשר למצוא אמירה אובייקטיבית למציאויות סובייקטיביות, כמו זאת, שיש הבדל למשל אם נכנסתי לאולם לפני שהוא פתח את הוילון או אחרי, ומה ידעתי קודם ומה אחר כך.

    אתה יודע מה, נניח שיש 3 שחקנים, כל אחד בוחר וילון אחר. עכשיו מונטי פותח את אחת העזים, ומעניק אותה אחר כבוד לשחקן שבחר בה. זה יכול לקרות ב100% מהמקרים. עכשיו נשארו 2 שחקנים, עם 2 וילונות, עז ומכונית. מה תעשה? תמליץ לכל אחד לעבור? רק כי קודם היה עוד וילון עם עוד שחקן ועוד עז?

    (אגב, הטיעון הלוגי ששמעתי לגישת ה100 וילונות הוא שהוילון שבחרת בהתחלה הוא עם סיכוי של 1% לזכות. 99% שהסיבה שמונטי לא פתח גם אותו, היא סתם ככה כי אתה בחרת אותו שרירותית, וזה חוקי השעשועון. לעומת זאת הוילון הנותר, לא זה שאתה בחרת, הוא בעל סבירות מאוד גבוהה שהוא נשאר שם בזכות המכונית. זה טיעון לוגי, ואני לא מבין במתמטיקה בשביל לדעת אם הוא גם מתמטי…)

  8. "לפי זה לפחות אפשר לטעון שרק ב1/3 מהמקרים שווה להחליף אבל ב2/3 האחרים, שווה להחליף בדיוק כמו ששווה להשאר."

    לא הבנתי מה זה ה"זה" שאומר את זה (כאמור, הטענה הזו פשוט לא נכונה מתמטית).

    המציאות, כאמור, אינה סובייקטיווית, וניסיתי להסביר זאת קודם; כשאנו אומרים "משתלם להחליף" הכוונה אינה למצב בניסוי בודד, בפעם בודדת שמשחקים, אלא מה האסטרטגיה הטובה ביותר לשחק בה לאורך זמן, אם דובקים באותה אסטרטגיה.

    בדוגמת שלושת השחקנים שלך אני לא אמליץ לאף אחד לעבור כי ההסתברות שלהם לזכות לא משתנה עקב פתיחת הדלת. אם לא ברור למה, חשוב על כך שבמשחק המקורי לא הייתה יכולה להיות סיטואציה שבה מונטי פותח את הדלת *שלך* ואומר שהפסדת. זה שהוא יכול לעשות זאת מוציא את העוקץ מכל המשחק.

    מבחינה מתמטית: במקור, מה שקרה הוא שאם בחרת את הדלת ה*לא נכונה* (בהסתברות 2/3) אז מה שמונטי עושה מבטיח לך שהחלפה תוביל לזכייה. לעומת זאת, במשחק שלושת השחקנים, אם בחרת את הדלת הלא נכונה אז קודם כל יש לך סיכוי של 1/2 להפסיד מייד (אם מונטי בוחר לפתוח את הדלת שלך) ולכן רק סיכוי של 1/2 לזכות – כלומר, אם האסטרטגיה שלך היא "להחליף" אתה זוכה רק בהסתברות של 1/3 (מכפלת ההסתברויות של "לבחור את הדלת הלא נכונה" ב"לא להיבחר על ידי מונטי") וההסתברות הזו שווה להסתברות הזכייה באסטרטגיה של "לא להחליף" (ששווה להסתברות של "לבחור את הדלת הנכונה כבר בהתחלה").

  9. כל העניין בהסתברות הוא לנתח את כל המידע שיש ברשותך.

    לדוגמה:

    נניח שמונטי בכלל לא יודע איפה נמצאת המכונית, והוא פותח את אחת משתי הדלתות האחרות לגמרי באקראי, ובמקרה מתברר שהדלת הזאת ריקה. במקרה זה, אין טעם להחליף, כמו האינטואיציה הפשוטה של רוב האנשים. ההסתברות בכל מקרה תהיה 50%. מונטי לא העביר לנו שום מידע, ולכן אין סיבה לשנות את בחירתנו.

    בבעיה המקורית, מונטי יודע איפה נמצאת המכונית, ופועל על-סמך הידיעה הזאת. מתוך ניתוח הפעולות שלו, ניתן לקבל מידע סטטיסטי לגבי מיקום המכונית. הוא כאילו אומר לך "בין שתי הדלתות שלא בחרת, יש יותר סיכוי שהמכונית נמצאת מאחרי הדלת שלא פתחתי". מי שמשתמש במידע הזה, יכול להגדיל את סיכוייו. מי שיתעלם מהמידע הזה, יישאר עם אותו סיכוי שהיה לו בהתחלה.

    לרעיון זה של העברת מידע ישנם יישומים רבים בתחומים שונים, החל מפיצוח צפנים ממוחשבים ועד לפיצוח סודות המודיעין של מדינות זרות. הרעיון פשוט: בכל פעם שמישהו פועל על-סמך מידע שיש בידיו, אנחנו יכולים לנתח את הפעולות שלו ולקבל נתונים סטטיסטיים על המידע הזה.

    תשובות לשאלות קודמות:

    עדיאל: "נניח שישנם 2 שחקנים בו זמנית. בשביל הנוחות נאמר, ששחקן 1 בוחר את וילון 1, ושחקן 2 בוחר את וילון 2. מונטי פותח את וילון מס’ 3, ומגלה את העז שמאחוריה. (מתמטית יכול להיות שתצוץ שם המכונית בטעות, אבל ב2/3 מהמקרים תהיה שם עז, אז נדבר רגע על המקרים האלה..). יכול להיות שמתמטית, אובייקטיבית, לשחקן 1 יהיה משתלם להחליף לוילון מס’ 2, בעוד שלשחקן 2 נאמר שלא כדאי לו להשאר עם הוילון הזה בדיוק, אלא לעבור לוילון מס’ 1?"

    התשובה היא לא. כאן לא עבר שום מידע. מונטי תמיד חייב לפתוח את דלת מספר 3, לפי חוקי המשחק, ולכן הפעולה שלו לא נותנת שום מידע לגבי מיקומה של המכונית, ולא משנה את התפלגות הסיכויים.

    (אגב, התשובה של גדיאל – "דוגמת 2 השחקנים שלך לא טובה בדיוק בגלל ההתעלמות שאתה עושה ממקרי ה”קצה” שלא מעניינים אותך, כמו זה שבו שני השחקנים בחרו את הוילון הלא נכון" – לענ"ד לא נכונה. גם אם נתעלם ממקרי הקצה, עדיין לא כדאי להחליף, כפי שהסברתי למעלה).

    עדיאל: "נניח שיש 3 שחקנים, כל אחד בוחר וילון אחר. עכשיו מונטי פותח את אחת העזים, ומעניק אותה אחר כבוד לשחקן שבחר בה. זה יכול לקרות ב100% מהמקרים. עכשיו נשארו 2 שחקנים, עם 2 וילונות, עז ומכונית. מה תעשה? תמליץ לכל אחד לעבור? רק כי קודם היה עוד וילון עם עוד שחקן ועוד עז?"

    זה קצת יותר מורכב. כאן מונטי יודע איפה המכונית ופועל בהתאם, אבל הפעולה שלו אינה מבחינה בין שתי הדלתות שנשארו.

    בבעיה המקורית, מונטי מסתכל על שתי הדלתות שלא בחרת, ופותח את אחת מאלו שיש מאחריה עז. הוא כאילו אומר לך "בין שתי הדלתות שלא בחרת, יש יותר סיכוי שהמכונית נמצאת מאחרי הדלת שלא פתחתי". אבל בשאלה שלך, מונטי מסתכל על שלוש הדלתות, ופותח את אחת מאלו שיש מאחריה עז. הוא כאילו אומר לך "בין שלוש הדלתות, יש יתר סיכוי שהמכונית נמצאת מאחרי שתי הדלתות שלא פתחתי". זה מידע חשוב ומעניין, אבל הוא לא עוזר לך לדעת איזה משתי הדלתות שנשארו עדיפה.

  10. אנחנו בוחנים את שתי האסטרטגיות "השאר" לעומת "החלף", בשלושת המקרים שהם בעלי הסתברות שווה מלכתחילה – המכונית מאחרי דלת א, דלת ב או דלת ג. נניח שבחרנו את דלת א, ואנחנו במשחק המקורי:
    * אם המכונית מאחרי דלת א – כדאי להשאיר: השאר 1, החלף 0.
    * דלת ב – מונטי בוודאי יפתח את דלת ג, ולכן כדאי להחליף: השאר 0, החלף 1.
    * דלת ג – כנ"ל – השאר 0, החלף 1.
    בסך הכל, התוצאה היא 2:1 לטובת החלף.

    בכל שאר המקרים שנדונו כאן, החשבון הנ"ל יוביל לשוויון – בדקו ותראו.

    כדוגמה, ניקח את המקרה השני שהביא עדיאל – שלושה שחקנים, ושוב נניח שאנחנו בחרנו את דלת א:
    * אם המכונית מאחרי דלת א – השאר 1, החלף 0.
    * אם המכונית מאחרי דלת ב – תלוי מה מונטי יעשה – אם יפתח את דלת א, אז לא משנה מה נעשה (0:0), אבל אם הוא יפתח את דלת ג, אז עדיף להחליף. מכיוון שלכל אפשרות יש הסתברות של 50%, התוצאה היא השאר 0, החלף 0.5 .
    * אם המכונית מאחרי דלת ג – מאותם שיקולים בדיוק – השאר 0, החלף 0.5 .
    בסך הכל, התוצאה היא 1:1 – שיוויון – אין זה משנה באיזו אסטרטגיה נבחר.

  11. לסקרנים: הנה לינק לתכתובת המקורית אצל מרילין ווס סבנט:

    http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html

    מרילין אכן לא מתייחסת להנחה הסמויה שהמנחה תמיד פותח דלת, אבל גם אלו שתוקפים אותה לא, והרושם שאני מקבל הוא שהם עצמם לא היו מודעים לבעיה הזו, וטעו בגלל שמונטי הול זה עניין מבלבל, גם עם ההנחה של "המנחה תמיד פותח דלת".

  12. כמה שקראתי בנושא הזה מעולם לא השתכנעתי לגביו.
    לעתים היה נדמה שדווקא כדאי להשאר , שהרי ככל שמסירים יותר וילונות , יש יותר סיכוי שמה שבחרת זה המכונית (לדוגמה אילו היו מסירים 2 וילונות) . כלומר בהתחלה היה לך סיכוי של שליש, אבל לאחר שהסירו שני וילונות הסיכוי שלך עלה ל 100%, ולכן מצפים להדרגתיות.
    זה כמו שאילו היה לך טופס לוטו , והיו מראים לך שמוציאים מספר שלא קיים אצלך בטופס, היית מחליף את הטופס עם טופס של מישהו אחר (אפילו אם ידוע שאין לו את המספר שלא קיים אצלך) ?
    גם לא ברור לי מה התשובה לאנשים שטענו מה קורה במידה ויש שני שחקנים ומסירים את הוילון שאף אחד מהם לא בחר , אז תגידו שעדיף לשניהם להחליף? זה מוזר לגמרי.

  13. מישהו, אני מניח שתסכים איתי שאינטואיטיבית, ככל שמסירים יותר וילונות הסיכוי של *כל* וילון שלא הוסר גדל. כך שאין בהסרת וילון כדי חיזוק של מה שאתה בחרת.

    אבל נעזוב את זה לרגע. הפואנטה האמיתית כאן היא שהסרת הוילון היא לא "סתם" – במקרה שבו בחרת את הוילון הלא נכון, הסרת הוילון היא דרך של המנחה לצעוק לך "הוילון הנכון כאן!" עבור הוילון שאותו הוא לא בחר. כאן נשברת הסימטריה. אמרת שקראת הרבה בנושא – האם טיעון ה"אם בחרתי בוילון הנכון ואחליף, אפסיד, אבל אם בחרתי בוילון השגוי ואחליף אנצח, ובהתחלה יש לי סיכוי גבוה לבחור בוילון השגוי" אינו משכנע אותך? מדוע?

    בקשר לעניין שני השחקנים – ברגע שבו יש שני שחקנים הסיטואציה שמתוארת במונטי הול לא מסוגלת להתרחש. כי הסיטואציה הזו דורשת שהמנחה יפתח וילון ש-א) אין מאחוריו את הפרס וב) איש לא בחר אותו. במקרה שבו יש שני שחקנים, המנחה חייב לפתוח את הוילון הנותר; אבל אם היה מאחוריו פרס המשחק התקלקל.

    ייתכן שאתה תוהה, אם כן, מה קורה אם פותרים את הבעיה על ידי הגדלת מספר הוילונות. נניח, יש 5 וילונות ומאחורי אחד פרס, שני השחקנים בוחרים ואז המנחה פותר שניים משלושת הוילונות הנותרים. במקרה הזה אכן משתלם לשני השחקנים להחליף – לאותו וילון שנותר! ההסתברות שלהם לזכות במקרה הזה היא 3/5, בעוד שההסתברות שלהם לזכות אם ידבקו בוילון שלהם *או יעברו לוילון של המתחרה* היא 1/5. האינטואיציה הטובה כאן, לטעמי, היא שהמנחה נותן למתחרים בחירה – או הוילון שלכם, או *שלושת הוילונות שטרם נבחרו*.

  14. אמנם הפוסט ישן, אבל אני רואה שהתגובות האחרונות פורסמו לא מזמן, אז אני אגיב גם:
    1. תמיד תהיתי לעצמי למה האינטואיציה מתקשה לתפוס דוקא את הבעיה הזו. בכולופן כדאי לשים לב שכיון שהרצה של המשחק בתוכנת מחשב נותנת סיכוי של 2/3 לטובת ההחלפה, אז השאלה פה היא לא האם הניתוח ההסתברותי נכון (כי זה כבר הוכח במחשב), אל מהו הניתוח הנכון.
    2. לגבי מה שכתב אראל סגל, זה אמנם נכון שההסתברות מבוססת על מידע, אבל מהו המידע ומה השפעתו על הניתוח ההסתברותי לא צריך להיות מושפע ע"י אינטואיציה, אלא מחייב ניתוח הסתברותי אמיתי, ומיד אפרט:
    במקרה שאראל ציין שמונטי פותח אחת משתי הדלתות באקראי (ובהנחה שאם הוא פותח את דלת הפרס השחקן מפסיד), האינטואיציה הנכונה היא שזה לא משנה אם השחקן יחליף או לא יחליף דלת, כי ההסתברות היא בכל מקרה 1/3 (ולא הסתברות של 50% כמו "האינטואיציה הפשוטה").
    (אגב, ברור שאם השחקן לא מחליף דלת, הסיכוי שלו לא יכול לקפוץ פתאום, אבל זה לא כ"כ אינטואיטיבי).
    הניתוח ההסתברותי:
    נניח שהשחקן בוחר להחליף דלת. ישנם שלושה מקרים:
    א. השחקן בחר בדלת הפרס (1/3), מונטי פתח דלת ריקה (בודאות – 1) = 1/3 השחקן מחליף ומפסיד.
    ב. השחקן בחר בדלת ריקה (2/3), מונטי פתח דלת דיקה (1/2) = 1/3 השחקן מחליף ומנצח.
    ג. השחקן בחר בדלת ריקה (2/3), מונטי פתח את דלת הפרס (1/2) = 1/3 השחקן מפסיד.
    רואים שב-2/3 מהמקרים השחקן מפסיד אם הוא בוחר להחליף. קל לראות שאם הוא בוחר להשאר עם הדלת המקורית, עדיין ב-2/3 מהמקרים הוא יפסיד.
    (אגב, בהנחה שאם מונטי פותח את דלת הפרס אזי השחקן מנצח, נוכל לראות שבכל מקרה הסיכוי הוא 2/3 לנצח, בין אם השחקן יחליף ובין אם לא).

    עוד נקודה מעניינת, שגם אם מונטי פתח במקרה את הדלת הריקה, עדיין אין יתרון להחליף דלת (למרות שזה כאילו דומה למשחק הרגיל שבו מונטי יודע איפה הפרס), מכיון שהבחירה של מונטי אקראית, הרי שבהנתן שהוא פתח דלת ריקה, זה מגדיל את הסיכוי שהשחקן בחר מלכתחילה את הדלת עם הפרס (בייס, שגדי הזכיר בפוסט).

    לדעתי זהו הניתוח המלא שצריך לעשות בכל מקרה (והוא עובד בכל המקרים שהוזכרו לגבי 2 שחקנים שונים), ובודאי שלא להזניח "מקרי קצה", בטח שלא בשאלה שבה יש רק 3 אפשרויות.

    במה זה שונה מהמצב שבו מונטי פותח את אחת הדלתות לפני שנכנסת לחדר (שאז ההסתברות לכאורה היא 50%)?
    ובכן, זה לא שונה בכלל, ואכן ההתסברות היא 1/3. השאלה היא בכללי המשחק.
    שימו לב להבדל בין המשחקים הבאים:
    1. השחקן מחוץ לחדר. למונטי יש 3 דלתות והוא פותח אחת מהן באקראי ומוציא אותה מהמשחק, ולאחר מכן נכנס השחקן ובוחר אחת מ-2 הדלתות שנותרו. המקרה הזה זהה למקרה שהצגתי קודם. יש סיכוי של 1/3 שמונטי יפתח את הדלת עם הפרס ויוציא אותה מחוץ למשחק (לפני שהשחקן נכנס לחדר). במקרה זה השחקן תמיד יפסיד. לכן במשחק זה יש לשחקן סיכוי של 1/3 בין אם יחליף את הדלת ובין אם לא (ברגע שהשחקן נכנס לחדר יש הסתברות של 2/3 שיש בכלל פרס מאחורי אחת הדלתות, ומתוך זה הסתברות של 50% שיבחר בפרס = 1/3).
    2. משחק רגיל בו שחקן נכנס לחדר עם 2 דלתות שמאחורי אחת מהן בודאות יש פרס. רק במקרה הזה יש הסתברות של 50% שהשחקן יזכה.
    כמו שאפשר לראות רק לגבי המשחק האחרון האינטואיציה הפשוטה עובדת נכון, אבל כל שאר המשחקים שדנים בהם בפוסט ובתגובות שונים לחלוטין מהמשחק "הרגיל".

    לסיכום (אחרי שהארכתי…) –
    לדעתי אין מה לסמוך בהסתברות על "אינטואיציה פשוטה" ועדיף לעשות את הניתוח לפי המקרים.
    כל זה נלמד בערך בשיעור הראשון של מבוא לסטטיסטיקה (גם ללא מתמטיקאים…), אז תכל'ס, זה נראה לי די פשוט.

  15. תשובה ל"מישהו": "מה קורה במידה ויש שני שחקנים ומסירים את הוילון שאף אחד מהם לא בחר , אז תגידו שעדיף לשניהם להחליף"? אנתח את המקרים על-פי השיטה שהצגתי למעלה, שיטת ה"כדורגל":

    נניח שבחרנו את דלת א, והשחקן השני בחר את דלת ג. לפי כללי המשחק, מונטי חייב לפתוח את דלת ב. אז:
    * אם המכונית מאחרי דלת א – כדאי לנו להשאיר: השאר 1, החלף 0.
    * אם המכונית מאחרי דלת ב – לא משנה מה נעשה – מונטי ייקח את המכונית לעצמו: השאר 0, החלף 0.
    * אם המכונית מאחרי דלת ג – כדאי לנו להחליף: השאר 0, החלף 1.
    בסה"כ התוצאה היא 1:1, כך שזה לא משנה באיזו אסטרטגיה נבחר.

    לגבי המקרה שבו מונטי פותח באקראי את אחת הדלתות שלא בחרנו:
    * אם המכונית מאחרי דלת א – כדאי להשאיר: השאר 1, החלף 0.
    * אם המכונית מאחרי דלת ב – יש הסתברות של 50% שמונטי יבחר אותה ואז זה לא משנה מה נעשה, ויש הסתברות של 50% שלא יבחר אותה ואז כדאי להחליף. לכן: השאר 0, החלף 0.5.
    * אם המכונית מאחרי דלת ג – כמו קודם – השאר 0, החלף 0.5.
    בסה"כ התוצאה היא 1:1, כך שזה לא משנה באיזו אסטרטגיה נבחר.

    רק במשחק המקורי מקבלים שהתוצאה היא 2:1 לטובת "החלף", ולכן רק במשחק המקורי כדאי להחליף.

  16. מונטי פתח וילון אחד עם עז, הסיכוי הפך מ 1/3 ל1/2 אם החלפת וילון או לא הסיכוי ההיסתברותי הוא 1/2, כל השאר זה פילוסופיה…

  17. לכל אלה שמתקשים להבין את הפתרון אני מציע לנסות לתכנת את החידה (לפתור את החידה בשיטת מונטה קרלו) ואז הפתרון מובן יותר.
    ההסבר שאני יכול לתת הוא שלדלת שבחרת יש הסתברות של 1/3 ולשתי הנותרות הסתברות 2/3 בעצם נותנים לך אפשרות לבחור בין הסתברות של 1/3 שהיא להשאר להסברות של 2/3 כי בעצם המעבר אתה בוחר את שתי הדלתות ביחד. באחד מהם בטוח יש עז- זו הדלת שהמנחה בחר.

  18. הבנתי שכיוון שישנו סיכוי של שני שליש שטעיתי בבחירתי, עלי להעדיף להמר על השליש שאולי צדקתי ובכך להגדיל את סיכויי לזכות. שאלתי, מדוע פתיחת הדלת אינה מגדילה למפרע את הסיכויים גם לבחירה הראשונה?

    ושאלה לאראל סגל: כתבת "בין שתי הדלתות שלא בחרת, יש יותר סיכוי שהמכונית נמצאת מאחרי הדלת שלא פתחתי", הרי אין פה שום אמירה לגבי מה שכן בחרתי ומדוע עלי לשנות את בחירתי?!

  19. חיים, השאלה היא מה הכוונה ב"למפרע". לכן כל כך חשוב להתעסק פה עם הגדרות מדויקות.

    לדעתי אין הגדרה סבירה של "למפרע" שבה ההסתברות אכן תקפוץ ל-50%. כל מה שפתיחת הדלת יכולה לעשות היא להבטיח שאם מישהו יגריל *עכשיו* דלת, ההסתברות שלו לזכות תהיה 50%. ההסתברות לזכות של מי שבחר אחת משלוש הדלתות בהתחלה נותרת 33% גם אחרי שנפתחת דלת.

    הדרך ה"מדויקת" לראות זאת היא באמצעות שימוש במושג של הסתברות מותנה, שהצגתי בפוסט אחר בבלוג. אם עושים את החישוב המתמטי אכן מקבלים 33%. בויקיפדיה האנגלית טרחו להציג את החישוב הזה:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Bayes.27_theorem

  20. אני מבין את הרעיון. כנראה שחובר להתמצא במתמטיקה כדי לשלול את הבחירה השגוי (באי החלפה). בכל אופן, תודה.

  21. אני רוצה להציע דרך אחרת להבין את ההבדל שבגללו הסיכוי הוא לא 50%. ניתן להסתכל על זה גם כעניין של סיבתיות (או השפעה). אם אני נכנס אחרי בחירתו של מונטי הול, אני מושפע ממנו (הבחירה שלי תלויה בבחירה שלו). אם אני המשתתף, הבחירה שלו תלויה בבחירה שלי. זה כמובן לא מסביר למה הערך הנכון הוא 1/3, אבל זה מבהיר למה אין לצפות ל1/2.

  22. לצערי אני לא מסכים עם ההסבר הזה. גם אני וגם מי שנכנס אחרי שנינו תלויים בבחירה של מונטי – היא מונעת מאיתנו לבחור את אחד הוילונות. ההבדל, אם כבר, הוא ברמת האינפורמציה שיש לנו – מי שנכנס אחרי לא יודע מהו "הוילון שנבחר קודם" (כלומר, הוילון שיש לו רק סיכוי של 1/3 לזכות). אם היה לו את הידע הזה (נניח, מישהו היה עושה עיניים ומצביע על הוילון), גם למי שנכנס אחרי שמונטי השתולל היה סיכוי של 2/3 לזכות.

    (אם זה לא שכנע אותך, לגיטימי; נסה להסביר באופן מתמטי ומדויק מה פירוש המילה "השפעה" שאתה משתמש בה כאן ואני סבור שבמהלך התרגום למתמטיקה תבין מה לא עובד).

  23. שלום!
    לא הצלחתי להשליך את החישובים שהצגת בבעיית האסירים לבעיית מונטי הול.
    אשמח אם תוכל לכתוב את החישובית המתמטיים של בעיית מונטי הול.

    תודה.

  24. ניתן להתייחס לבעיה בדרך שהוצגה כאן לפיה יש לכול אחת מהדלתות סיכוי של 1/3 שבה נמצאת המכונית ואילו לכול זוג דלתות יש סיכוי ביחד של 2/3 שבאחת מהן נמצאת המכונית (1/3X2=2/3) ואז כאשר בחרת בדלת א' אז לה יש סיכוי של 1/3 ולדלתות ב' וג' ביחד יש סיכוי של 2/3 שבאחת מהן המכונית נמצאת ואז לאחר שמונטי פתח את אחת מהדלתות ב' או ג' ונראה כי בה אין מכונית אז ידוע שלה הסיכוי הוא 0 שבה המכונית ובגלל זה לדלת שנותרה מזוג הדלתות הללו יש סיכוי של 2/3 שבה נמצאת המכונית ובגלל זה כדאי להחליף אליה ואילו ניתן להתייחס לשאלה בדרך נוספת: בכיוון שנאמרת שלכל זוג דלתות סיכוי של 2/3 שבאחת מהן נמצאת המכונית אז גם לזוג הדלתות א' ו-ב' יש סיכוי של 2/3 שבאחת מהן המכונית ואז כאשר מונטי פותח את דלת ב' ניתן לראות שלדלת א' בה בחרת יש סיכוי של 2/3 שהמכונית בה ובגלל זה דווקא לא כדאי להחליף את הבחירה (במידה ומונטי פותח את דלת ג' אז אפשר להתייחס לכול הפעמים בה רשמתי "ג'" בשיטה הזו כ-ב' ואז השיטה נוגעת גם לאופציה הזו) ואז מגיעים שוב למצב שבו לפי שיטה אחת יש סיכוי של 2/3 שבדלת א' נמצאת המכונית ואילו לפי השיטה השנייה לדלת אותה הוא לא פתח (ב' או ג') יש סיכוי של 2/3 שבה יש מכונית ובגלל שאחרי שתי השיטות הגענו לסיכויים שווים בין הדלת בה בחרת ובין הדלת אליה אתה יכול להחליף, ניתן להסיק כי הסיכויים בין הדלתות הנם 50:50.
    מקווה שתתייחסו/ תתקנו/ תקבלו את נקודת המבט הזו על הבעיה.

  25. נראה לי שהבנתי!
    בפשטות, בלי שלישים ושני שלישים, כי תסכימו איתי, רק לקרוא את ההסבר עם כל השברים מייגע.
    הנה הסבר שלי:
    מכיוון שבבחירה הראשונה לכל הדלתות אותו סיכוי, נניח שהשחקן תמיד בוחר דלת 1 ורק אוטו זז באופן אקראי מאחורי הוילון. מונטי *תמיד* פותח עוד וילון עם עז (פתיחה לא אקראית) ואני *תמיד* מחליף וילון כתוצאה מכך. אז מגיעים ל-3 מקרים מכאן:

    אוטו מאחורי וילון אחד (שלי) – מונטי פותח שתיים או שלוש – החלפה מביאה לעז
    אוטו מאחורי וילון שתיים – מונטי פותח וילון שלוש – החלפה מביאה לאוטו
    אוטו מאחורי וילון שלוש – מונטי פותח וילון שתיים – החלפה מביאה לאוטו

    אותו ניסוי בלי לשנות בחירה מגלה שב-1 מ-3 המקרים אני מגיע לאוטו.
    אבל… יש אולי רמאות במקרה הראשון – הרי למונטי יש שתי אפשרויות לפתיחה ולכאורה זה שני מקרים נפרדים! ואז, לכאורה, אני מקבל סיכוי של חצי! אז זהו, שלא. כי מונטי פותח כל אחד מהם באופן אקראי לחלוטין (לעומת שני המקרים האחרים) ולכן אין שום הבדל בין שני המקרים האלה. אפילו אפשר שיהיה למונטי "אלגוריתם קבוע" לגבי פתיחת וילון והוא כל פעם יחליף ביניהם לפי האלגוריתם שרק הוא יודע.

    תקנו אותי אם אני טועה

  26. במבוא להסתברות בטכניון, המתרגל (האגדי) סיפר את הסיפור במתכונת שנראה לי שתחבב, גדיאל. ממבט בכישלון 9 במשחק של נים, אתה לא זר לדרקונים ומבוכים…
    הבעייה היא, שפתאום אני לא בטוח אם הוא באמת סיפר אותו היטב…
    אז אתה גמד, הבורח מעדת אורקים במבוך. אם תיפול לידיהם – מותך וודאי. לפתע הגעת למבוי סתום, ולפניך 3 דלתות. בצד המערה, חקוק באבן: "שלוש דלתות, שני דרקונים, יציאה אחת". עוד אתה חוכך בדעתך, וקריאות האורקים ממש מאחוריך. עליך להחליט במהירה. אתה *בוחר* באחת הדלתות, ואז, בעודך מושיט את ידך אל הידית, כמעט נוגע בה, אתה מבחין במובהק בעשן דרקונים מבצבץ מתחת לאחת משתי הדלתות האחרות. מה עליך לעשות?
    האמת, הסיפור היה כ"כ מלחיץ שאיש לא חשב על להחליף או לא – אלא כולם הורו למתרגל לפתוח מיד את הדלת הראשונה. אין זמן! אבל ברצינות: למראית עין, זה חידת מונטי הול קלאסית. אבל במחשבה שנייה, אם לא נאמר כלום מראש, אין מנחה, אין סוהר, אין "חוקים", אין אף אחד ש"מסייע" לך – רק טיפת עשן שמבצבצת – האם זה עדיין אומר שצריך להחליף?

  27. אני עדיין חושבת שהאינטואיציה הראשונית היא הנכונה.
    יש פה צמצום של אפשרות אחת, שמביאה לתוצאה הגויה לדעתי של 2/3 לטובת ההחלפה.
    יש ארבע אפשרויות :
    המכונית בוילון א' שבחרתי, מונטי פותח את ב' אני עוברת לג ומפסידה.
    המכונית בוילון א' שבחרתי, מונטי פותח את ג' , אני עוברת לב ' ומפסידה.
    המכונית בוילון ב', מונטי ותח את ג, , עוברת ומרוויחה.
    המכונית בוילון ג' – מונטי פותח את ב' אני עוברת ומרוויחה.
    כלומר 50-50.
    הצמצום של אפשרויות א' וב' לאפשרות אחת הוא לא נכון לדעתי.
    באותה מידה יכולנו לצמצם את2 האפשרויות האחרונות לאפשרות אחת ואז היו 2 אפשרויות:
    המכונית בוילון שבחרתי(א) , מונט יפותח את ב או ג , אני עוברת ומפסידה.
    המכונית בוילון שלא בחרתי(ב או ג) , מונטי פותח את הוילון האחר ואני מרוויחה.
    זה כמו בחידת הילדים : התשובה השגויה של 2/3 שם נובעת מההנחה שיש 4 אפשרויות, בעוד שאם אנו מייחסים חשיבות לשאלה מי הבכור ומי הצעיר מבין השניים, יש 6 אפשרויות. (לצירוף של שני בנים או שתי בנות יש שתי אפשרויות שונות לכל אחד, אבל כל 2 אפשרויות כאלו צומצמו לאחת) . שתיים מתוך השש נפסלות עם פתיחת הדלת ע"י הבת, ונותרות 4. (מה שלגמרי מיותר, כי לטעמי אין שום חשיבות לשאלה מי הבכור ומי הצעיר, מה שמשאיר אותנו עם 3 אפשרויות בלבד – 2 בנים, שתי בנות , בן ובת, ופתיחת הדלת פוסלת אחת מהן ומשאירה עם שתיים).
    גם כאן – ההנחה היא שיש 3 אפשרויות, אבל למעשה יש ארבע, וזה משנה את הסטטיסטיקה. אין לי ידע בתכנות כך שאני לא יכולה לבדוק את התוכנות שמחשבות את הסיכוי, אבל אני מניחה שהתוכנה לוקחת מלכתחילה את ההנחה ששתי האופציות הראשונות הן אחת, ואז ברור שההסתברות תהיה של 2/3.

  28. היי ענת. את צודקת לגמרי בכך שיש כאן ארבע אפשרויות, ולמעשה – בחלק השני של הפוסט אני מסביר למה קריטי לחלוטין שבמקרה שבחרת בוילון הנכון, מונטי יבחר בין שתי הדלתות באיזו הוא רוצה לפתוח בהסתברות אחידה.

    אבל מה הבעיה? שארבע האפשרויות שציינת הן לא כולן שוות-הסתברות. יש שני אירועים אקראיים שמתרחשים במרחב שלנו – הראשון הוא הבחירה שלך בדלת מסויימת, והשני הוא הבחירה של מונטי באיזו דלת לפתוח, שמותנה בבחירה שלך בדלת מסויימת. אצלך שינית קצת את נקודת המבט ואת מתייחסת לבחירה שלנו בתור קבוע (א') ובתור ההגרלה למיקום המכונית, אבל זה שקול.

    אם כן, המאורע "המכונית מאחורי דלת X" מתרחש בהסתברות 1/3 לכל אחד מה-X-ים. המאורע המותנה "בהינתן שהמכונית מאחורי דלת X, מונטי בוחר לפתוח את דלת Y" הוא בהסתרות 1/6: ה-1/3 של "המכונית מאחורי דלת X" כפול ה-1/2 של "מונטי בוחר לפתוח את דלת Y". לכן ההסתברויות של ארבע האפשריות שלך הן, בהתאמה, 1/6, 1/6, 1/3, 1/3, ומכאן התוצאה.

    זו אחת הבעיות המרכזיות שבלעשות הסתברות באופן "אינטואיטיבי", כמו שקרה עם הילדים – יש כל מני הנחות של התפלגות אחידה שהן בכלל לא נכונות. צריך לשבת ולכתוב במסודר את מרחב ההסתברות כדי להימנע מבעיות כאלו.

  29. אני צריכה לחשוב עוד על ההסבר הזה, בינתיים אנסה לתקוף מזוית אחרת:
    אתה טוען שאם חרתי דלת ונותנים לי להחליף בלי לראות את העז, עדיף לי כי הסיכוי של שתי דלתות הוא 2/3 ושל דלת אחת הוא 1/3. זה נכון. אם בחרתי דלת א' למעשה יש סיכוי של 1/3 שהמכונית בב' ו1/3 שהמכונית בג' וביחד 2/3. אבל אם פתחו לי הרגע את ג' ויש שם עז, אז יש אז אין כבר סיכוי של 1/3 שהמכונית ב ג. זה כמו דוגמת הילדים – ברגע שאתה מוסיף נתון – שיש בת אחת – אתהשולל אפשרויות שהיו קיימות קודם, ובודק מה עכשיו ההסתברויות שלך. גם כאן אתה מוסיף נתון עם פתיחת הדלת. אין עז בג. כלומר משש אופציות שהיו בהתחלה:
    עז1,עז2,מכונית
    עז2,עז1,מכונית
    מכונית,עז1,עז2
    מכונית עז2,עז1
    עז1,מכונית,עז2
    עז2,מכונית,עז1.
    פסלנו 2 אפשרויות.
    ונשארו 4. בשתיים המכונית ב'א' ובשתיים המכונית בב'.
    נחשף לנו נתון חדש שמשנה את התמונה.
    זה פשוטלא הגיוניי שמישהו שעכשיו נכנס יוכל לבחור מחדש עם סיכוי של 50-50 ולי יהיה סיכוי טוב יותר להחליף כי בחרתי קודם.

  30. אני אחדד את הדברים:
    אם במקרה של הילדים הופעת הבת גרמה לנו להגיע ל 4 תוצאות אפשריות מהמרחב שהיה לנו קודם, למה כאן זה לא קורה עם הופעת העז?

  31. לך יש סיכוי טוב יותר להחליף לא כי בחרת קודם, אלא כי יש לך אינפורמציה נוספת שאין למי שנכנס מבחוץ – מה הדלת שנבחרה ראשונה. כל אחד בקהל שראה את זה קורה יהיה גם הוא בעל סיכוי של 2/3. המידול שאת מציעה פשוט לא מתייחס למידע הנוסף הזה.

    חשוב להבין – גם פה וגם בדוגמת הילדים – שפתיחת הדלת היא לא סתם מחיקה של אפשרויות ממרחב המדגם שלנו ותו לא. ככה לא עובדת הסתברות מותנית. הסתברות מותנית מתנה מאורע אחד במאורע אחר, כאשר "מאורע" הוא תמיד קבוצה של תוצאות בסיס אפשריות במרחב המדגם שלנו. מרחב המדגם שאת נתת פשוט לא מאפשר חישוב של התניה כזו כי אין בו ייצוג למה שהמנחה עושה. מה שהוא מתאר הוא את "מה ההסתברות שהמכונית בדלת 2 בהינתן שמאחורי דלת 3 היא לא"; הוא לא מתאר את "מה ההסתברות שמי שמחליף את הבחירה שלו בהינתן אקט פתיחת הדלת ינצח". אלו שני דברים שונים.

    ברשותך, אפשט טיפה את המרחב שלך כי אין צורך בשמות שונים לעזים:
    עז, עז, מכונית (הסתברות 1/3)
    מכונית, עז, עז (הסתברות 1/3)
    עז, מכונית, עז (הסתברות 1/3)

    שלוש אפשרויות. מה שאני טוען הוא שצריך להוסיף למרחב האפשרויות הבסיסיות גם את הדלת שהמנחה פותח (נניח שאנחנו תמיד בוחרים את הדלת הראשונה):

    עז, עז, מכונית, פותח את דלת 2 (הסתברות 1/3)
    מכונית, עז, עז, פותח את דלת 2 (הסתברות 1/6)
    מכונית, עז, עז, פותח את דלת 3 (הסתברות 1/6)
    עז, מכונית, עז, פותח את דלת 3 (הסתברות 1/3)

    שימי לב לשני המקרים האמצעיים – אם המכונית אצלנו, אז למנחה יש שתי דלתות לבחור מי מביניהן לפתוח והוא מגריל אחת מהן באקראי. לכן למקרים הללו יש הסתברות 1/6. אולי הנקודה הכי קריטית כאן היא שההגרלה היא בין דלתות ב ו-ג'; דלת א' *לא משתתפת בה*, וזה מידע שאין למי שנכנס לאולפן זה עתה.

    עכשיו, מה המאורע "המכונית מאחורי דלת 2 בהינתן שהמנחה פתח את דלת 3"? ובכן, לשם כך לוקחים את ההסתברות של המאורע "המכונית מאחורי דלת 2 וגם המנחה פתח את דלת 3" – שכולל אירוע בסיסי אחד בהסתברות 1/3, ומחלקים אותו בהסתברות של המאורע "המנחה פתח את דלת 3" שהוא מאורע שכולל שתי תוצאות בסיס, אחת בהסתברות 1/3 והשניה בהסתברות 1/6 ולכן ההסתברות הכוללת של המאורע הזה היא 1/2.

    1/3 לחלק ב-1/2 – מקבלים 2/3.

  32. אוקי, הבנתי את החישוב הסטטיסטי היבש, זה עדיין קשה להסביר את זה בצורה שתהיה ברורה לאינטואיציה, אבל אני בדרך…
    ההנחה שלי שאדם שלישי שיכנס לאחר הוצאת העז תהיה לו הסתברות של 50-50 היתה פשוט מוטעית. תהיה לו אותה הסתברות כמו לי, רק שלא יהיה לו את המידע באיזה דלת בחרתי כדי לפעול.

  33. לא, ההנחה הזו לא מוטעית. לאדם הזה באמת תהיה הסתברות של 50:50 לזכות.

    אולי הבעיה היא שאת לא מבינה למה יש לייחס את ההסתברות. צריך ליחס אותה לדרך פעולה מסויימת, כשהשאלה היא "מה ההסתברות שמי שנוקט בדרך הפעולה הזו יזכה?". דרך הפעולה של "תבחר את הדלת שהיא לא הדלת שהמשתתף הראשון בחר בה ולא הדלת שהמנחה פתח" תניב הסתברות הצלחה של 2/3; דרך הפעולה של "בחר באקראי דלת מבין הדלת שהמשתתף הראשון בחר והדלת האחרת שהמנחה לא פתח" תניב הסתברות הצלחה של 1/2. ברור שכולם יעדיפו את האסטרטגיה הראשונה, אבל לא לכולם יש מספיק מידע בשביל לנקוט בה.

  34. יש 3 פיסות אינפורמציה במשחק:
    1. יש מכונית מאחורי אחת משלושת הדלתות
    2. המכונית לא מאחורי הדלת הזו
    3. המכונית לא מאחורי הדלת הזו.

    אם יש לך את 3 פיסות המידע- אתה יודע איפה המכונית.

    אדם מתחיל תמשחק ומקבל פיסת אינפורמציה ראשונה… "טוב צריך לבחור דלת"
    מונטי הוא כל יכול, יודע איפה המכונית ויש לו 2 אופציות:
    א. אם האדם בחר בדלת הנכונה הוא יכול לפתוח מה שבא לו
    ב. אם האדם בחר בדלת ריקה, הוא חיייייייב לבחור אך ורק בדלת ההופכית.

    אם כן פיסת האינפורמציה השנייה היא בעלת ערך גדול יותר… בשליש מהמקרים (כשבחרנו תדלת הנכונה) היא לא מוסיפה לי מידע
    אבל בשני שלישים מהמקרים היא אומרת לי שגם מאחורי הדלת שלי אין כלום

    אני כצופה מסכן לא יודע איזה מקרה מתרחש ברגע זה- אני רק יודע שבשתי שליש מהמקרים- פיסת האינפורמציה שמונטי נותן לי שווה בעצם שתי פיסות אינפורמציה… גם מאחורי הדלת שנפתחה אין כלום, וגם מאחורי הדלת שלי אין כלום.

    זה לא מושלם, אבל היי- בשתי שליש מהמקרים יש לי את כל שלושת פיסות האינפורמציה.

    נניח שמישהו נכנס אחרי שסילקו דלת אחת…
    הוא עכשיו מקבל פיסת אינפורמציה… יש מכונית מאחורי אחת הדלתות.
    אלא אם כן הוא יקבל עוד פיסת מידע, הסיכוי שלו הוא חצי חצי.

  35. בואו נסתכל על החידה בצורה שונה.
    נניח שחבר מגיש לי שק שחור ואטום שבתוכו ישנם 3 כדורים, אחד זהוב ושניים שחורים.
    המטרה שלי היא להוציא כדור זהוב בשליפה אחת מתוך השק.

    אני מכניס את היד לתוך השק ואוחז בכדור, בלי להוציא אותו מהשק – פשוט מחזיק בו.
    עכשיו, על פי חוקי המשחק בואו נניח שהחבר (מקביל מונטי) מציץ בשק ומוציא ממנו כדור שחור שאני לא אוחז בו.
    עכשיו, ניתנת לי אפשרות – לשחרר את האחיזה מהכדור, לערבב, להגריל כדור שוב ולשלוף אותו. או לחילופין לשלוף את הכדור שבו אחזתי מתלכתחילה.
    מה עדיף?

    הסתברות פשוטה – במקרה הראשון, הסיכוי שלי הוא שליש.
    במקרה השני, הסיכוי שלי הוא חצי.

    אבל מה שונה פה מהמקרה של מונטי?
    ההבדל לעומת מקרה הוילונות הוא שכאן שוב נותנים להסתברות לשחק תפקיד כשמערבבים שוב את הכדורים ולא פשוט מחליפים לוילון השני. אם במקום להחליף וילון, השחקן של מונטי היה עושה "אין-דן-דינו" על הוילונות, המקרים היו זהים…

    מה אתם חושבים?

  36. בס"ד

    נהנתי מקריאת הפוסט, אבל לא הצלחתי לעלות על השאלה האחרונה בכוחות עצמי, "איפה מונטי הול כאן?"
    תודה

  37. האם אפשר להסתכל על זה בצורה הזאת?

    אם בחרתי בדלת הנכונה מונטי יפתח דלת אקראית כלשהי מהדלתות הנותרות
    אם בחרתי בדלת הלא נכונה הוא חייב לפתוח דלת אחת ספציפית שהיא הלא נכונה השניה

    יש שתי דלתות לא נכונות בהן אוכל לבחור. נניח ובחרתי באחת מהן והחלפתי אז צדקתי ב 2 מקרים.
    לעומת זאת אם בחרתי בדלת הנכונה והחלפתי אז צדקתי אז טעיתי רק במקרה אחד.

    לעומת זאת אם אבחר להשאר בדלת שבחרתי בהתחלה:

    יש שתי דלתות לא נכונות בהן אוכל לבחור. אם בחרתי בהן ולא אשנה את בחירתי אז טעיתי פעמיים.
    אם נשארתי עם הדלת הנכונה צדקתי בפעם אחת בלבד.

    לכן עדיף לנו להחליף.

    האם הבנתי את הבעיה?

  38. למרות שהבעיה הומצאה עוד במאה ה-19, ופורס*מ*ה בידי מרטין גרדנר בסוף שנות ה-50, מה שנתן לה…
    במשפט הנ"ל חסרה המ"ם שבכוכביות, לטיפולך. 🙂

  39. שלום לכולם, פוסט מעניין מאוד!
    יש לי שאלה לגבי הידע העצום של מונטי 🙂
    מה אם הוא היה יודע את המיקום רק של עז אחת? (כלומר, הוא לא יודע את המיקום של המכונית, לשם כך הוא צריך לדעת את מיקומם של 2 עזים).
    מה קורה אז מבחינת כל המצבים האפשריים?

  40. אז הסיטואציה הייתה שונה. כדי להבין מה בדיוק היה קורה, ומה היו הסתברויות הזכיה, צריך להגדיר במדויק מה מונטי יודע (דהיינו, בהינתן קונפיגורציה כלשהי של עזים ומכוניות, על איזו מהעזים מונטי יודע; ואם הוא יודע "אחת מהן באקראי" מה ההתפלגות של ה"אקראי" הזה).

  41. תודה על התגובה 🙂
    חשבתי שמדובר באותה התפלגות כמו בבעיה המקורית. אני אגדיר את זה באופן מדויק: יש עז A ועז B ויש מכונית, כמו במשחק המקורי (3 וילונות). מונטי יודע את המיקום של עז A. זה המידע היחידי שיש ברשותו.
    עכשיו השחקן בוחר וילון. בסיכוי 1/3 הוא זוכה במכונית. נניח שהוא לא בוחר בוילון עם עז A.
    כעת מונטי חושף את מיקום עז A. השאלה היא: אם השחקן מחליף בחירה: האם סיכוי הזכיה הוא 1/2 או 2/3?

  42. אתה לא נותן את כל המידע. מאחורי איזה וילון נמצאת עז A? האם זה תמיד הוילון הימני? השמאלי? האמצעי? האם הוא נבחר באקראי? אם באקראי, מאיזו התפלגות?

  43. הוא לא עושה כלום, כי אין לו מידע אחר שיכול לחדש משהו. אי אפשר לנתח רק את המצב שבו השחקן בוחר בוילון שאינו מסתיר את A? כי כל העניין שמונטי יוסיף מידע.

  44. אפשר לענות על השאלה הבאה: "בהינתן שהשחקן בחר בדלת שאינה A, מה ההסתברות שיזכה אם יחליף?". התשובה כאן היא 1/2, כי הסתברות המאורע "השחקן בחר בדלת שאינה A" היא 2/3, והסתברות המאורע "השחקן בוחר בדלת שאינה A וזוכה אם הוא מחליף" היא 1/3 (היא שווה להסתברות שהשחקן יבחר בדלת שמאחוריה נמצא B).

    העניין הוא שזו לא שאלה מעניינת במיוחד. השאלה המעניינת במונטי הול וזו שבדרך כלל עונים עליה היא "מה ההסתברות שהשחקן יזכה אם הוא מחליף", בלי "בהינתן"-ים. בסיטואציה שאתה מתאר, שבה מונטי "לא עושה כלום", השחקן בעצם מפסיד אם הוא בוחר את הדלת שיש מאחוריה את A. לכן הסיכוי היחיד שלו לנצח אם האסטרטגיה שלו היא להחליף תמיד אם מציעים לו את זה הוא לבחור את הדלת שיש מאחוריה B, וזה קורה בהסתברות 1/3. כלומר, הסתברות הזכיה של אסטרטגיית ההחלפה היא 1/3, וגם הסתברות הזכייה של אסטרטגיית אי-ההחלפה היא 1/3 במקרה הזה.

  45. אני כלל לא מבין את השאלה לגבי ההבדל בין השעשועון לבעית אסירים. בשעשועון הסיכוי שהמשתתף ינצח אם הוא לא יחליף את בחירתו הוא שליש ובבעית האסירים הסיכוי שהאסיר יוצא להורג ("ינצח") אם הוא לא יחליף את גופו הוא שליש. זה נראה לי מקביל לחלוטין.
    (סליחה על התגובה המאוחרת בכמה שנים אבל משיטוט מהיר בתגובות לא ראיתי התייחסות לעניין)

  46. הנקודה בבעיית מונטי הול (הילדים ההסתברותיים וכד') היא שאנשים משכילים וגם בתחום ההסתברות פותרים לא נכון את הבעיות האלו במשך *עשרות* שנים. וזאת למרות שלאחר שמסבירים את הפתרון היטב גם "ילד בכיתה ה" מסוגל להבין את הפתרון בחמש דקות. רק מראה עד כמה בעיות בהסתברות הן חמקמקות ועד כמה חשובה הבנת הבעיה על פני "ידיעת התאוריה".

  47. אני לא יודעת אם מישהו יראה את התגובה ב-2016, אבל אני פשוט צלא מצליחה להבין את זה. והנה מה שאני לא מבינה:
    דמיינו לעצמכם אולם עם 4 חדרים של משחקי מונטי הול. בכל החדרים המכונית עומדת מאחורי דלת A, וישנה דלת נוספת B ומאחוריה עז (נכנה את הדלת שלא תיפתח ע"י המנחה B באופן קבוע). בחדר הראשון יש רק שתי דלתות אלה, והשחקן נדרש לבחור מבניהן. סיכויי ההצלחה שלו הם 50%, והחלפת הדלת לא תשנה דבר. בחדר השני ישנה גם דלת C ומאחוריה עז, ומתקיים המשחק כפי שתואר למעלה: אחרי הבחירה המנחה פותח את דלת C והשחקן יכול לשנות את בחירתו. אם ישנה את בחירתו יגלו סיכוייו משליש לשני שליש, כפי שראינו למעלה. בחדר השלישי אני מוסיפה נוסף לדלת C גם את דלת D, וגם מאחרויה יש עז. אחרי שהשחקו בחר בדלת אחת (A או B לפי ההגרה שהגדרתי), אני פותחת את דלתות C ו-D ושואלת אם ברצונו להחליף. כאן הוא כבר יכול לשלש את סיכוייו, כי עכשיו דלת ש, זו שמאחוריה המכונית, היא כבר אחת מ-4 דלתות, ולכן מדובר ב25% לעומת 75%. ובחדר הרביעי אני כבר מחליטה להתפרע, וזורקת פנימה את כל הABC. חוץ מהדלת עם המכונית – A, והדלת הנוספת שלא תיפתח – B, ישנן עוד 24 דלתות. מאחורי כולןם יש עיזים, ואת כולן,C-Z אני פותחת אחרי הבחירה הראשונה. עכשיו כבר מדובר בסיכוי של 4% לעומת 96% לטובת ההחלפה. ואם ארצה לשפר את סיכויי המתמודד אפילו יותר מכך, פשוט אוסיף עוד ועוד אפשרויות-דמה, אחשוף אותן ככאלה ואתן לו את האפשרות לבחור, שוב, בין A ו-B. (כשB זו הדלת הלא נכונה שהוא בחר, או דלת אקראית במידה ובחר ב-A). עקרונית, אם "אשאיף" אתמספר דלתות הדמה לאינסוף, אני "משאיפה" את סיכויין של השחקן לבחור את דלת המכונית ל-100% אם יחליף את בחירתו הראשונה. שהיתה אקראית. ***זה נראה למישהו פה הגיוני?!***
    ונקודה נוספת (או שזו בעצם אותה נקודה): המכונית מאחורי דלת A קיימת. **היא שם**!!! היא לא נבראת יש מאין ברגע שהשחקן מנחש או מחליף את הניחוש. היא לא יודעת הסתברות. ולא אכפת לה אם חוץ ממנה יש עז אחת מאחורי דלת אחת, או דיר שלם של עיזים לא רלוונטיות מאחורי צי של דלתות שנפתחות לפני הבחירה הסופית. ברוב חוצפתה המכונית פשוט קיימת. והיא ממשיכה להתקיים מאחרוי דלת A. והעז שמאחורי דלת B – גם אותה לא ממש מעניין כמה עיזים אחרות היו ושולחו לעזאזל המדברה. גם היא פשוט קיימת, כשבחורצ'יק שלנו עשה את הבחירה הראשונית שלו היא היתה קיימת שם, וכל אותו זמן שפתחתי את 25 הדלתות הנוספות הי המשיכה להתקיים, לנפנף בזנב, לאכול, להפליץ. והכל מאחורי דלת B. והבחירה שבסופו של דבר נשארת היא בין הדלת עם המכונית שתמיד היתה שם, ובין דלת אחרת עם עז שתמיד היתה שם (הדלת עם העז נבחרה באקראי לא להיפתח מבין הרבה דלתות-עם-עז שנבחרו כן להיפתח: או באקראי ע"י הבחור, או באקראי ע"י המנחה אם הבחור צדק בהתחלה.) מה זה משנה מתוך כמה דלתות-עם-עז נבחרה הדלת הנוכחית (B) להיות זו שהבחור שלנו צריך להכריע בינה ובין הדלת עם המכונית??
    את החישוב כפי שהוצג למעלה אני מבינה, אבל זה כמו התמונות המתעתעות האלה, שאם תסתכל מזוית את יראו לך כך, אבל רק עד שתאלץ להסתכל גם מהכיוון האחר ואז יראו לך אחרת – אבל לא לגמרי…
    מי שהבין מה מפריע לי ויכול לפתור לי את הבעיה – יבורך!

  48. המשך: ואם זה אכן "עובד", כלומר אם המציאות מוכיחה שיש משמעות להסתברות הזאת למרות שהיא מתקיימת במרחב תאורטי לגמרי: במרחב הידיעה וההכרה של השחקן, יש בזה משהו מן המיסטי כבר. בערך כמו קריסת פונקציית הגל במכניקת הקוונטים, כשהתודעה של הנסיין משפיעה (ואפילו רטרואקטיבית!) על התנהגות החלקיקים בניסוי, ו"מכריחה" אותם לחדול מלהיות "גל של הסתברות" ולהתחיל להיות אפשרות אחת מציאותית ונצפית… אם כך, גם כאן זה משהו כזה?

  49. לעדנה: ההסבר פשוט וקל. בודאי שיש כאן השפעה של התודעה של המשחק: הוא הרי בחר את הדלת הראשונה. ובכך לא השאיר הרבה ברירות למנחה אלא לפתוח לו את הדלתות האחרות שאינן המכונית. הסיכוי שהוא צדק בבחירה הראשונית שלו ב n דלתות היא 1/n ואילו לטעות הסיכוי שלו הוא n-1/n שלמעשה שואף ל 1 כש n שואף לאינסוף. וכעת אם טעה שזה הדבר ההגיוני שיקרה ככל ש n גדל אזי המכונית נמצאת ב n-1 הדלתות האחרות. ומאחר שהמנחה* מחוייב* לפתוח n-2 דלתות הוא יפתח את כל הדלתות עם העזים וישאיר… את הדלת עם המכונית שהרי אותה אסור לו לפתוח …
    זאת הסיבה שהסיכויים גדלים ככל שמספר הדלתות גדל כשמחליפים בחירה.

  50. הדרך האינטואיטיבית שלי להסתכל על הבעיה:
    אם היו ניתנים 1000 דלתות ובאחת מהן. בחרתי באחת ופתחו בפני 998 דלתות. נשארתי עם 2 דלתות. האם להחליף? כמובן שלא. כל 998 הפעמים רק הצביעו על כך שבחרתי נכון.

    מה הסיכוי ש998 דלתות יהיו ריקות בגלל שבחרתי באחת מ1000 באקראי?

    את האחרונה לא פתחו באופן שרירותי שלא מצביע על כלום אלא רק כדי לתת לי אפשרות לבחור שוב.

    אותו הדבר ב3 דלתות, אין הבדל 🙂

  51. לא הבנתי למה זה לא דומה בדיוק למונטי הול

    תכלס במונטי הול המסקנה הייתה שכדאי לי לעבור לדלת השניה כדי לשפר את הסיכוי שלי משליש לשני שליש. ואותו דבר אצל האסיר, לאחר שהסוהר מגלה לו מי מהשנים האחרים ישוחרר הוא נשאר עם סיכוי של שליש להיות מוצא להורג.
    אם הוא היה יכול ל'התחלף' עם האסיר השני שהסוהר לא אמר הוא אכן יעלה את הסיכוי שלו לשני שליש

  52. רק להעלות לתשומת הלב שזה שפותחים בהכרח דלת שיש מאחוריה עז זה לא מספיק אלא חייבים גם להגדיר מראש שהמנחה לא יכול לפתוח את הדלת שלך.
    להמחשה ניקח מקרה בו יש שלושה (או יותר אם רוצים להקצין) אנשים וכל אחד בוחר דלת ואז המנחה פותח את כל הדלתות חוץ משתיים ומראה מאחוריהן עיזים.
    ברור של החליף במקרה הזה לא ייתן יותר סיכויים. (ולו מהסיבה הפשוטה שלא יכול להיות שנגיד לשני אנשים שלכל אחד שווה להחליף לדלת של השני)

  53. לא מתמטיקאי כך שמתנצל מראש על הניסוח. אבל לדעתי הפתרון הוא כזה::
    המנחה יודע היכן המכונית. ואחרי שהשחקן בחר הוא יכול לבחור רק אחת משני דלתות. .
    ב 1/3 מהמקרים.השחקן ניחש נכון. החלפת הדלת תהיה שגויה.
    ב 2/3 מהמקרים השחקן שגה. במקרים אלה יוותרו שני דלתות שמאחורי אחת מהן יש מכונית. המנחה יבחר כמובן בדלת עם העז.. ולכן הדלת שנותרה היא תמיד המכונית..
    ולכן אם מחליפים דלת זוכים ב 2/3 מהמקרים. ואם לא מחליפים דלת זוכים רק ב 1/3 מהמקרים. יחס של 1:2

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *