זמן לפתוח את הדיון על הקבוצה הפתוחה

בפוסט הקודם ניסיתי לדבר על הצורה שבה מושג ה"מרחק" מאפשר לנו להגדיר מושגים כמו רציפות והתכנסות. לקראת הסוף גררתי מושג חדש לדיון – "סביבה". אני רוצה לנסח עכשיו את הגדרות ההתכנסות והרציפות תוך שימוש במושג הזה בלבד, בלי לדבר על מרחק. הנה נסיון: נניח שיש לנו סדרה $latex x_n$. נאמר שהיא מתכנסת לנקודה $latex x$ …

מה המרחק מדיבורים על מרחק לדיבורים על טופולוגיה?

יש שתי גישות פדגוגיות שנתקלתי בהן כאשר מציגים את הטופולוגיה הקבוצתית; הראשונה, שבה נוקט למשל הספר המעולה של Munkres, היא פשוט לזרוק את ההגדרה לטופולוגיה על הקורא הנדהם, ולנסות להרגיע אותו לאט לאט באמצעות דוגמאות והסברים. אצל מונקרס זה עובד, אבל זה בגלל שהוא כותב כל כך טוב. לטעמי הגישה הזו היא הפחות ברורה ואינטואיטיבית, …

כמה קומפקטי יכול להיות הסבר על משפט הקומפקטיות?

לא מזמן התמזל מזלי לעשות דבר נדיר למדי (לפחות עבורי): להציג למרצה, שהיקף הידע שלו נרחב פי עשרות מונים משלי, הוכחה מתמטית אלגנטית ויפה במיוחד שהוא טרם הכיר (כמובן, לא הוכחה שאני המצאתי). ההוכחה הזו הייתה למשפט בסיסי מלוגיקה, הנקרא "משפט הקומפקטיות", בגרסתו עבור תחשיב הפסוקים. היפה בהוכחה הזו היא שהיא מבוססת על תחום שבמבט …