מה בין טופולוגיה, First-person shooters, נמלים שמטיילות על טבעות ובקבוקים בלתי אפשריים?

בפוסטים הקודמים עסקתי בטופולוגיה קבוצתית והצגתי בנייה מסובכת למדי – בנייה של מרחב באמצעות "מכפלה" של מרחבים קטנים יותר. למשל, אפשר ליצור מלבן על ידי "הכפלה" של שני קווים. כעת אני רוצה לעסוק בבנייה אחרת, חשובה לא פחות – "הדבקה". לפני שאציג אותה בצורה פורמלית, הנה הרעיון הכללי: הדבקה היא התהליך שבו אנו מסוגלים להפוך …

אז הנה הקשר בין קומפקטיות ומשפט הקומפקטיות

בפוסט הקודם דיברתי על מרחבי מכפלה ועל טופולוגיית המכפלה שמגדירים עליהם. אמרתי שבטופולוגיה הטבעית יותר ("טופולוגיית התיבה") יש תכונות שלא משתמרות – הדוגמה הייתה מרחבים קשירים שמכפלתם אינה קשירה יותר. כאשר משתמשים בטופולוגיית המכפלה, התכונה הזו אכן נשמרת, וההוכחה לכך אינה קשה. הרבה פחות קל להוכיח שכאשר כל המרחבים קומפקטיים, גם מכפלתם קומפקטית; לתוצאה הזו …

על מכפלות קרטזיות ושערים לא לוגיים

אחד הרעיונות הבסיסיים בטופולוגיה, ובמתמטיקה בכלל, הוא הרעיון של בניית אובייקט חדש מאובייקטים קיימים, כך שהתכונות של האובייקטים הקיימים "משרות" באופן מסויים תכונות על האובייקט החדש. כבר הצגתי כאן את הבניה של המספרים הרציונליים מהשלמים, של הממשיים מהרציונליים ושל המרוכבים מהממשיים; בכל אחד מהצעדים הללו, פעולות החיבור והכפל "הורשו" מהאובייקט הקודם לאובייקט החדש (למשל, אם …

כדי לסגור את עניין הקומפקטיות צריך גם קבוצות סגורות

אחד מהמשפטים הראשונים הנוגעים לפונקציות רציפות שסטודנטים לחדו"א נתקלים בהם הוא משפט – או יותר נכון, משפטי – ויירשטראס. המשפטים אומרים שלפונקציה רציפה בקטע סגור של הישר הממשי בהכרח יש נקודות מקסימום ומינימום (שהיא מקבלת, לא רק מתקרבת אליהן עד אינסוף). כלומר, הפונקציה "מתנהגת יפה" ולא בורחת לשום מקום – בהינתן מערכת צירים שמכווננת למינימום …