כיצד פרדוקס יום ההולדת מוליד חוב בבנק

לא מזמן נתתי כאן חידה ואחזור עליה שוב: כמה אנשים צריכים להיות במסיבה כדי שבהסתברות טובה, לשניים יהיה אותו יום הולדת – כלומר, אותו יום בשנה, לא בהכרח אותה שנה? כמובן שהשאלה בניסוח הזה מאוד לא מוגדרת היטב. הבה ונבהיר כמה נקודות עדינות. ראשית, אנו מניחים שימי ההולדת מתפלגים באופן אחיד, כלומר לכל יום בשנה …

פרדוקס המעטפות

ביום רביעי האחרון התמזל מזלי והייתי נוכח בהרצאה של פרופ' נוגה אלון על "חשיבה הסתברותית". אלון הוא מרצה בחסד עליון, וייתכן שזו (או אולי הפורום הספציפי שבו ניתנה ההרצאה) הסיבה לכך שהוא לא היסס להציג את הנושאים שעליהם הוא דיבר בצורה קצת יותר מורכבת מההצגה הסטנדרטית שלהם. הוא דיבר על הבעיה של מונטי הול, על …

שאלות ותשובות – מקבץ מס' 3

די בזריזות אחרי הפוסט השני הצטברו שאלות רבות, והנה התשובות: "מציאת שארית ללא מחשבון" – אני מניח שהכוונה לשארית מחילוק. כדי לעשות זאת באופן כללי עבור שני מספרים אין מנוס מחילוק ארוך. בחילוק של p ב-q ארוך סדר הפעולות הוא כזה: מצא את הספרה (בין 1 ל-9) הגדולה ביותר שבה ניתן לכפול את q ועדיין …

זה לא ראשוני, זה אפילו לא פריק

לגמרי במקרה נתקלתי בכתבה עתיקת יומין מ"הארץ" על אלגוריתם AKS המפורסם לבדיקת ראשוניות. הכתבה הזכירה לי את הציטוט המפורסם של וולפגנג פאולי, שאמר על עבודה של פיזיקאי עמית ש"זה אפילו לא שגוי'" (ציטוט שכבר הזכרתי בבלוג הזה). פשוט מדהים אותי כמה עיוותים מוחלטים וסתם חוסר הבנה ובורות אפשר להכניס בכתבה קצרה יחסית, וכמו תמיד בקריאת …

הקרב האחרון – סכום נגד “סכום”

בשעה טובה הגעתי לתיאור (שהבטחתי כבר לפני אלפי פוסטים) של המתקפה של זאב בכלר בספרו "שלוש מהפכות קופרניקניות" על מושג הסכום של טור אינסופי כפי שהציע אותו קושי (למעשה, קודם הוא תוקף את מושג הגבול, וגם את זה אתאר – אלא שההתקפה על הסכום היא בעייתית עוד יותר שכן נראה לי שבכלר סותר במהלכה את …

אכילס והצב יוצרים דיכוטומיה בין המודלים האפשריים לתנועה

כמו בפרדוקס החץ של זנון, כך גם בפרדוקס הדיכוטומיה, אני מעדיף, כשאני מציג את ה"פתרון" שלי לפרדוקס, להתבסס על ניסוח שאינו שלי אלא של מישהו שסבור שהפרדוקסים לא נפתרו – דהיינו, זאב בכלר: "לו היה הקו רציף, הוא היה ניתן לחלוקה אינסופית… אך בהנחה זו, כיצד תיתכן התנועה? כדי להגיע לקצה הקו יש להגיע קודם …

הקרב נפתח ביריית חץ

בעבר נהגתי לתאר את הפרדוקסים של זנון לכל דורש בהתלהבות רבה. עם השנים (בפרט, ככל שלימודי המתמטיקה התקדמו) גיליתי שקשה לי יותר ויותר לתאר אותם, ואני נזהר יותר ויותר בניסוחים שלי. לבסוף הגעתי למצב שבו אני יכול אולי לומר איך אחרים מתארים את הפרדוקסים, אבל אני עצמי לא רואה בהם שום בעיה פרט לכך שהם …

האם יש לנו ודאות לוגית שיש אינפורמציה במתמטיקה?

לפני מספר שנים התגלגל לידי ספר בשם "שלוש מהפכות קופרניקניות" מאת זאב בכלר, פרופסור לפילוסופיה של המדע, שעוסק, על פי מה שכתוב בכריכתו האחורית, ב- "סיפור דילדולה של המחשבה הפילוסופית והידרדרותה מאז השיא שהגיעה אליו עם המהפכה הקופרניקנית והמדע הניוטוני. הידרדרות זו החלה כמרד נגד המדע הניוטוני, מרד שהתגבש בראשונה ב"מהפכה הקופרניקנית" של קאנט. קיצו …

אין גבול לפורמליזם

הבטחתי שאתאר את מושג הגבול בצורה פורמלית. הגיע הזמן לקיים. לטעמי, יש ערך כלשהו בכך שכל מי שמתעניין במתמטיקה, לא רק מי שלומד אותה, ידע את המושג הזה, ולו כדי לראות איך מפרמלת המתמטיקה מושג שנשמע על פניו מעורפל למדי. מכיוון שכבר הצגתי את האינטואיציה קודם, אקפוץ ישר לפורמליזם. אז יש לנו סדרה, $latex a_1, …

21 סיבות לא לראות את 21

(טוב, הכותרת היא סתם. אני לא אוהב פוסטים "רשימתיים", ואני לא בטוח שאצליח לגרד 21 סיבות) לא מזמן יצא לי, באדיבות טיסה ארוכה, לראות את הסרט "21". תקציר מהיר: הסרט עוסק בבן, סטודנט "מבריק" למתמטיקה שמושך את תשומת לבו של אחד המרצים שלו, והלה מציע לו להצטרף לחבורת "סופרי הקלפים" שלו – שחקני בלק ג'ק …

מסיבת יום הולדת לביצה – הפתרונות

בפוסט הקודם הצגתי מספר חידות, וכעת אנסה להציג פתרונות אפשריים עבורן – בשום פנים ואופן איני טוען שאלו הפתרונות היחידים. נתחיל מפרדוקס יום ההולדת. התשובה המספרית היא 23 – אם יש לפחות כמספר הזה של אנשים במסיבה, יש הסתברות גבוהה מחצי (בהינתן שימי ההולדת שלהם מתפלגים באופן אחיד) שלשניים יהיה אותו יום הולדת. לדעתי זוהי …