אין גבול לפורמליזם

הבטחתי שאתאר את מושג הגבול בצורה פורמלית. הגיע הזמן לקיים. לטעמי, יש ערך כלשהו בכך שכל מי שמתעניין במתמטיקה, לא רק מי שלומד אותה, ידע את המושג הזה, ולו כדי לראות איך מפרמלת המתמטיקה מושג שנשמע על פניו מעורפל למדי. מכיוון שכבר הצגתי את האינטואיציה קודם, אקפוץ ישר לפורמליזם.

אז יש לנו סדרה, $latex a_1, a_2, a_3,\dots$. אנחנו אומרים על מספר $latex A$ שהוא הגבול שלה אם לכל מספר ממשי חיובי $latex \varepsilon>0$ קיים מקום בסדרה, $latex N$, כך שהחל ממנו, דהיינו לכל $latex n>N$ מתקיים $latex |a_n-A|<\varepsilon$, ובמילים – המרחק בין האיבר $latex a_n$ ובין $latex A$ קטן מ-$latex \varepsilon$. הסימון המקובל לכך הוא $latex \lim_{n\to\infty}a_n=A$.

הדרך הטובה ביותר לדעתי להמחיש זאת היא עם נקודות במישור. "סדרה" היא פשוט אוסף של נקודות במישור שלכל אחת מהן יש מספר טבעי. הגבול הוא גם כן נקודה במישור, והוא זוכה להיקרא הגבול של הסדרה אם מתקיימת התכונה הבאה: לכל עיגול שנצייר סביבו, ולא משנה באיזה רדיוס (כל עוד הרדיוס חיובי), כל נקודות הסדרה יהיו בתוך העיגול הזה, פרט אולי למספר סופי של נקודות בהתחלת הסדרה. מעתה אגיד "כמעט כל אברי הסדרה" כשהכוונה שלי תהיה "כולן פרט למספר סופי" – זוהי טרמינולוגיה מתמטית מקובלת, ונוחה יותר לשימוש.

עוד דרך לחשוב על הגדרת הגבול היא בתור "משחק" ביני לבין איזה שהוא יריב ערמומי. אני מתחיל את המשחק בכך שאני מצהיר ש-A כלשהו הוא גבול הסדרה; כעת היריב מציב לי אתגר בדמות $latex \varepsilon$ (ה"עיגול" סביב הנקודה שהצהרתי עליה). כעת מחובתי לספק $latex N$ טבעי בתור מענה ל-$latex \varepsilon$ של היריב (בפרט, התשובה שלי תהיה שונה עבור ערכים שונים של $latex \varepsilon$); כעת הכדור חוזר לידיים של היריב. אם הוא מצליח למצוא נקודה כלשהי $latex a_n$ שמקיימת $latex n>N$ וגם $latex |a_n-A|\ge \varepsilon$, הוא ניצח; אחרת, אני ניצחתי, ו"הוכחתי" ש-$latex A$ הוא אכן גבול הסדרה.

כל זה, כמובן, הוא טענה פורמלית לחלוטין. נתונה לי סדרה, ואני מתאים לה מספר שמקיים כללים מסויימים. אני לא טוען שהמספר הזה "שייך" לסדרה, וגם לא שהוא האיבר האחרון שלה (בסדרה אינסופית אין איבר אחרון) או כל דבר דומה. אפשר, כמובן, להתאים לגבול משמעויות פילוסופיות, אבל לפני שעושים זאת כדי לראות מה עוד נובע מההגדרה.

תכונה מהותית של גבול של סדרה היא היחידות שלו – לסדרה יכול להיות או גבול אחד, או שום גבול, אבל לא ייתכן שיהיה יותר מגבול אחד. אני צריך לסייג את עצמי ולהגיד שבהגדרה הכללית יותר (ה"טופולוגית") של גבול זה כבר לא נכון, אבל אין טעם להיכנס לכך כעת. ההוכחה של הטענה הזו היא פשוטה למדי (במובן של "לא משתמשת ביותר מדי רעיונות" – בשום פנים ואופן איני טוען שמי שלא מכיר מתמטיקה יצליח להבין אותה בקלות), ומהווה הזדמנות לא רעה לראות איך עובדים עם גבולות. הרעיון הבסיסי הוא להניח בשלילה שיש שני גבולות, לצייר סביב שניהם "עיגולים" שהם קטנים מספיק כך שאינם חותכים האחד את השני, ואז הסתירה מגיעה מייד – כי כמעט כל אברי הסדרה נמצאים בשני העיגולים גם יחד, אבל שני העיגולים לא נחתכים ולכן זה בלתי אפשרי.

מבחינה פורמלית זה מה שקורה: נניח שיש שני גבולות, $latex A_1\ne A_2$. נגדיר $latex \varepsilon=\frac{|A_1-A_2|}{2}$ (כלומר, אנחנו לוקחים בתור אפסילון חצי מהמרחק בין שתי הנקודות – זה מבטיח ששני ה"עיגולים"  שנצייר סביבם לא ייחתכו). כעת, על פי הגדרת הגבול, קיימים $latex N_1,N_2$ כך שלכל $latex n>N_1$ מתקיים $latex |a_n-A_1|<\varepsilon$ ולכל $latex n>N_2$ מתקיים $latex |a_n-A_2|<\varepsilon$. כעת אני נוקט בתעלול פשוט מאוד – מתבונן באברי הסדרה שהאינדקס שלהם גדול גם מ-$latex N_1$ וגם מ-$latex N_2$, דהיינו בוחר $latex N=\max\left\{N_1,N_2\right\}$, ולכן לכל $latex n>N$ מתקיים גם $latex |a_n-A_1|<\varepsilon$ וגם $latex |a_n-A_2|<\varepsilon$.

כבר הגענו לסתירה שלנו, ורק נותר להראות זאת במפורש. ניקח אם כן $latex n>N$ ונראה כי $latex a_n$ הוא סתירתי במהותו, כי הוא נאלץ להיות בשני מקומות שונים בעת ובעונה אחת (ובמתמטיקה, בניגוד לתורת הקוונטים, זה לא קורה – אלא אם רוצים להמציא סוג חדש של מתמטיקה, ולרוב בנסיונות כאלו מקבלים מתמטיקה "ישנה" בתחפושת מסובכת). ההוכחה עצמה היא תעלול חשבוני לא מורכב מדי, שהחלק העמוק ביותר בו הוא שימוש באי שוויון המשולש, $latex |a+b|\le |a|+|b|$. אי שוויון המשולש הוא התכונה החשובה והמהותית ביותר של ערך מוחלט – בלעדיו כל התורה הייתה קורסת.

אם כן, הנה החישוב:

$latex 2\epsilon=|A_1-A_2|=|(A_1-a_n)+(a_n-A_2)|\le|A_1-a_n|+|a_n-A_2|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$

קיבלנו כאן סתירה: לא ייתכן ששני אפסילון קטנים ממש משני אפסילון (זה סותר את הגדרת יחס הסדר עבור המספרים הממשיים), ולכן ההנחה שלנו לפיה יש שני גבולות התבררה כשגויה.

סגנון ההוכחה הזה אופייני לרוב ההוכחות בחשבון אינפיניטסימלי; הוא טכני ו"מדוייק" מאוד, ואיכשהו אומר משהו על התמונה הגדולה דווקא באמצעות התבוננות בפרטים הקטנים. יחד עם זאת, למרות הטכניות הרבה שלו, הטיעון הזה משכנע. אני, לפחות, בטוח אחרי שקראתי אותו שלא ייתכן שלסדרה יהיו שני גבולות. נכון, אפשר להגדיר את מושג הגבול באופן שונה לגמרי, ואז אולי יהיו שני גבולות; ואפשר אולי להעלות שאלות פילוסופיות של "מה זו אמת? מה זה בטוח?" ולפקפק בהכל; אבל כל עוד לא הולכים לקיצוניות הזו (שלטעמי היא אימפוטנטית לחלוטין), ההוכחה עובדת. בארגז החול שלה, המתמטיקה היא נכונה ומדוייקת. הוכחות הן לא "בערך" נכונות – הן נכונות לגמרי. חשוב להדגיש את זה, כי כשעוסקים בפילוסופיה של המתמטיקה התמונה מתהפכת לגמרי.

לסיום, אציג את ההרחבה הראשונה של מושג הגבול, הרחבה חשובה כנראה אף יותר מהמושג שהצגתי עד כה, שעסק בסדרות – גבול של פונקציות ממשיות. הרעיון דומה, אך כעת לא מדברים על "הגבול של הפונקציה", אלא על הגבול שלה בנקודה מסויימת, וזאת לכל נקודה ממשית. הרעיון הוא כזה: הגבול של פונקציה בנקודה כלשהי הוא הערך שנראה כאילו הפונקציה מתקרבת אליו ככל שהערכים שהיא מקבלת מתקרבים אל הנקודה הזו. אין זה אומר שבנקודה עצמה הפונקציה תקבל את ערך הגבול הזה; אם הערך שלה בנקודה שונה מערך הגבול שלה בנקודה, אומרים שהנקודה הזו היא נקודת אי רציפות (ואכן, אם נצייר את גרף הפונקציה הזו, נראה שיש "חור" בנקודת אי הרציפות).

אם כן, ההגדרה הפורמלית היא כדלהלן: לפונקציה $latex f(x)$ יש גבול $latex L$ בנקודה $latex x_0$ אם לכל $latex \varepsilon>0$ קיים $latex \delta>0$ כך שאם $latex 0<|x-x_0|<\delta$ אז $latex |f(x)-L|<\varepsilon$ (שימו לב שלא דורשים שהערך של הפונקציה בנקודה $latex x_0$ עצמה יהיה קרוב ל-$latex L$. הסימון המקובל במקרה זה הוא $latex \lim_{x\to x_0}f(x)=L$.
מה זה אומר? אם בסדרות דיברנו על "כל אברי הסדרה החל ממקום מסויים", כאן אנחנו מדברים על "כל הנקודות שקרובות ל-$latex x_0$ עד כדי רמה מסויימת". הרעיונות דומים, אך הדלתא מסבך קצת יותר את ההבנה – לכן לרוב מעדיפים להתחיל מדיבורים על גבול של סדרות.

למעשה, קיים ניסוח שקול להגדרת הגבול של פונקציות שאינו משתמש בדלתא, אלא במושג הגבול הקיים של סדרה. ל-$latex f(x)$ יש גבול $latex L$ בנקודה $latex x_0$ אם לכל סדרת ממשיים $latex a_1,a_2,a_3,\dots$ ששואפת ל-$latex x_0$, הסדרה $latex f(a_1),f(a_2),f(a_3),\dots$ שואפת אל $latex L$.

אם כן, זהו המושג הבסיסי בחשבון האינפיניטסימלי, ואחד מהמושגים הבסיסיים במתמטיקה בכלל. מה עושים איתו? ובכן, בתור התחלה אפשר להגדיר באמצעותו את מושג הנגזרת, וגם את מושג האינטגרל, שני המושגים החשובים שבהם עוסק החשבון האינפיניטסימלי (עם זאת, עבור אינטגרל לא "חייבים" את מושג הגבול). כמו כן ניתן להגדיר באמצעותו את מושג הרציפות של פונקציה, שאותו ניתן לתאר כבר עכשיו – פונקציה היא רציפה אם בכל נקודה ערכה שווה לערך שהגבול "מבטיח" – $latex f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$. פונקציות רציפות הן כנראה הסוג הנחקר ביותר של פונקציות, מכיוון שהרציפות הופכת אותן ל"נחמדות" הרבה יותר – בעלות יותר תכונות טובות.

אבל מה עוד אפשר לעשות עם מושג הגבול? להתווכח עליו, כמובן! ועל כך – בהמשך.

14 תגובות בנושא “אין גבול לפורמליזם”

  1. דווקא את גבול הפונקציה הבנתי יותר מאשר את גבול הסידרה. גבול הפונקציה די אינטואיטיבי כשמסתכלים על הגרף. בין אם מדובר באסימפטוטה אנכית, ב"חור", באסימפטוטה אופקית או משופעת, רואים על הגרף בצורה ברורה מאוד את הגבול, רואים איך הגרף "שואף" לערך מסוים. את גבול הסידרה ממש לא הבנתי. אנסה לקרוא שוב.

    הבעיה עם הגבולות, אם הבנתי נכון, היא שבחישוב שלהם משתמשים באינפיניטסימל, שהוא ערך שהיתה עליו מחלוקת בדור שאחרי ניוטון ולייבניץ, בנסיון לערער את כל החשבון האינפי'.

  2. גבול של סדרה ניתן להבין בתור מקרה פרטי של גבול של פונקציה – במקרה הזה, פונקציה מוזרה למדי שמקבלת ערכים רק על הטבעים ולכן כשמציירים את הגרף שלה מקבלים אוסף של נקודות (אבל אפשר לחבר את הנקודות בקווים ואז זה נראה טוב יותר) – ואז מסתכלים על ההתנהגות של הפונקציה הזו "באינסוף" (יש גם מושג מקביל של גבול "באינסוף" של פונקציה אבל לזה כבר לא נכנסתי, וממילא ההגדרה דומה מאוד להגדרת גבול של סדרה).

    בכל הנוגע לאינפיניטסימל קצת הפכת את הסדר. אכן, במקור החשבון האינפיניטסימלי התבסס על מושג האינפיניטסימל כדי להגדיר ולחשב מושגים כמו נגזרת ואינטגרל, ואז בא ברקלי והחריב אותו לחלוטין. כתוצאה מכך, המתמטיקאים של המאה ה-19 המציאו את מושג הגבול שהיה ריגורוזי יותר ולא הסתמך על אינסוף "אקטואלי" (ההגדרה דורשת רק את המספרים הממשיים, ולא מספר בשם "אינסוף"). לרוע המזל, יש כאלו שטוענים (ועל זה ארחיב בפוסט הבא) שההגדרה הזו רוקנה את המתמטיקה מתוכן.

  3. תודה על ההסבר. אחכה לפוסט הבא להסבר המלא…

    בענין הסידרה, עדיין לא ברור לי, אם כך מה עושים שם העיגולים למיניהם? אם זה דומה לגבול של פונקציה, אז זה אמור להיות מספר שככל שנתקדם בסידרה נתקרב אליו יותר ויותר (כאן הx הוא מונה איברי הסידרה, הn, והy הוא ערך האיבר, אם הבנתי נכון).

    שוב תודה. אני נהנה מכל פוסט ופוסט, גם אם לא תמיד יש לי מה להגיב.

  4. ההבדל המהותי בין גבול של פונקציה כפי שהצגתי אותו כאן לבין גבול של סדרה, הוא שבגבול של פונקציה הערכים שהפונקציה מקבלת "מתקרבים" לאיזה x_0 ספציפי. בסדרות, ה"ערכים" שה"פונקציה" מקבלת הם פשוט הטבעיים (הפונקציה פועלת כך – עבור המספר הטבעי n, מחזירה את הערך של המקום ה-n-י בסדרה), וכהם לא מתקרבים לאיזה x_0 ספציפי אלא לאינסוף, כש"התקרבות לאינסוף" היא בדיוק "קיים N שהחל ממנו…" (אם תרצה, מציירים "עיגול סביב אינסוף", שמכיל את כל המספרים הטבעיים פרט למספר סופי).

  5. מצטער אם אני מטריד בשאלות, אבל עדיין לא הבנתי. איך זה ש"לא משנה הרדיוס", תמיד ערכי הסדרה יהיו בתוך העיגול? הגבול לכל סדרה (שאינה מתכנסת) יהיה אינסוף? אז מה הרווחנו ממנו? בסדרה מתכנסת ברור שהגבול הוא מספר סופי מסוים (ולמי שלא ברור, שיקרא את הפוסט המצוין שלך על …0.999), אבל שם הבנתי מה הטעם בו, הוא בעצם סכום הסדרה האינסופית. (אני שוב מבלבל פה דברים? אם כן, מתנצל מראש ומאשים את העייפות…)

  6. שים לב שאני מדבר כאן על שאיפה של הסדרה למספר ממשי כלשהו, לא לאינסוף; מה ששואף לאינסוף כאן הוא סדרת ה*אינדקסים* (שהיא פשוט הסדרה 1,2,3,… וכן הלאה).

    אפשר לדבר על שאיפה של סדרה או של פונקציה לאינסוף, ולעתים קרובות דווקא יש לכך חשיבות שכן רוצים להבדיל בין סדרה שהולכת לכיוון מוגדר מאוד (ואפילו הוא אינסוף) ובין סדרה שהיא פשוט "מטורללת", כמו 0,1,0,1, שלא הולכת לשום מקום (וגם לסדרה הזו ניתן לדבר על "גבולות חלקיים", אבל לא ניכנס לזה).

  7. "עת אני נוקט בתעלול פשוט מאוד -מתבונן באברי הסדרה שהאינדקס שלהם גדול גם מ- A1 וגם מ-A2 , דהיינו בוחר ,
    N = max{N1,N2}"
    יש כאן טעות או שרק נדמה לי ?

  8. "לא יתכן ש-2ϵ קטן מ-2ε". האמנם? אולי שני הפונטים השונים הם שני גדלים שונים? הא הא הא…

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *