מי שהיה נשוי שלוש נשים

הפעם אני רוצה לדבר על בעיה מתמטית חביבה שצצה במקום שנראה בלתי קשור בעליל – בתלמוד, במה שנראה לכאורה בתור דאגה לנשותיו של פוליגמיסט.

מקור החידה הוא במשנה במסכת כתובות (י', ד'), שאומרת כך:

"מי שהיה נשוי שלש נשים ומת, כתובתה של זו מנה ושל זו מאתים ושל זו שלש מאות ואין שם (בעיזבונו) אלא מנה – חולקין בשוה; היו שם מאתים – של מנה נוטלת חמשים, של מאתים ושל שלש מאות שלשה שלשה של זהב; היו שם שלש מאות – של מנה נוטלת חמשים ושל מאתים מנה ושל שלש מאות ששה של זהב. וכן שלושה שהטילו לכיס (השקיעו בשותפות) – הותירו או פחתו, כך הן חולקין"

"מנה" כאן הוא 100, כך שהמשנה, בתרגום לעברית (כמו תרגום התנ"ך לעברית המתרגש ובא עלינו) הוא זה: אם יש לנו שלושה נושים, שהדרישות שלהם הם ל-100, 200 ו-300 ש"ח, ואין מספיק כסף כדי לשלם להם את מלוא הסכום, מבדילים בין שלושה מקרים אפשריים: אם יש רק 100 ש"ח, מחלקים את הסכום שווה בשווה בין כולם; אם יש 200, הרי שנותנים 50 לזה שדורש 100, ו-75 לשני האחרים; ואם יש 300, אז נותנים 50 לראשון, 100 לשני ו-150 לשלישי. במקרה הזה הנושים הן נשים, אבל כל העסק תקף באופן כללי למקרי פשיטת רגל שכאלו, שבהם צריך לחלק רכוש חלקי בין הנושים.

תמיד פשוט לסכם את הכלל המדובר בטבלה, אז הנה היא:

הכתובה
100 200 300
גודל העיזבון 100 \ 33 \frac{1}{3} \ 33 \frac{1}{3} \ 33 \frac{1}{3}
200 \ 50 \ 75 \ 75
300 \ 50 \ 100 \ 150

(הטבלה מועתקת בזדון מויקיפדיה, אבל מותר לי כי אני כתבתי אותה במקור)

לכאורה מדובר בבעיה סגורה – נתנו לנו בדיוק את הכלל שלפיו יש לנהוג, וגמרנו. אלא שכמובן, אנחנו רוצים לדעת מה לעשות גם במקרים שבהם גודל העיזבון הוא לא 100, 200 או 300, אלא בכל מקרה אפשרי. לכן צריך להתבונן בטבלה ולהסיק את הכלל שלפיו היא נוצרה – דהיינו, כלל שיתאים לכל שלושת המקרים. כאן נוצרת לנו בעיה.

השורה הראשונה מציגה שיטת חלוקה שנשמעת הגיונית – שווה בשווה. זה בא למנוע מצב לא הוגן שבו בגלל שיש נושה שטוען לחוב עצום, הנושים האחרים יקבלו רק פרוטות – כלומר, זה הפתרון שמנסה להתחשב בכמה שיותר נושים. גם הפתרון השלישי נשמע הגיוני – חלוקה יחסית, כשכל נושה מקבל מהעיזבון סכום שחלקו מהעיזבון הכולל הוא כמו החלק של הנושה מהחוב הכולל (אם חצי מהחוב הוא שלך, תקבל חצי מהעיזבון). לעומת זאת, בשורה השנייה כלל לא ברור ההיגיון – למה דופקים את זה בעל החוב הקטן ביותר, בעוד ששני האחרים מתחלקים שווה בשווה? מה ההגיון כאן? האם יש הגיון?

ובכן, אין לי שמץ של מושג בתלמוד, אבל כששמעתי על העסק הזה בהרצאה של ישראל אומן, שאני מניח שמבין קצת יותר ממני (אם כי הוא הזהיר מראש שגם ההבנה שלו מוגבלת), הצלחתי להבין שלמרות שפרשני התלמוד ניסו להסביר את העניין הזה, הם לא ממש הצליחו, ובסופו של דבר דחו את השיטה המוזרה והעדיפו חלוקה שווה בשווה, וזהו.

קדימה למאה ה-20. אי שם בשליש הראשון של המאה ה-20 ממציא ג'ון פון-נוימן, מחשובי המתמטיקאים של המאה, את תורת המשחקים (בהתבסס, כמובן, גם על עבודות קודמות של מתמטיקאים אחרים). תורת המשחקים חוקרת בין היתר סיטואציות כאלו, של חלוקות; באופן כללי יותר היא מתעסקת במשחקים שבהם יש שיתוף פעולה בין קבוצות של שחקנים, ובשאלה איך "הוגן" לחלק את הרווחים שהקבוצות יפיקו משיתופי הפעולה הללו. שתי דוגמאות קלאסיות, שאותן יצא לי ללמוד (ורק אותן אני ממש מכיר) הן ה"ליבה" של המשחק, וערך שפלי (על שם המתמטיקאי לויד שפלי) שלו. אלו שתי דרכים שונות להגדיר את החלוקה ה"הוגנת" של הרווחים, ומכאן כבר ברור שאין דרך יחידה שהיא נכונה או מוצדקת; יש פשוט גישות שונות, שדורשות אקסיומות שונות. האקסיומות של ערך שפלי, למשל, נשמעות פשוטות וטבעיות – שכל הרווחים יתחלקו בין השחקנים, ששחקן שהוספתו לקבוצה לא תורמת רווח שהשחקן לא מרוויח ממילא לא יקבל יותר מאשר הרווח הזה, וכו'; ארבע האקסיומות שלו מספיקות כדי להבטיח שהוא תמיד יהיה קיים, ותמיד יהיה יחיד ("ערך" כאן הוא שם טיפה מבלבל; ערך שפלי הוא חלוקה לשחקנים של מה שכל השחקנים יכולים להשיג אם ישתפו פעולה). בין כל מושגי הפתרון השונים נמצא גם מושג בשם "גרעינון" (nucleolus), שבקרוב נחזור אליו.

הלאה, לשנות השמונים. ישראל אומן הוא כבר מתמטיקאי ותיק ומכובד, בעל רקורד מרשים בתורת המשחקים (שיזכה אותו יום אחד גם בפרס נובל). הוא יכול להרשות לעצמו "להשתעשע" (לא שאני רומז, חלילה, שחוקרים ללא רקורד לא יכולים או צריכים לעשות זאת). הוא ובנו שלמה (שנפל לאחר מכן במלחמת לבנון הראשונה) מנהלים דיון על מאמר של ברי א'וניל שעוסק בבעיות אחרות מהתלמוד שרלוונטיות לתורת המשחקים, ושלמה מספר לישראל על עניין מי שהיה נשוי לשלוש נשים. אומן מתלהב, מנסה לפתור את החידה יחד עם עמיתו מיכאל משלר (שנפטר לפני מספר חודשים), וביחד הם מגלים כי מושג הגרעינון המדובר מתאים בדיוק לפתרון שהתלמוד מציע. כאן אני צריך להתערב ולהסביר איך, בדיוק, אבל איני יודע; אני צריך לרענן את הידע שלי בתורת המשחקים (וללמוד את המושג הזה, שאיני מכיר) כדי לענות במדוייק על השאלה. אולי מישהו יסביר זאת בתגובות, ואולי אחזיר את החוב בפוסט מאוחר יותר.

ובכן, טוב ויפה. אבל מי שהמציא את המשנה הזו כנראה לא חשב על מושג הגרעינון, שמוגדר בצורה מתמטית פורמלית ואבסטרקטית למדי. השאלה היא, אם כן, האם ניתן לתאר את הכלל המנחה בעזרת מונחים שמתקשרים למשנה? שהגיוני שעליהם חשבו בעת המצאת המשנה? כעת, משאומן ומשלר ידעו מה הם בעצם מחפשים – מה הכלל המנחה במקרה הכללי – כנראה שהחיפוש הפך לקל יותר (או לפחות כך אומן אמר), והתשובה התגלתה בשיטת חלוקה תלמודית אחרת – "שניים אוחזין".

גם לשניים אוחזין, שבמסכת בבא מציעא, יש ציטוט:

"שנים אוחזין בטלית… זה אומר: כולה שלי. וזה אומר: חציה שלי… זה נוטל שלשה חלקים, וזה נוטל רביע"

מדובר בשיטה מחוכמת למדי, לטעמי. אם ננסח את הסיטואציה של שניים אוחזין בעזרת הניסוח הכללי שלנו, יש לנו שני נושים, עיזבון של 100 ש"ח, והנושים דורשים 50 האחד, והשני דורש 100. אם כן, אין מספיק כסף כדי לחלק לשניהם את הכל. אפשר כמובן להפעיל את שתי שיטות החלוקה שאנו מכירים – חלוקה שווה בשווה תותיר את דורש ה-50 מאושר, עם כל החוב שהוא רצה לקבל; חלוקה "יחסית" תיתן 66.67 ש"ח לנושה של ה-100 ש"ח,ו-33.33 ש"ח לנושה של ה-50 ש"ח. כלומר, השיטה שמציעים בשניים אוחזין לא זהה לאף אחת משתי השיטות הללו. מתבקש לשאול "אם כן, מה השיטה הנכונה?" אבל שוב חשוב להזכיר שאין שיטה נכונה אחת, כל עוד לא החלטנו מה אנחנו רוצים לדרוש מהשיטה.

אם כן, מה ההגיון בשניים אוחזין לפיו זה שדורש 50 יקבל 25, וזה שדורש 100 יקבל 75? הרעיון הוא לבצע חלוקה שווה בשווה, אבל לא של כל הסכום; רק של החלק השנוי במחלוקת. הרי זה שדורש 50 בעצם אומר לנושה השניה "אני מסכים ש-50 ש"ח שייכים לך, אני רוצה רק את ה-50 הנותרים". אם כן, ניתן 50 לנושה של ה-100; וכעת את ה-50 שנותרו נחלק שווה בשווה, כך שכל אחד יקבל עוד 25. הנושה של ה-50 יקבל 25, והנושה של ה-100 יקבל 75. שיטה מעניינת ונאה, לטעמי.

מה שאומן ומשלר שמו אליו לב הוא ששיטת "מי שהיה נשוי" היא בעצם הכללה של שניים אוחזין למקרה שבו יש יותר משני שחקנים. כמובן, המושג "הכללה" אינו מוגדר היטב ואפשר לחשוב על כמה דרכים שונות להכליל את השיטה הזו. המובן המדוייק של "הכללה" כאן הוא זה: אומן ומשלר קוראים לחלוקה (של עיזבון למספר כלשהו של נושים) "תואמת שניים אוחזין" אם היא מקיימת את התכונה הבאה – לכל זוג שחקנים, אם ניתן לכל שאר השחקנים את הסכום שהחלוקה נותנת להם ונחלק את מה שנשאר בין הזוג על פי "שניים אוחזין", הרי שהחלוקה ששניים אוחזין תיתן תהיה זהה למה שהם אכן מקבלים בחלוקה המקורית.

מבלבל? בוודאי. לכן מסתכלים על דוגמאות. ניקח את המקרה שבו מחלקים 200 על פי הכלל המוזר שבטבלה. נניח שבעל החוב של ה-300 ש"ח התרצה, לקח את ה-75 ש"ח שלו ונעלם אל עבר השקיעה. נותרנו עם 125 ש"ח, ואז פתאום מתחילים שני בעלי החוב האחרים ללכת מכות. הם לא מוכנים לקבל את ההסדר המקורי – בפרט, זה שמקבל 50 מתאונן – ורוצים הסדר חדש. שניהם מסכימים ש"שניים אוחזין" זו השיטה הנכונה לחלק בה את הכסף. אם כן, אנחנו מחלקים ביניהם 125 ש"ח, כשאחד רוצה 100 והשני רוצה 200. כלומר, הסכום השנוי במחלוקת הוא 100, והנושה הראשון מוותר לשני מראש על 25 ש"ח; את ה-100 ש"ח השנויים במחלוקת הם מחלקים שווה בשווה. הנושה הראשון מקבל 50, והשני מקבל 75. הם מקבלים בדיוק את הסכום שבמקור רצינו לתת להם – כלומר, לא הייתה שום סיבה שהם יתחילו ללכת מכות, ופתאום החלוקה הלא הוגנת נראית קצת יותר הגיונית.

טיפלנו כאן רק בזוג שחקנים אחד – זה של ה-100 וזה של ה-200 נניח שדווקא זה של ה-100 התרצה, לקח את ה-50 שלו והלך. נותרו זה של ה-200 וזה של ה-300, ויש לנו רק 150 לחלק להם – כלומר, כל הסכום שנוי במחלוקת, ולכן הם חייבים לחלק אותו שווה בשווה. אם כן גם הזוג הזה "בסדר", וקל לראות שגם הזוג השלישי "בסדר", ושכל הטבלה גם כן בסדר ומקיימת את הכלל. לכן הכלל המקסים הזה, שהוא הכללה פשוטה של כלל שכבר קיים בתלמוד, נותן לנו קריטריון אחיד שמייצר את הטבלה כולה – ויותר מכך, ניתן להכללה לכל קבוצה של נושים וחובות.

כמובן, לא ברור אם מי שכתב את המשנה התכוון לפתרון הזה (שכזכור, מתאים גם לגרעינון, אבל בוודאי זה לא מה שעבר לכותב המשנה בראש); אבל חייבים להודות שזה משכנע למדי, וכנראה יהיה הדבר הקרוב ביותר לפתרון שהחידה הזו תזכה לו אי פעם (ניתן לראות את המאמר המקורי של אומן ומשלר, בקובץ PDF, כאן).

נותרנו רק עם בעיה אחת – הצלחנו להגדיר מתי חלוקה היא "תואמת שניים אוחזין", אבל לא הראנו איך מוצאים אותה, או אם תמיד קיימת כזו. אומן ומשלר הוכיחו שהיא תמיד קיימת ויחידה והציעו אלגוריתם שמוצא אותה, אבל אני רוצה להציג כאן דווקא הוכחה מאוחרת יותר של מרק קמינסקי, שאומן הראה בהרצאתו, תוך מתן קרדיט מתאים לממציא. אני סבור שההוכחה פשוט יפהפיה, אחת ההוכחות המתמטיות המקסימות ביותר שנתקלתי בהן מעודי. במקום לנסות לנמק מדוע, הנה הרעיון הבסיסי: חוק הכלים השלובים.

חוק הכלים השלובים הוא חוק פיזיקלי, שמתבסס על הרעיון המתמטי יחסית של "שאיפה למינימום אנרגיה" של מערכות בטבע (כי ככל שיש במערכת פחות אנרגיה, כך היא יותר יציבה. בערך). הוא עוסק במצב שבו יש לנו מספר כלים המכילים נוזל, ומחוברים זה לזה באופן שמאפשר לנוזל לנוע בחופשיות. במצב שכזה, גובה פני המים בכל הכלים יהיה שווה (לא במדוייק, כמובן; כמו כל דבר בטבע, מה שיקרה הוא רק שנראה שהנוזל "שואף" למצב הזה). הנה תמונה שממחישה מה קורה במציאות:

מה לחוק פיזיקלי ולמתמטיקה? ישירות, כלום; בפועל, החוק משמש כאמצעי לשיפור ההבנה של ההוכחה. הרעיון הבסיסי הוא לייצג את החוב של כל נושה בתור כלי שנפחו הוא בדיוק כגודל החוב ובנוי בצורה מחוכמת שתכף אסביר, לייצג את העיזבון בתור נוזל, לחבר את הכלים של כל הנושים יחדיו, לשפוך את הנוזל לתוך הכלים ולתת לחוק הכלים השלובים לעשות את שלו – אחרי שיישפך כל הנוזל, אפשר יהיה לנתק את כל הכלים זה מזה, וכמות הנוזל שבכל כלי תהיה בדיוק כמות הכסף שמגיעה לאותו בעל חוב.

הנה המחשה של העניין, שוב מויקיפדיה העברית (ושוב, אני מרשה לעצמי כי אני יצרתי את התמונות הללו):

בתמונה הזו יש לנו שני נושים, ואפשר לראות את המבנה המוזר של הכלים שלהם. כל כלי מורכב משני חלקים בעלי נפח זהה, בצורה כזו ששני החלקים התחתונים מתחילים מאותו גובה, ושני החלקים העליונים מסתיימים באותו גובה. מקפידים על כך שהרוחב של כל כלי יהיה זהה, כך שההבדלים היחידים הם באורכים של שני חלקי כל כלי. בין החלק התחתון לעליון בכל כלי מחברת צינורית דקה שמאפשר מעבר נוזל אבל כמות הנוזל שנמצאת בתוכה היא אפסית.

אם כן, החלק התחתון של כל כלי מסמל מחצית מן הדרישה של בעל החוב, והחלק העליון מסמל את החצי השני. כעת, אם העסק באמת עובד כפי שהוא אמור לעבוד, הרי שכשנשפוך פנימה חוב, נקבל חלוקה שהיא בדיוק על פי "שניים אוחזין". האמנם?

אומן מפריד בין שלושה מקרים. ראשית, ייתכן שיש מעט מדי נוזל ואפילו החלק התחתון של שני הכלים לא יתמלא. במקרה הזה מה שקיבלנו הוא חלוקה שווה בשווה של החוב. האם זה גם מה שהיה צריך להתקיים? כן, בתנאי שכמות הנוזל הכוללת (בשני הכלים גם יחד) אינה עולה על קיבולת הכלי הקטן יותר – במילים אחרות, גודל העיזבון כולו אינו גדול אפילו מהדרישה של הנושה הראשון, ולכן כל הסכום שנוי במחלוקת. די ברור שזו אכן הסיטואציה כאן, כי כמות הנוזל הכוללת בשני הכלים תהיה שווה לדרישה של הנושה הראשון בדיוק ברגע שבו כמות הנוזל בכלי שלו תהיה שווה לחצי מהדרישה שלו – כלומר, כשרק החלק התחתון של הכלי יתמלא.

ומה קורה כשמוזים נוזל כך שהחלק התחתון של אחד הכלים מתמלא? כאן יש לנו שתי אפשרויות – או שגם החלק התחתון של הכלי השני יתמלא, או שלא. הנה שתי האפשרויות:

בכל אחד משני המקרים הללו קורה אותו הדבר בדיוק – בעל הכלי הגדול יותר מקבל את כל הנוזל הנוסף. האם זה גם מה שהיה צריך לקרות? כן, כי "חלוקה שווה של הסכום השנוי במחלוקת" כבר בוצעה בדיוק עד שהתמלא חלקו הראשון של הכלי הקטן יותר; מכאן והלאה שאר הנוזל אינו שנוי במחלוקת, ולכן מגיע לבעל הכלי הגדול יותר.

ומה המקרה השלישי? המקרה שבו פני הנוזל עולים כל כך הרבה שגם חלקו העליון של הכלי הקטן יותר מתחיל להתמלא:

זה קצת מבלבל. מה זה בא לתאר? למה שגם בעל הכלי הקטן יקבל כסף? הרי חשבנו שכבר טיפלנו בכל הסכום השנוי במחלוקת!

בואו נחשוב לרגע מה קורה כשגובה הנוזל הוא כזה שהחלק העליון בכלי הקטן טרם התחיל להתמלא, אבל עוד טיפה ויתמלא. הכלי האחר מלא כמעט לגמרי; מה טרם התמלא בו? רק החלק העליון ביותר, ששווה בנפחו בדיוק לחלק העליון בכלי הקטן. אם כן, מהי כמות הנוזל הכללית שנשפכה עד עתה? בדיוק מה שיש בכלי הגדול ועוד מה שיש בכלי הקטן, בחלקו התחתון; אבל מה שיש בחלקו התחתון שווה בנפחו לחלקו העליון, כלומר למה שעוד נשאר לכלי הגדול עד שיתמלא לגמרי. בקיצור (ולא חשוב אם לא הבנתם את הנימוק) – אנחנו מגיעים לסיטואציה השלישית כאשר העיזבון גדול משתי הדרישות של הנושים. זו סיטואציה חדשה עבורנו; עד כה חשבנו על מקרים שבהם אחד הנושים אמר על הטלית "כולה שלי", והנה סיטואציה שבה שני הנושים מסכימים שיש חלק בטלית ש"לא מגיע להם". מצד שני, עדיין אין מספיק נוזל כדי למלא את הכלים של שניהם גם יחד, ולכן כל הנוזל צריך להתחלק איכשהו ביניהם – אבל איך?

הרעיון הוא שכל אחד יוותר לשני קצת. נניח שיש לנו שני בעלי חוב, אחד של 100 ש"ח והשני של 150 ש"ח, ושיש 200 ש"ח לחלק לשניהם. אז הראשון מוותר לשני על 100 ש"ח, והשני מוותר לראשון על 50 ש"ח; המריבה נותרת רק על 50 השקלים הנותרים, שיתחלקו שווה בשווה. כרגיל, תמונה אחת מסבירה הכי טוב:

הקו האדום מייצג את ה-100 ש"ח של נושה מס' 1, והכחול את ה-150 ש"ח של נושה מס' 2; החלק האמצעי הוא זה של הסכום השנוי במחלוקת. החלק השנוי במחלוקת מתחלק שווה בשווה, ולכן ההפרש בין הסכום שנושה מס' 2 יקבל והסכום שנושה מס' 1 יקבל הוא בדיוק ההפרש בין הסכום שעליו נושה מס' 1 ויתר, והסכום שעליו נושה מס' 2 ויתר. נסו להבהיר לעצמכם למה (ומה לעזאזל אמרתי כאן) – זה דורש חישוב קצר.

אומן ניסח את התכונה הזו יותר באלגנטיות: "ההפרש בין הכתובות הוא ההפרש בין המנות", או בתרגום לשפת הנושים והחובות – ההפרש בין החובות יהיה גם ההפרש בין הכסף שכל אחד יקבל. זה הכלל שמנחה את החלוקה במקרה הזה, ואם נחזור לכלים השלובים, נראה שזו בדיוק התכונה שהם מקיימים. ברור לנו שבכלי הגדול יש יותר נוזל מאשר בכלי הקטן, אבל כמה יותר? בדיוק כנפח החלק של הכלי הגדול שהוא רחב בזמן שבכלי הקטן יש באותו גובה רק את הצינורית הדקיקה. כל החלק הזה שווה בגודלו להפרש שבין הנפחים של הכלים – כלומר, של החובות – ומכיוון שכמות הנוזל שהם קיבלו בשאר חלקי הכלים שלהם זהה, זה יהיה גם ההפרש בין המנות שהם יקבלו.

אם כן, הכלים השלובים מקיימים את "שניים אוחזין" לכל זוג כלים נפרד, אבל איך זה מוביל למקרה הכללי? כאן מגיע החלק היפה ביותר – זה מגיע באופן מיידי. הנה דוגמה לסיטואציה שבה יש ארבעה בעלי חוב:

הנוזל נשפך לכלים והתאזן על פי שניים אוחזין; כעת, מדוע החלוקה הזו היא תואמת שניים אוחזין? כי אם ננתק את כל הכלים פרט לשניים, גובה פני הנוזל לא ישתנה – וכבר ראינו שעבור כל זוג, אכן מתקיימת תכונת שניים אוחזין. זהו, זה הכל.

אם כן, אלגוריתם שמחשב את החלוקה פשוט יבצע סימולציה של שפיכת הנוזל לכלים. מכיוון ששפיכת הנוזל היא תהליך רציף, ואילו המחשב מבצע חישובים בדידים, האלגוריתם יתקדם בקפיצות; קודם הוא יקפוץ מהמצב שבו כל הכלים ריקים למצב שבו נשפך לכלים נוזל כך שחלקו התחתון של הכלי הקטן ביותר התמלא – עד אז, כולם קיבלו בדיוק אותה כמות. כעת הוא ימשיך לחלק את הכמות שנותרה מהעיזבון בין כל השחקנים פרט לזה עם הכלי הקטן ביותר, עד שעוד חלק תחתון יתמלא, וכן הלאה וכן הלאה. אחרי שכל הכלים התחתונים יתמלאו, הרי שהעיזבון הוא לפחות כגודל חצי מהדרישות; לכן במקרה כזה אפשר פשוט "להתחיל מהסוף" – בסיטואציה שבה כל הכלים מלאים, ודווקא גורעים מהם נוזל עד שסכום הנוזל בכל הכלים שווה לעיזבון.

האם אכן זה מה שהתלמוד התכוון אליו? האם מלמדים את השיטה הזו כיום בלימודי התלמוד? אני משאיר את העיסוק בשאלות הללו לתגובות.

50 תגובות בנושא “מי שהיה נשוי שלוש נשים”

  1. אוי, ממש מעולה. כבר מזמן שמעתי על החידוש של אומן בסוגיה הזו, אבל לא יצא לי לקרוא עליו בצורה מסודרת. הסברת בצורה ברורה ובהירה, כרגיל. אקווה מחר (היום אני עייף מידי) להציץ בסוגיה המקורית ולראות מה כתוב שם.

    בנוגע להערתך בסוף הפוסט, אני מניח שבישיבה חרדית לא יהיה מקום להסבר "מדעי" (אם כי תמיד יתכן שיהיה מי שיגניב את ההסבר הזה בדלת האחורית, בלי לציין שהמקור הוא מדעי, ולא מאיזה פרשן קלאסי), אבל גם בלי לבדוק אין לי ספק שהפירוש הזה נכנס אל בתי המדרש הדתיים-לאומיים.

  2. "כי אם ננתק את כל הכלים פרט לשניים, גובה פני הנוזל לא ישתנה". זה אומר שגם השארנו חלק מהנוזל "מחוץ למשחק", בכלים שניתקנו, כן? אבל לא הבנתי מה ההגיון בזה.

    ואגב, לא ביגמיסט אלא פוליגמיסט. 🙂

  3. ידעתי שמשהו הרגיש לי מוזר שם. תוקן, תודה.

    השארנו חלק מהנוזל מחוץ למשחק, כן. שים לב להגדרה (המפותלת למדי) של "חלוקה תואמת שניים אוחזין" – צריך שקודם כל ניתן לכל שאר השחקנים את הסכום שעל פי החלוקה הם אמורים לקבל, והם יגידו לנו יפה שלום, ואז ניתן לשני הנותרים לריב (=לחלק בינם את מה שנשאר על פי שניים אוחזין).

  4. אינני מבין גדול במתמטיקה, אבל בתור תלמיד ישיבה (שדרך אגב, למד את הסוגיה לאחר שקרא מאמר על הסברו של ישראל אומן) אני די מבין בסוגיה.

    כמה הערות:

    א' – קשה להקביל את הסוגיה פה לסוגית שנים אוחזין, בסוגית שנים אוחזין ישנו ספק על הממון, והדין הוא (כמובן לא נכנס לפי איזה דעה) "ממון המוטל בספק יחלוקו". בשל כך חולקין רק החלק המוטל בספק. לעומת כאן, שבעצם לכל אחת מגיע בוודאות את מלא סכום כתובתה, רק שההנחה היא ששטר שיעבוד חל רק עד גובה השטר ובשל כך השטר הגבוהה נוגס ממנו. הבדל לדוגמה יהיה כאשר יוותר אחד על חלק משעבודו או תביעתו. בכתובה או שיעבוד הוא יוכל לחלוק עם השני במלוא הסכום הנותר, מפני שיש כוח שיעבוד על החלק הנותר. לעומת זאת בתביעה לא יוכל לעשות כן, א' – מפני שיחשב כהודעה בתביעה וב' – מפני שיחשב כגביה על ידי התובע הפחות, מפני שכל החלוקה היא מחמת ספק ולא מחמת חיוב ברור.

    ב' – ישנם שני ביאורים בגמרא על החלוקה, למרות ששיטה זו לא נפסקה להלכה (כמו הציטוט המובא "זו משנת רבי נתן, אמר רבי אין אני רואה דברי ר' נתן בהלכה זו"), היא עדיין מבוארת בתלמוד. הביאור של התלמוד הוא כזה: במקרה השני בעלת המאתיים מסיבה כל שהיא (ידידות וכדו') כתבה שטר לבעלת המנה ש"דין ודברים אין לי עמך", כלומר שיעבודי לא יחול על חלקך. כך שעל המנה הראשון חלים שני שיעבודים של הראשונה ושל השלישית והם חולקות כל אחת חצי. אך מכיוון שהשטר חל רק לגבי הראשונה, אם כך לאחר שהראשונה קבלה חלקה מתפשט שיעבוד השנייה על כל המאה חמישים הנותרים, ועל כן חולקת עם השלישית בשווה. ישנו עוד ביאור מסובך יותר, אך חבל להכנס אליו (בכל מקרה, אני לא בטוח שהצלחתי להסביר נכון את הביאור הראשון).

    ג' – אומנם לא מלמדים הסבר זה בישיבות, אבל ההסבר לכך הוא פשוט (ולא בגלל סלידה ממדע, דווקא רוב הדברים שניתן להסביר בתלמוד באמצעות מדע יסבירו על פיו), מטרת לימוד התלמוד בישיבות היא אינה להבין את דיברי המשנה, אלא את דיברי התלמוד. כלומר להבין כיצד התלמוד הבין את המשנה. בשל כך פירוש המנוגד לתלמוד אף שיכול לבאר את המשנה באופן מתקבל על הדעת, אינו תואם למטרות הלימוד. בנוסף לכך, מכיוון שכמעט ברור שכותב המשנה לא התכוון לפירוש זה, הרי שהוא אינו מבאר את המשנה, ובשל כך אין לו מעמד "הלכתי", אלא לכל היותר הינו סברה יפה של בני אדם. אשר לאדם שאינו שומר מצוות זה באמת לא הבדל גדול, אבל לשומר מצוות זה כמעט עולם ומלואו.

  5. מיכאל משלר הלך לעולמו – וכמה עצוב שאני מגלה זאת באקראי תוך קריאה בבלוג על איזו בעיה מתמטית.

    פרופ משלר היה האיש שפתח לי את הדלתות לשני עולמות אהובים – עולם תורת המשחקים ועולם האלגברה, כאשר למדתי אצלו את הקורסים הבסיסיים (ואח"כ גם את הקורסים המתקדמים) בנושאים האלה, אי שם בשנות השמונים. הוא ללא ספק היה המורה האהוב ביותר על הסטודנטים של אז, ובצדק. יהי זכרו ברוך.

  6. אליהו – ראשית, תודה על התגובה המעניינת. שנית, באשר ל-ב': האם הפתרון שמציעים שם מבוסס על הוספת הנחות חדשות שתקפות רק במקרה של ה-200 ולא ביתר, כלומר זה אינו "פתרון כללי"?

    באשר לג', לא ניסיתי לרמוז חלילה שיש סלידה ממדע; אבל אני מודה שאיני מבין לימוד שמטרתו להבין כיצד פרשנים מסויימים הבינו טקסט מסויים (מעין "מטה-פרשנות" של הטקסט). המקבילה הדומה ביותר שאני יכול לחשוב עליה במתמטיקה היא שנלמד כיצד אוילר וקומר חקרו את המשפט האחרון של פרמה (והשיגו תוצאות נאות) אך לא נזכיר בכלל איך ויילס הוכיח את המקרה הכללי, מטעמים ש"מה שמעניין אותנו הוא לא משפט פרמה אלא הצורה שבה אוילר וקומר הבינו את המשפט פרמה". אני מניח שיש הגיון מאחורי כל זה, רק שאיני מבין אותו.

  7. לגדי – באשר לתירוץ הגמרא (ב'), הפתרון אכן רק בהנחה זו (אם כי שהתלמוד מניח הנחה זו ועוד הנחה במקרה השלישי), אבל די שכיח בתלמוד העמדת משנה בדוגמה מסוימת אשר לא נותנת פתרון כולל לבעיה.

    הסיבה אשר מתענינים רק בפרשנות התלמוד למשנה, הוא מפני הכלל התלמודי (ברכות אם אני לא טועה) "רבינא ור' אשי סוף הוראה" – כלומר מסדרי התלמוד הם הפוסקים האחרונים. כך שלאחר חתימת התלמוד לא ניתן לפסוק הלכה על פי פרשנות שונה מפרשנות התלמוד. מכיוון שלימוד המשנה והתלמוד הוא למטרת הלכה, לא מתענינים בפרשנות שממילא לא תפסק להלכה.

    לעומת זאת, במקרא שלומדים אותו לא למטרות הלכה, אלא לידע היסטורי או השקפה והשראה, ניתן למצא לעיתים קרובות בקרב הראשונים (ולפעמים האחרונים) פרשנות שונה בתכלית מפרשנות חז"ל.

  8. טוב, הכלל של "רבינא ור’ אשי סוף הוראה" הוא בדיוק מה שחששתי ממנו… מנקודת מבט חילונית כמו שלי, התפיסה הזו בעייתית כמו התפיסה לפיה ניוטון הוא המילה האחרונה בכל הנוגע לפיזיקה ומכאן והלאה לא מקובלות תיאוריות שסותרות אותו. חבל, כי לטעמי האישי (אולי בטעות), הפתרון של אומן ומשלר שופך אור חדש לגמרי על כל העניין הזה.

  9. אליהו52,

    סלח לי שאני מעט סוטה מהנושא. מה כל כך חשוב בחתימת מסדרי התלמוד? והרי התורה היא כלי ראשוני וכל תרגום מכלי ראשוני רחק מהמקור. ועוד, מדוע לא מלמדים דברי נביאים; והרי הנביאים לא עסקו בתרגום האמת אלא בשיקופה? מצטרף לתמיהה של gadial. במילים שלי, מה כבר יכול להיות יותר חשוב לגבי הדבר מהדבר עצמו?

  10. לגדי – אני חושב שיש להבדיל בין מקצועות ריאלים למקצועות עיוניים. אתה צודק שלומר שאין אחרי ניוטון שום תיאוריה בפיזיקה, או אחרי דלטון שום תיאוריה בכימיה, זה מגוחך וטיפשי. אך זה מפני שכל מה שצריך כדי לאשש תאוריה כל שהיא במקצועות ריאליים זה לעשות ניסויים ראויים שיתמכו בה. וכמובן שניתן באותה צורה להפריך תיאוריות מקובלות, אפילו אם נוסחו בידי הגדולים במקצועות אלו. לעומת זאת במדעי הרוח שלא ניתן להוכיחם ולהפריכם באמצעות ניסויים (וכל שכן דעות שלא ניתן להוכיחם אפילו באמצעות לוגיקה), ישנה חשיבות רבה ומשקל רב יותר לאומר הדבר, ומכיוון שכך ניתן לאמר שאיננו מקבלים דעות מסוימות רק מאנשים כאלה או אחרים.

    בשל כך, אין כל כך חשיבות במדעים המדויקים לפתרון בעיה על פי שיטה מסוימת וכדו', אבל במדעי הרוח יכולה להיות לזה חשיבות רבה. קורס בפתרון בעיות מתמטיות על פי אוילר (ללא התיחסות לפתרונות מאוחרים ממנו), אינני חושב חושב שהוא יהיה כזה להיט, אבל פתרון שאלות פילוסופיות על פי אפלטון (גם אם מתעלמים מכל הפילוסופים שלאחריו) נשמע לגמרי לא רע.

    עכשיו נענה גם לנברא – הסמכות של מסדרי התלמוד נובעת בעצם מן האמונה הדתית הרואה את הדת לא כאוסף חוקים או מסורות, אלא כדבר האלוקים הניתן מסיני. בשל כך ישנם כמה יחידות עיקריות בהלכה (אני בכוונה מדלג על אגדה והשקפה) ועוד יחידות המקשרות ביניהם. כמובן שלכל יחידה יש תפקיד מוגדר, ומעמד מיוחד.
    היחידה הראשונה היא ה"תורה" שכוללת את עשרים וארבעה ספרי התנ"ך (אפילו שבעצם חמישה חומשי תורה הם "מוסמכים יותר", אין הבדל מעשי ביניהם), זה החלק המוסמך ביותר בתורה, והוא למעשה "דברי המחוקק". לא ניתן לחדש דין מעשי גמור ללא התורה (כמובן שזה יכול להיות באמצעות דרשה המשתמש באחת משלוש עשרה מידות שהתורה נדרשת בהם), כל דבר שאין לו מקור מן התורה הוא "דרבנן" ועל כן בעל מעמד פחות בהשוואה ל"דאוריתא". סמכות התנ"ך נובעת מכך שאומנם הם נכתבו על ידי בני אדם (בניגוד ללוחות שניכתבו על ידי האלוקים), אך על פי דברי האלוקים (התורה – מפי האלוקים בסיני, הנביאים – בנבואה והכתובים – ברוח הקודש), ולא מסברת או שיכלם של בני אדם.
    לאחריה באה המשנה אשר בה החכמים מסכמים את הדינים שדרשו מתוך המקרא (הדרך שהם דרשו את הדינים האלו מבוארת ב"ספרי", "ספרא" ו"מכילתא", שהם מדרש הלכתי, שנתחבר על ידי חכמי המשנה). וכן תקנות, גזרות וכדו', שהם ראו צורך לגזור. סמכותם של חכמי המשנה נובעת מהיותם "סמוכים" – כלומר שקיבלו הסמכה מחכם שלפניהם והוא משלפניו וכו' עד משה רבנו (לאחר זמן זה בטלה הסמיכה בגלל רדיפות הרומאים), ומזמנם. על פי המיתולוגיה היהודית העולם נברא בשישה ימים ויהיה קיים ששת אלפים שנה (שנה כנגד כל יום בריאה), אלפיים השנים הראשונת הם שנות "תוהו" בהם לא היה קיים אדם אשר מכריז ומודיע את קיומו של האל. שנים אלו נסתימו באברהם אבינו (נולד ב1948 לבריאת העולם), לאחר מכן מתחילות "אלפיים שנות תורה", בהם יש כח לבני אדם לקבל את תורתו של האל, תקופה זו נסתימה בסוף תקופת התנאים (מחברי המשנה), באותה תקופה גם בטלה "הסמיכה" (ישנו חכם שמחצית חייו בתוך "אלפיים תורה" וחציים בחוץ, בשל כך הוא מוסמך לחלוק על התנאים שהיו לפניו, אבל גם הבאים אחריו יכולים לחלוק עליו). לאחר מכן באים "אלפיים שנות משיח", שבו צריך אם יזכו ישראל, לבוא המשיח, ולהביא גאולה לעולם. חלק נכבד מסמכותם של חכמי המשנה, נובע מהיותם בזמן "אלפיים תורה".
    לאחר מכן באה תקופת האמוראים שאינם יכולים לחלוק על המשנה, אלא רק לפרשה, אך פירושם הוא הפירוש הוא הפירוש ההלכתי היחיד. סמכותם נובעת מהיות חתימת התלמוד הזמן האחרון שהיה בישראל "מרכז תורני יחיד" (קודם לכן היה מרכז תורני בא"י, וזמן מועט אחרי חתימת התלמוד, חרבה יהדות בבל, והחכמים התפצלו לארצות צרפת וספרד וכן הלאה). בשל כך יש לפירושם תוקף של הסכמת כל ישראל, בניגוד לפירושי חכמים הבאים אחריהם, שיש להם רק תוקף של "פירוש חכמי ספרד" או "חכמי צרפת" "חכמי אשכנז" וכדו'.

    אני מקווה שהסברתי כיאות, ולא הארכתי יותר מידי.

    דרך אגב, לא הבנתי את השאלה בקשר לדיברי הנבאים, כך שקשה לי לענות עליה.

  11. כפי שהוזכר מעלי, החלוקה הזו היא רק שיטת רבי נתן.
    בב"ק נג., לעניין שור שדחף את חבירו לבור, אומר רבי נתן שבעל הבור משלם שלושה רבעים, ובעל השור משלם רבע.
    ייתכן שהסברו של פרופ' אומן יתאים גם למקרה זה (שהוא, כמובן, המקרה ההפוך – יש כמה שחייבים לאחד).

    אבל, כפי שנאמר מעלי, זה לא פשט המשנה, וזה מנוגד לדעת הגמרא.

  12. אליהו52,

    מה שאני לא מבין הוא זה: משה קיבל תורה בסיני (ולא מסיני אל מאת אלהים). על הנביאים שרתה רוח האל, על פי עדות התנ"ך ועדותם הם. ואולם חכמי המשנה (וגם התנאים אחריהם) הוכתרו ע"י בני אדם. ואולם אין בנמצא מי שיוכל להעיד היום על חכמתם של חכמי המשנה. לא אדם, ולא כל מסר משמיים שבא מאוחר יותר. והנה, הללו חתמו את ספר החוקים, אין מערער ואין שואל, וכל שנותר לנו לעשות הוא לדון אם נתכוונו לכך או לכך. להבדיל הבדלות רבות, לי זה קצת מזכיר את טענת המוסלמים על כך שמוחמד הוא חותם הנביאים. להבנתי, בני אדם מאמינים הטוענים כך ממש מסתכנים בכפירה. אתן לך דוגמא: נניח שביום מן הימים יתגלה המשיח. איש אמונה מאמין (מן הסתם) בחרותו המחלטת של אלהים ובהאצלת החרות הזו על שליחו. מנקודת מבט זו, המשיח נמשח ע"י האל, פועל בשמו והוא יתגלה למי שימצא לנכון ועל פי תנאיו. והרי חרותו ניתנה בידי האל וסמכויותיו מחלטות. כה מחלטות הן עד כי יש בידו לסתור את חכמי המשנה, לבטל דינים, להעניק אחרים. ומה יעשה אז הממסד הדתי האמון על התנאים והאמוראים? הלא יתקומם בכל ישותו כנגד המבשר שכה ייחל לו וכנגד בשורתו?

    1. אבל מאיפה ההנחה שהמשיח בא לסתור את מה שהיה לפניו? ראה רמב"ם הלכות מלכים ומלחמות פרק י"א הלכות ו'-ז' לדוג' (למיטב ידיעתי, הולכים עפ"י הדעה הזו)

      ו [ג] אל יעלה על דעתך שהמלך המשיח, צריך לעשות אותות ומופתים, ומחדש דברים בעולם, או מחייה מתים, וכיוצא בדברים אלו שהטיפשים אומרים; אין הדבר כן–שהרי רבי עקיבה חכם גדול מחכמי משנה היה, והוא היה נושא כליו של בן כוזבא המלך, והוא היה אומר עליו, שהוא המלך המשיח. ודימה הוא וכל חכמי דורו שהוא המלך המשיח, עד שנהרג בעוונות; כיון שנהרג, נודע שאינו משיח, ולא שאלו ממנו חכמים, לא אות ולא מופת.

      ז ועיקר הדברים, ככה הן: שהתורה הזאת אין חוקיה ומשפטיה משתנים לעולם, ולעולמי עולמים, ואין מוסיפין עליהן, ולא גורעין מהן; וכל המוסיף או גורע, או שגילה פנים בתורה והוציא הדברים של מצוות מפשוטן–הרי זה בוודאי רשע ואפיקורוס.

  13. אני חושב שאתה לא יכול לבסס את האמונה שלך רק על אנשים מאוד חכמים מלפני 2000 שנה שאי אפשר לבקר אותם. כי לדוגמא, אתה יכול להאמין כמה שאתה רוצה שהעולם נברא לפני 6000 שנה אבל זה פשוט לא נכון! שלא באשמת התנאים, כמובן. אני חושב שכדתיים אנו צריכים לבקר את חכמינו על סמך מידע חדש שיש לנו ולזכור שאף על חוכמתם הרבה, הם בני אדם

  14. מתן, גם לפי התורה העולם לא נברא לפני 6000 שנים. ספירת השנים מתחילה מבריאת האדם ולא סתם "אדם" אלא אדם "תבוני" בדווקא. במילים שלנו – האדם שאחרי המהפכה הלשונית. זה מצמצם מאוד את המחלוקת בין תורה והיסטוריה.

    אני חושב שההסבר של אומן יתקבל יפה בישיבות כפי שהתקבלו ההסברים של פרופ' פליקס לגבי ההכלאות שיצר יעקב בצאן לבן וכמובן שישנן עוד דוגמאות.

  15. רק אומר, בישיבות הדתיות לאומיות זה נכנס ותפס חזק.
    בישיבה שבה למדתי, (שאיננה דווקא מהזרם הליברלי תוצרת ישיבת "הגוש" של הרב ליכטנשטיין שליט"א, ואם כבר משוייכת יותר לזרם "הקו" של הרב טאו שליט"א — לבקיאים ברזי הציבור) הקפידו להביא את פרופ' אומן לשיעור מאלף בסוגיא בעת שלמדנו מסכת כתובות.

  16. הגרעינון הוא החלוקה שממזערת את הדרישה הלא מסופקת המקסימלית ( על פני כל קבוצות שחקנים).
    ב"שניים אוחזין" למשל, צריך לחלק סכום של 100 לדרישות של 50 ו100. החלוקה המוצעת של 25 ו75 משאירה לכל דורש חוב לא מסופק של 25, שהוא כמובן המזערי האפשרי. כל חלוקה אחרת תותיר שחקן עם חוב לא מסופק גבוה מ25. לכן הגרעינון הוא אכן (25,75).

    אבל בבעיית פשיטת הרגל הטבלה לא מתאימה לגרעינון – לפחות אם מגדירים את המשחק בצורה הישירה. נאמר שהחובות הם 300 לשחקן א', 200 לב', ו100 לג'.
    ננסח את הדרישות של כל קבוצה, ואת הפתרון המוצע עבור חלוקה של 100.
    קבוצה דרישה הקצאה חוב לא מסופק
    א 300 33 267
    ב 200 33 167
    ג 100 33 67
    א+ב 500 66 433
    א+ג 400 66 333
    ב+ג 300 66 233

    כלומר החוב הלא מסופק המקסימלי הוא 433.
    לעומת זאת ברור שאם ניתן את כל ה100 לשחקן א', החוב המקסימלי יהיה 400.
    באופן דומה, כשמחלקים 300 הגרעינון מקצה 200 לשחקן א ו100 לשחקן ב.

  17. טוב, בדקתי בספר של משלר, זמיר וסולן.
    בהנתן בעיית פשיטת רגל, מגדירים משחק בו הערך של כל קבוצת שחקנים S הוא לא סכום החובות לשחקניה c(S) = sum {c_i : i in S} for all S,
    אלא בתור ההפרש בין הסכום הקיים ובין החוב לקבוצה המשלימה, כלומר
    v(S) = max{0, E-c(NS) } for all S
    משחק זה ידוע גם בתור המשחק הדואלי למשחק החוב.

    הם מוכיחים שהגרעינון של משחק זה שקול לפתרון המוכלל של הרב נתן כפי שמוסבר למעלה.

  18. כתבה מרתקת :]
    אני אדם דתי, ולא למדתי אמנם את הסוגיה הזו, אבל אני מניח שהראשונים (כלומר, רש"י, בעלי התוספות, הרמב"ם, וכו') כן מתמקדים בשאלה הזו כיוון שבכל מקום אחר שאני מכיר שעסקו בתחום חלוקת כספים השוו למקור הזה. אמנם הדבר לא מוצג בצורות סכמטיות ועם ציורים להמחשה, אבל ברמת הרעיון הכללי הם דווקא כן.

    אני מעריך אותך כמתמטיקאי. אבל חשוב מכך – אני מעריך אותך כאדם. אתה לא מזלזל באמונתם של אחרים וזה דבר שדי נדיר למצוא בבלוגים מעין אלה. כל הכבוד לך, הארת את עיני והוספת לי ידע. לי ולשאר. תודה :]

  19. רס"ג הוא יותר גאון מראשון, כלומר, הוא קדם לראשונים הן בתקופה והן בידע ובחכמה. אבל עם זאת, המשנה נכתבה כאלף שנה לפני רס"ג כך שקשה לי להאמין שהוא החזיק מעצמו מספיק בשביל לחלוק עליה, שהרי ביהדות ככל שהדורות מאוחרים יותר (מדובר על טווחים גדולים, לא הפרשים של שנים ספורות) כך האפשרות לחלוק על מקור קדום יותר קטנה.

  20. ראשית, רס"ג הוא לא "יותר גאון מראשון", הוא גאון.
    שנית, זה לא משנה כלום, כי הגאונים חולקים על הגמרא בערך באותה תדירות כמו הראשונים: אף פעם.
    שלישית, כמובן שלא התכוונתי שרס"ג חלק על המשנה מכיוון שהמשנה לא נפסקה להלכה ואין מה לחלוק עליה("זו משנת ר' נתן), הטעות היא שלי, רס"ג חולק על הגמרא בהבנת המשנה(אם כי הוא מזכיר שההלכה נפסקת עפ"י ההסבר בגמרא).
    רביעית, פרופ' אומן אינו בהכרח חולק על הגמרא, גם לפ"י שיטת הר"ח למסקנת הגמרא האוקימתות אינן נכונות..

  21. שלום –
    סליחה מראש על בורותי, אבל מהיכן נובע לגבי המקרה של ירושה של 200 (המקרה שני והמיוחד) מה שאתה וכולם כותבים =
    "נניח שבעל החוב של ה-300 ש"ח התרצה, לקח את ה-75 ש"ח שלו"
    האם תוכל להסביר מהיכן התקבל ה 75 ? לצערי כאן לא הצלחתי להגיע לכך בכוחות עצמי.
    תודה רבה ! אריה

  22. קודם כל תודה על הפוסט, פשוט מדהים!
    דבר שני כמו שכבר העירו, למרות הדמיון יש הבדל בין פה לבין שניים אוחזים, שם יש ויכוח על מה שקרה במציאות (במילים אחרות: אחד מהם משקר), כאן אין ויכוח על העובדות אלא על אופן החלוקה.
    דבר שלישי יש לתהות למה לחלק את ה"כלים" לשניים ולא לשלושה? הרי את אותו התרגיל אפשר לעשות גם עם כלי שמחולק לשלוש?
    ואני חושב שהתשובה לכך היא ש"אין לדבר סוף" וכותב המשנה (אם אכן זה מה שהוא התכוון) חיפש שיטה שתוכל לרצות גם את הנושה הגדול וגם את הקטן ולכן עשה מינימום של חלוקה לשניים.
    דבר רביעי, הסיבה שלא מלמדים את זה זה כי לא מכירים את ההסבר הזה. נהוג לחפש הסברים בספרי התלמוד, לא בויקיפדיה. אני בכל אופן מתכוון להציג את ההסבר הזה בפעם הבאה שאני ילמד את הסוגייה הזאת.
    תודה רבה על הפוסט!

  23. ראשית לגדי – פוסט מצוין. רק יש לשים לב כי המשניות הן תורה שבע"פ (הקב"ה העביר למשה בהר סיני שמסר ליהושוע שמסר לזקנים, נביאים וכן הלאה) ורבי יהודה הנשיא היה זה שבחר להעלות זאת על הכתב (למרות שדבר זה אסור, היה חשש שהתורה שבע"פ תישכח). הנקודה היא שלא נכון להתייחס לכותב מסוים שכן הכותב לא הגה את הכתבים מדעתו.

    הערה נוספת קצת OFF TOPIC כי יש פה קצת בלבול בנושא המסורת היהודית – המסורת היהודית שונה מדתות אחרות בכך שהתורה לא בדיוק הגיעה מנביא יחיד. הרעיון הוא שבנ"י ישראל היו עדים כולם לנבואה במעמד הר סיני והעבירו זאת מאב לבן. כלומר, משה קיבל את התורה מהקב"ה, אך התורה ניתן בנוכחות כל עם ישראל (הקולות, הלפידים, העשן – כולם עדים לזה). ה"סיפור" הזה עובר מאב לבן בחג הפסח שמספרים ביציאת מצרים וזה מה שמבטיח שה"סיפור" נשמר. (אגב, זה מה שכתוב בתורה עצמה, יהיה משונה לטעון שהיה יציאת מצרים ושצריך להעביר לבנים והראשון שישמעו ממנו את ה"סיפור" הזה יהיה משה רבינו ולא האבא של אותו אדם).

  24. פוסט מצויין, ובתור תלמיד תיכון שמאוד לא נהנה ממתמטיקה בשיעורים דווקא מאוד התעניינתי.
    לעומת זאת, סלח לי, אבל ההערה האחרונה מעט מיותרת…

  25. האמת שבשבילי בתור אחד שלמד את התלמוד מגיל צעיר לא היה לי כאן חידוש, היה ברור לי ישר שהשתמשו במקרה של השלוש נשים בשניים אוחזין בטלית. והאלגוריתם הוא פשוט, אבל הרעיון שלהציג אותו דרך חוק הכלים השלובים הוא ממש יפה.

    הסבר האלגוריתם: 1. אם העיזבון קטן מ או שווה לדרישה הקטנה ביותר, אז מחלקים את העיזבון שווה בשווה. 2. אם העיזבון שווה ל או גדול ממהדרישה הגדולה ביותר, אז מחלקים את העיזבון לפי יחס הדרישה. 3. אם העיזבון גדול מהדרישה הקטנה ביותר וקטן מהדרישה הגדולה ביותר, אז אם דורש מסויים או כמות דורשים שדורשים פחות מהעיזבון הם יקבלו את חלקם כאילו העיזבון הוא שווה לדרישה הגדולה ביותר ואז הם יקבלו את חלקם לפי היחס הזה, ושאר הדורשים יתחלקו שווה בשווה.

  26. בתור תלמיד ישיבה, אני מוכרח לציין שהנושא נלמד כאשר מגיעים לסוגיה הרלוונטית במסכת כתובות, בעיקר במידה ולומדים בעיון ולא בבקיאות. לעומת זאת, כשלומדים את הסוגיה בב"מ של שניים אוחזין בד"כ לא מוזכר העניין הנ"ל כיוון שהקושיא במקור הייתה על המשנה בכתובות. אולי אם לומדים בעיון מגיעים לכך גם בב"מ, אבל לא נראה לי.

  27. הסוגיה הזו, ועוד רבות ומשובחות, נלמדת, כולל הפניות למקורות החז"ליים ועיסוק בהם והשוואה ביניהם, במסגרת הקורס "חלוקות הוגנות: פרוצדורות ועקרונות" בפקולטה למשפטים באוניברסיטה העברית מפי שמואל לשם.

  28. פוסט מרתק בפרט בבלוג מרתק בכלל. בחג שבועות האחרון התבססתי על הפוסט הזה להעביר שיעור אצלנו בבית הכנסת- לדעתי זו הפעם הראשונה שבדף מקורות לשיעור תורני יש ציורים של כלים שלובים…
    תודה רבה גדי, תמשיך ככה!

  29. לגביי "שניים אוחזין" – המהרי"ל דיסקין דן בשאלה של שלושה אוחזין,כאשר אחד דורש את הכל,ושניים דורשים חצי,כ"א.
    הפתרון של המהרי"ל הוא : כל אחד מדורשי החצי יקבל 5/24,ואילו זה שדרש את הכל יקבל 14/24.
    הדרך שלו (קצת) מסורבלת,אבל ניתן בקלות להבין אותו להסכים לדרך הפתרון.
    בפעם הראשונה ששאלו אותי את השאלה(לפי הסיטואציה שתיאר הנ"ל) ניסיתי לגשת לעניין ע"י פרופורציה פשוטה(זה לא הפתרון הנכון כמובן): אם יש רק שניים,ואחד טוען חצי ואחד טוען הכל,ראינו שהחלוקה היא 1/4 ו3/4 בהתאמה. כלומר יש יחס של פי 3 בין 2 הטענות(חצי והכל).
    כלומר,אם ישנם שלושה אנשים, אזי זה יתחלק: 1 1 3 סה"כ חמישה חלקים, כלומר :1/5 1/5 3/5. השוני ביני ובין המהרי"ל הוא כמובן בהנחה של יחס קבוע,שלפי המהרי"ל לא חייב להיות.
    אבל,אם ננסה לנסח פתרון כללי, לא ניתן להגיע למסקנה כלשהיא מהפתרון של המהרי"ל(לפחות אני לא הצלחתי…).

  30. This is a very beautiful blog .I would like to add that I had an opportunity to deal with this problem in 2 papers, one published by Mathematica Japonica, and the other by BeOr Hatorah magazine. It can be easily shown that the principle of "two holding the garment" is fully sufficient to arrive at the Table's values. Consider the case when the legacy left by husband is 200 zuzim. The wife number 1 demands 100 zuzim, the wife number 2 demands 200 zuzim, whereas the third wife claims for 300 zuzim. Let us consider the coalition of wife number 2 and wife number 3. How much do they demand together? Not 200+300 but rather 200 zuzim since only 200 zuzim are available!

    Thus the wife number 1 demands 100 zuzim whereas second and third wives together demand 200 zuzim.In other words the first wife demands half amount whereas the coalition of wives 2 and 3 demands the entire amount. According to "two hold a garment" the distribution is one quarter to first wife, and coalition of wives 2 and 3 together three quarters. The first wife gets then one quarter of 200 zuzim, or 50 zuzim,. Wife number 2 and wife number 3 should be allocated the same amount. Why? Although second wife's marriage contract is 200 zuz, and theird wife's contract is for 300 zuz, there are only 200 zuzim available! Thus these 2 wives demanded all available 200 zuzim, i.e. they were in the same condition as far as the demand goes. Hence these wives get half of the remaining 200-50=150 zuzim or 75 zuzim.

    Those who contact me, can get the files of the abovementioned 2 papers by mail.
    Sincerely, Prof. I. Elishakoff, elishako@fau.edu.

  31. את "המחקר" הנ"ל היה ניתן ללמד בתלמודי תורה, אם היה בו גרם אחד של אמת, אבל עם כל הצער שבדבר המחקר הזה הוא מופרך מיסודו.
    קודם כל נתחיל מכך שאתה בעצמך אפילו לא הבנת את שורש הבעיה בחלוקה על פי המשנה. כפי שאתה שאלת במקרה השני "למה בעלת המנה מקופחת ומקבלת פחות מהשתיים האחרות?" זה בדיוק ההיפך ממה שהתלמוד הבבלי שואל. ופה טמון שורש הבעיה שלכם.
    אומן כמעט לא חידש פה כלום, הקישור בין המשנה הזו למשנת "שניים אוחזין" נעשה ע"י התלמוד לא ע"י אומן. כל התהליך שאתם מציגים בכל מיני מילים מתמטיות הובן ע"י התלמוד והרבה מעבר למה שאתם הבנתם.
    התלמוד בעצמו שואל למה במקרה השני האשה הראשונה מקבלת 50 ולא 33.3 , בוודאי שהתלמוד הבין את הקונספט שאומן מציג ע"פ שניים אוחזין, הרי התלמוד כותב את זה מפורש. התלמוד אומר שהמקרה הראשון מובן ע"פ יסוד שניים אוחזין ולכן הכסף מתחלק בשווה. כל הבעיה היא למה במקרה השני כאשר תביעה של 100 נעשית ע"י כולם עדיין הראשון מקבל 50. אין לכך שום הסבר לוגי.
    גם אומן לא נתן שום הסבר שבעולם למה במקרה השני האשה הראשונה מקבלת מ100 הראשונים יותר מחלקה. למה היא מקבלת 50 בעוד השתיים האחרות מקבלות 25 בלבד מאותו 100. המתמטיקה של אומן היא רק בתאוריה, אין לה שום הצדקה הגיונית. זה שיש רק פתרון 1 ויחיד לכל מקרה כזה והוא תואם להפליא את משנת שניים אוחזין כאשר דנים על כל 2 נשים בנפרד עדיין לא אומר שהחלוקה הזו צודקת.
    כל חישוב בין שתי נשים אכן יביא לתוצאה נכונה כפי שאומן טוען, אבל אין שום היגיון בעולם שהאשה הראשונה לא תתחשב באשה השנייה והשלישית במקביל. אין שום סיבה שבמקרה השני ע"פ דוקטרינת שניים אוחזין האשה הראשונה לא תוותר על המאה השני מלכתחילה ותתחלק בשווה ב100 הראשונים,
    שוב, גם תוצאה מופלאה של פתרון יחיד ותואם לכל בעיה אינה בהכרח נותנת אינדיקציה באשר להגינותה וכשירותה של אותה חלוקה.
    אגב מה שאליהו כתב למעלה זה גם גיבוב של שטויות. קודם כל אני לא רואה שום בעיה בניסיון ליישב את המשנה על פשטותה אם אכן הטיעון של אומן היה הגיוני, למה לא? אני לא רואה בכך שום פסול. דבר שני , שוב , התיאום בין שתי המשניות לא נעשה ע"י אומן, התלמוד בעצמו מנסה לפתור את המשנה על פי דוקטרינת שניים אוחזין כך שאין שום מקום לטענה שדוקטרינת שניים אוחזין אינה יכולה לחול במקרה דנן.
    אומן אכן הגיע עם רעיון טוב פלוס כוונה טובה ליישב את המשנה על פשטותה. אבל מה לעשות ומסתבר שהתלמוד הבבלי חכם מכולנו, ובעוד והשידוך בין שתי המשניות נעשה ע"י התלמוד עצמו, כמו כן הלוגיקה שמאחורי החלוקה הזו. הרי שאת הטיעון היחיד שכן אומן המציא מתורת המשחקים הוא דווקא הטיעון היחיד שפגום כאן עקב השרירותיות שבהפעלתו בצורה שנוגדת את ההיגיון והצדק כפי שהתלמוד כותב.

    1. לאומן יש מאמר נדמה לי משנת תשס, שמבהיר הכל במיוחד את סברתו. מעבר לכך נדמה לי שאתה מבלבל בין שיטת השעבודים לבין חלוקת שנים אוחזין.

  32. בתור מישהו שנהנה מלימוד הגמרא וגם ממתיטיקה עוד לפני כמה שנים, מהתיכון, הספקתי ללמוד סוגיה זו בעבר, אך לו בדרך כל כך ברורה ומעניינת. תודה לך!

    1. לא דנו בסוגיה במשך הדורות.מכיון שהיא לא ננקטה להלכה. מה שמעניין שהרי"ף כשמביא את רב האי גאון שהוא ביאר שזה תואם את שניים אוחזים משמע ממנו שכן פסק כך…. אלא שחזר בו בסוף ימיו כי זו לא מסקנת הגמרא… אבל כנראה שלא חזר בו מביאור המשנה אלא מפסיקות ההלכה כך והביאור של המשנה לא להלכה לא העסיק אותם עד כדי לנסות לברר ולכתוב זאת באריכות . אלא במילה וחצי כך אני הבנתי לא בטוח שזה מוסכם.
      ממילא לא גדול בכך רבים.אבל בטוח שאם זה היה להלכה היו מאריכים בכך יותר .בכל אופן שאפו למנסחי הנוסחה שעשו עבודה יפה.

  33. יכול להיות ששיטה יותר "טובה" הייתה לשים את התחתית של החצי העליון בכל הכלים באותו גובה.. ואז כל אחד היה מקבל עד החצי שלו ושוב הייתה מתחילה חלוקה כמו בהתחלה
    או אולי אפילו לחלק את כל הכלים ליותר חלקים כשכל חלק שמתמלא אז מתחילים לחלק מחדש
    מצד שני אם הכמות של הכלים תשאף לאינסוף אז החלוקה תהיה כך שכל אחד יקבל ביחס ישיר לכמה שהיה לקבל ביחס לכולם..
    קיצער עניתי לעצמי

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *