אז למה שורשים הם לא רציונליים?

נפש תועה הגיעה לאתר בחיפוש אחר הוכחה ש"שורש 6 אינו רציונלי". הוא אמנם הגיע, ככל הנראה, אל ההוכחה שהצגתי לכך ששורש 2 אינו רציונלי, כלומר אינו ניתן להצגה כמנה של שני מספרים שלמים. אפשר היה להשאיר את הרחבת ההוכחה עבור 6 כתרגיל, אך נראה לי שכדאי להקדיש להרחבה הזו פוסט בפני עצמו ולא להשאיר אותה לקורא הטרוד. בכך אפשר גם לענות על שאלה שאולי צצה למי שקורא את ההוכחה לאי הרציונליות של שורש 2 – למה אי אפשר להשתמש בהוכחה גם כדי להוכיח ש-4, למשל, אינו רציונלי? איך ההוכחה "מזהה" את הריבועיות של המספרים שעליהם היא נכשלת?

אני מזהיר מראש שהפוסט הזה טיפה טכני, ומצד שני גם קצת מחפף, כך שאני יוצא קרח מכאן ומכאן. אם משהו לא ברור, או ברור מדי, אפשר להעיר על כך בתגובות.
אם כן, הבה ננסה להכליל את ההוכחה באופן הישיר ביותר שרק אפשר. נתון מספר $latex n$ שאנו רוצים להוכיח שהשורש שלו איננו רציונלי. נניח בשלילה שהוא כן רציונלי, אז אפשר לכתוב את השורש בתור $latex \frac{a}{b}$ עבור $latex a,b$ טבעיים זרים זה לזה, כלומר שאין מספר גדול מ-1 שמחלק את שניהם בו זמנית. מכאן שמתקיים $latex \frac{a^2}{b^2}=n$, כלומר $latex nb^2=a^2$. עד כאן – שום דבר חדש. כעת ההוכחה עבור שורש 2 מתחילה לדבר על הזוגיות של $latex a$; היא אומרת "מכך ש-$latex a^2=2b^2$ נובע ש-$latex a^2$ זוגי, ולכן גם $latex a$ זוגי".

מה ההכללה של הטענה הזו עבור $latex n$ כללי? מה שמתבקש לומר הוא "אם $latex n$ מחלק את $latex a^2$ אז הוא מחלק גם את $latex a$" – אם זה נכון, שאר ההוכחה עוברת באופן חלק – נובע מכך שאפשר לכתוב את $latex a$ בתור $latex a=nc$ ולכן $latex n^2c^2=nb^2$, ולכן $latex nc^2=b^2$, כלומר $latex b^2$ מתחלק ב-$latex n$ ולכן (שוב, אם ההכללה של הטענה עובדת) גם $latex b$ מתחלק ב-$latex n$, כלומר קיבלנו סתירה – $latex a,b$ מתחלקים שניהם ב-$latex n$ למרות שהנחנו שהם זרים. רק מה, יש לנו בעיה קטנה – הטענה הזו שאם מספר מחלק את $latex a^2$ הוא מחלק גם את $latex a$ – וזאת למזלנו, כי אחרת היינו מוכיחים שהשורש של כל מספר הוא אי רציונלי.

איך מתמודדים עם הקושי? מנסים לראות היכן הטענה נופלת והיכן לא. די ברור ש-36 יחלק את 36 אבל לא את 6, אבל יש דוגמאות נגד מחוכמות יותר – למשל, 12 יחלק את 36 אבל לא את 6. אם כן, מה המאפיין החשוב לנו, שמבטיח שהמשפט יתקיים? כאן נחלצים לעזרתנו המספרים הראשוניים ונותנים לנו דרך מסודרת להתמודד עם השאלה. כל מספר ניתן לפרק למכפלה של ראשוניים (שאולי כמה מהם יחזרו על עצמם). הריבוע של המספר יהיה גם הוא מכפלה של אותם ראשוניים, אבל כך שכל ראשוני מופיע במכפלה פי שתיים יותר פעמים. כך למשל 6 הוא פשוט הראשוני 2 כפול הראשוני 3; הריבוע 36 הוא פשוט 2 כפול 2 כפול 3 כפול 3.

אם כן, פעולת ההעלאה בריבוע לא "מוסיפה ראשוניים מסוג חדש" למכפלה; היא רק מגדילה את מספרם של הראשוניים שכבר ישנם. כעת אפשר להשתמש בכך שהמכפלה היא של ראשוניים: אם $latex n$ מחלק את $latex a$ אז בהכרח כל גורם ראשוני של $latex n$ הוא גם גורם ראשוני של $latex a$. הסיבה? כל גורם ראשוני של $latex n$ מחלק אותו, ומכיוון ש-$latex n$ מחלק את $latex a$, אז הוא מחלק גם את $latex a$.

אם כן, נצמצם את עצמנו ל-$latex n$-ים פשוטים יחסית – מכפלות של ראשוניים כך שכל ראשוני מופיע בדיוק פעם אחת (כלומר, אף ראשוני לא מופיע בפירוק לגורמים עם חזקה גבוהה מ-1). למשל, 6 הוא כזה אך 12 לא. במילים אחרות, מספרים שאף ריבוע לא מחלק אותם. מספרים כאלו מכונים "חופשיים מריבועים" (Square-free). לא קשה להוכיח פורמלית, בהתבסס על מה שאמרנו כבר, שאם $latex n$ שהוא חופשי מריבועים מחלק את $latex a^2$  אז הוא בהכרח מחלק גם את $latex a$ (כי כל גורם של $latex n$ מחלק את $latex a^2$, כלומר מופיע בפירוק שלו לגורמים; והפירוק הזה מכיל רק גורמים שנמצאים גם ב-$latex a$).

טראח! אולי לא שמנו לב לכך, אבל ברגע זה סיימנו את ההוכחה של טענה חזקה למדי: השורש של כל מספר חופשי מריבועים איננו רציונלי. עם זאת, יש לנו שאיפות גדולות יותר – להוכיח ששורש של כל מספר שאינו ריבוע, אינו רציונלי. התוצאה הזו היא הרחבה פשוטה של מה שעשינו כאן: בהינתן מספר כלשהו שאיננו ריבוע, אפשר להציג אותו כמכפלה של ריבוע ושל מספר חופשי מריבועים (נסו להוכיח זאת בהתבסס על הפירוק של מספר לגורמים; זה קל). כאשר נוציא שורש לריבוע נקבל מספר שלם; כאשר נוציא שורש למספר החופשי מריבועים נקבל מספר אי רציונלי. דהיינו, השורש של כל מספר טבעי שאיננו ריבוע הוא מכפלה של מספר אי רציונלי ומספר שלם – אבל מכפלה כזו היא בהכרח אי רציונלית (כי אם $latex x$ אי רציונלי, $latex y$ שלם וגם $latex xy$ שלם, אז $latex x$ הוא רציונלי כי ניתן לכתוב $latex x=\frac{xy}{y}$ – מנה של שני מספרים שלמים).

היוצאים מן הכלל היחידים בהוכחה שלנו הם הריבועים, שכן אותם לא ניתן להציג בתור מכפלה של ריבוע ושל מספר חופשי מריבועים – ההצגה שלהם היא "ריבוע כפול 1" (אנחנו לא מחשיבים כאן את 1 כחופשי מריבועים כדי שזה יתאים לנו להגדרה המקורית של מכפלת ראשוניים).

ההוכחה שהצגתי כאן היא כנראה לא הפשוטה ביותר, אך לדעתי יש בה טעם כי היא מכלילה את ההוכחה ה"קלאסית". אפשר לנסח את ההוכחה בצורה קצת יותר פשוטה בעזרת טענות כמו "אם שני מספרים זרים אז גם ריבועיהם זרים" (ולכן מספר רציונלי שהוא שבר יישאר כזה גם כשיעלו אותו בריבוע), אך ההוכחה של טענה זו גם כן מתבססת על תכונות הראשוניים שכבר תיארתי ולכן אין בה תוספת משמעותית. אשמח לשמוע פתרונות אלגנטיים שונים.

47 תגובות בנושא “אז למה שורשים הם לא רציונליים?”

  1. ייתכן (ממילא ההוכחה היא ב"אותו מחיר") אבל נראה לי שאז צריך לנמק קצת יותר בשלב הבא – הרי גם אם שורש של כל ראשוני הוא אי רציונלי, מה מבטיח לנו שמכפלה של שני אי רציונליים שכאלו תהיה אי רציונלית בעצמה?

  2. הוכחה אחרת שנתקלתי בה בקורס מבוא לחוגים ושדות:

    נניח בשלילה ששורש 2 הוא רציונלי. אז

    a^2 = 2b^2

    עבור שני שלמים a,b. במספר שהוא ריבוע יש מס' זוגי של ראשוניים בפירוק שלו. לכן בפירוק הראשוני של אגף שמאל מופיע מס' זוגי של ראשוניים ובפירוק הראשוני של אגף ימין מופיע מס' אי-זוגי של ראשוניים (כי יש שם גם את 2) וזו סתירה.

    כמובן, אפשר להכליל את ההוכחה לכל מספר שאיננו ריבוע (של מספר שלם), כי מספר שלם איננו ריבוע אם ורק אם יש מס' אי-זוגי של גורמים ראשוניים בפירוק הראשוני שלו.

  3. תוצאה סופית: את ההוכחה שהצגת (ואני כבר מכיר) התקשיתי לעכל עבור 2, ולא הצלחתי לעקוב עבור המקרה הכללי. ההוכחה של קומאנדו, לעומת זאת, הובנה לי מיד! באמת הוכחה נפלאה, צריך ללמד אותה לצד (אם לא לחלוטין במקום) הקלאסית.

  4. לי נראה שההוכחה הזו "כבדה" מדי בשביל סטודנטים שרק עכשיו התחילו ללמוד חדו"א/אינפי ועדיין מנסים להבין מי נגד מי. ההוכחה "שלי" מסתמכת על המשפט היסודי של האריתמטיקה (לכל מס' יש פירוק ראשוני והוא יחיד עד כדי סדר הראשוניים), שלדעתי מרבית הסטודנטים בשלב הזה לא מכירים (אני למדתי אותו במסודר רק ב"מבוא לחבורות"). ההוכחה הקלאסית, טכנית ככל שתהיה, לא עושה שימוש במשהו מעבר ל"אלגברה" ברמה תיכונית.

  5. קומנדו, זה תקף רק עבור 2; בשביל הוכחה כללית כמו זו שהבאתי, גם אני נזקק למשפט היסודי. בלי קשר, המשפט היסודי הוא יחסית אינטואיטיבי, אם כי כמובן שיש מרחק בין האינטואיציה ובין ההוכחה האמיתית.

  6. פתרון ב"שליפה מהשרוול", כך שאולי יש פתרון יותר אלגנטי – תעלה את הביטוי בריבוע. תקבל 5 פחות שורש 10 ועוד 2, כלומר 7 ועוד שורש 10. שורש 10 אינו רציונלי (הוכחנו כאן) ולכן הריבוע כולו אינו רציונלי (אם היה רציונלי, אז גם כשמחסרים ממנו 7 היינו מקבלים משהו רציונלי). הריבוע של כל מספר רציונלי הוא רציונלי, ולכן נובע מכך שהביטוי שממנו התחלנו איננו רציונלי.

  7. האם הביטוי (שורש 2 פחות שורש שלישי של 3) הוא רציונאלי ומה ההוכחה לזה?
    ושווה להרחיב עבור שאר הסטודנטים את ההגדרה עבור לוגים, האם למשל
    לוג בבסיס 2, של 3 הוא מספר רציונאלי ואיך מוכיחים?

  8. עיין בתשובתי מעלה ל-zmanit; זה אותו רעיון.

    בכל הנוגע ללוגריתמים, אין לי מושג… אני לא בטוח אם יש כללי אצבע כל כך פשוטים.

  9. שלום,
    יש משהו שלא הבנתי בתשובה של גדי לזמנית.
    אם תיקח את הביטוי שורש 3 ועוד שורש 12 תקבל מספר אי רציונאלי.
    במידה ותעלה את הביטוי בריבוע תקבל מספר רציונאלי (27).
    איך העלאה בריבוע עוזרת לך להגיע למסקנה האם הביטוי רציונאלי / אי רציונאלי ?
    תודה.

  10. במקרה שאתה מביא היא לא עוזרת לי להגיע למסקנה כי הריבוע הוא רציונלי… במקרה שזמנית הביאה הטריק דווקא עובד.

    במקרה שלך יש פתרון יותר פשוט – הביטוי שלך שווה לשורש שלוש כפול שלוש. שורש שלוש אינו רציונלי (את זה אנחנו כבר יודעים) ולכן אם מכפילים אותו במספר רציונלי, מקבלים מספר אי רציונלי.

  11. אם כבר הזכרת הכפלה של מספר רציונלי ואי רציונאלי יש לי שאלה בנושא הזה.
    אם יש לי מספר רציונלי ומספר אי רציונאלי יש דרך להראות האם בהכרח פעולות חיבור / חיסור / כפל וחילוק יתנו תוצאה רציונלית / אי רציונאלית ?

  12. כל פעולת חשבון (כפל/חיבור/חיסור/חילוק) שתבצע בין מספר רציונלי ומספר אי רציונלי תיתן תמיד מספר אי רציונלי. למשל – אם a+b=c הוא רציונלי וידוע ש-b רציונלי, אז גם a רציונלי כי a=c-b והפרש שני רציונליים הוא רציונלי.

  13. השאלה איך אני יכול להוכיח את זה (כי זה מה שאני אמור להגיש שבוע הבא).
    נתון לי x מס' רציו' ו y מס' אי רציו'.
    ושואלים אותי האם המספרים הבאים הם בהכרח רציו' / אי רציו'.

  14. משהו לא ברור לי בסוף של ההוכחה…
    הבנתי עד לקטע שבו אם מספר חופשי מריבועים מחלק את a^2, אז נובע שהוא מחלק גם את a.
    עכשיו אתה אומר שכל מספר שאינו ריבוע שלם הוא מכפלה של ריבוע ושל מספר חופשי מריבועים.

    אני לא רואה איך זה נכון, למשל עבור המספר
    3*3*3*2*2*2*2*2
    שהרי ברור שהריבועים היחידים שתוכל למצוא כאן הם
    2*2
    2*2*2*2
    3*3
    2*2*3*3
    ואז בהתאמה הכפולות המתאימות יהיו
    2*2*2*3*3*3
    2*3*3*3
    3*2*2*2*2*2
    3*2*2*2

    אף אחת מהאופציות שלמטה לא "חופשיות מריבועים" לפי ההגדרה שנתת במאמר.

    אם תוכל להבהיר לי את זה זה יעזור לי הרבה יותר ממה שנדמה לך.

  15. המספר שכתבת הוא 864. ניתן לכתוב אותו בתור 144 (הריבוע של 12) כפול 6 (שהוא 2 כפול 3, כלומר חופשי מריבועים).

  16. עכשיו הבנתי.
    תודה רבה.
    באמת לא האמנתי שתגיב לי 4 חודשים אחרי שנגמר כאן הדיון.
    שוב תודה.

  17. גדי, הרשה לי להציע את ההוכחה הבאה לאי-הרציונליות של שורש n עבור n שאינו ריבוע: נניח ששורש n רציונלי ולא שלם. יהי k המספר השלם הגדול ביותר הקטן משורש n. נתבונן בסדרה ההנדסית
    zzz sqrt(n)-k, [sqrt(n)-k]^2, [sqrt(n)-k]^3,… zzz
    קל לראות (אינדוקציה או פיתוח לפי בינום ניוטון) שכל איבר בסדרה הוא מהצורה
    a*sqrt(n)+b*k
    עבור a,b שלמים. לכן אם שורש n רציונלי = p/q, אזי כל איברי הסדרה הם כפולות של 1 חלקי q. מצד שני כל איברי הסדרה חיוביים, לכן הם גדולים או שווים ל-1 חלקי q. אבל זה לא ייתכן כי הסדרה שואפת לאפס.

    הוכחה אחרת: נניח ששורש n רציונלי ולא שלם. יהי t החלק השברי של שורש n (כלומר t הוא שורש n פחות השלם הגדול ביותר הקטן משורש n). יהי k המספר הטבעי הקטן ביותר כך ש-k כפול שורש n הוא שלם. אז (כפי שקל לבדוק) kt הוא מספר טבעי קטן יותר וגם הוא בעל תכונה זו. סתירה.

    שים לב לכך ששתי ההוכחות האלה אינן משתמשות במשפט היסודי של האריתמטיקה. את ההוכחה הראשונה הצלחתי להכליל לשורשים שאינם ריבועיים (תרגיל לקורא…) אבל לא כך את ההוכחה השנייה. 🙁

  18. יש עוד… 🙂

    אפשר להוכיח גם מכך שהשבר המשולב המתאים הוא מחזורי, ובפרט הוא אינסופי; או מהמשפט על שורשיו הרציונליים של פולינום, שלפיו קל להראות שלפולינום "x בריבוע מינוס n" (ולמעשה גם x בשלישית מינוס n וכן הלאה) אין שורשים רציונליים שאינם שלמים.

  19. רק חסר נתון אחד מאוד חשוב בהוכחה שנראה אותך מוכיח: לכל מספר טבעי קיימת דרך אחת בלבד להציגו כמכפלת ראשוניים.

    אחרת, יכול להיות, תיאורתית, ש-A הוא מכפלה של P ו-Q (שהם ראשוניים) ולכן הריבוע שלו הוא מכפלה של P^2 ו-Q^2, אבל הוא גם מכפלה של U ו-V, כאשר שניהם מספרים ראשוניים אחרים.

    במילים אחרות: הוכח כי אם P ראשוני, ו-X לא מתחלק ב-P, אז גם X^2 לא מתחלק בו.

    1. לא בכל פוסט מוכיחים את כל המתמטיקה מחדש. כאן הסתפקתי בקישור לויקיפדיה שמתאר את המשפט; לא מזמן דווקא הוכחתי אותו כהכנה להוכחה על פירוק יחיד לאידאלים בחוגי שלמים.

  20. שלום. גדי, מישהו שאל שורש 2 פחות שורש חמש האם הוא אציונלי. תוכל לפרט קצת יותר את התשובה? כי איך שאני מבין העלאה בריבוע נותנת 2 + חמש + פעמיים השורש של עשר. וזה לא מה שכתבת. (ראיתי שזה ממשיך כבר כמה שנים אז אני מנסה…

  21. מה שכתבתי היה "פתרון ב"שליפה מהשרוול", כך שאולי יש פתרון יותר אלגנטי – תעלה את הביטוי בריבוע. תקבל 5 פחות שורש 10 ועוד 2, כלומר 7 ועוד שורש 10. שורש 10 אינו רציונלי (הוכחנו כאן) ולכן הריבוע כולו אינו רציונלי (אם היה רציונלי, אז גם כשמחסרים ממנו 7 היינו מקבלים משהו רציונלי). הריבוע של כל מספר רציונלי הוא רציונלי, ולכן נובע מכך שהביטוי שממנו התחלנו איננו רציונלי."

    אני לא רואה מה הבעיה כאן, חוץ מזה שאמרתי בטעות שורש 10 ולא פעמיים שורש 10 (מה שלא משנה שום דבר).

  22. וואו… יפה שאתה עונה.

    אני מצטער אם זה יותר מדי מובן מאליו (אני די מתחיל)
    הבנתי הכל חוץ מהקטע שחמש ועוד שתים פחות שורש עשר הופך לפלוס שורש עשר, זה לא אמור להיות מינוס?

  23. אבל גם איך שאני מבין עדיין יש כאן שבע פחות שורש עשר. נפחית שבע ונשאר אם מינוס של שורש עשר, שהוא לא רציונלי, וכמו שאמרת מספר רציונלי שמפחיתים ממנו רציונלי התוצאה רציונלית. (כי בהנחה שאפשר להציג אותו כa לחלק לb אז אפשר להפחית מהמונה את מספר הפעמים שהמכנה נכנס בשבע ועדין ישאר שלם לחלק לשלם)
    כך שבכל מקרה אתה צודק.

  24. אחרי שאתה מצטמצם למחלקים זרים אתה לא יכול להגיד שאחרי העלאה בריבוע עדיין יש לך שבר של שני מספרים שלמים בגלל שהדבר היחיד שהשתנה זה החזקות של הראשוניים ואם המונה לא חילק את המכנה (כלומר השורש לא היה שלם) אז גם עכשיו הוא לא יחלק אותו וקיבלת ש k לא שלם וסתירה

  25. לא ניסחתי טוב – זאת הייתה שאלה בסגנון: אתה לא יכול פשוט להגיד את הדבר הבא?:… לא קביעה שאתה לא יכול להגיד משהו

  26. הנה "הוכחה" משעשעת שנתקלתי בה לא מזמן ששורש שלישי של 2 הוא לא רציוני.
    נניח בשלילה שקיימים a ו-b טבעיים כך ש: zzz (a/b)^3 = 2 zzz
    מכאן: zzz a^3 = 2*b^3 zzz
    ולכן:
    zzz a^3 = b^3 + b^3 zzz
    סתירה למשפט פרמה (מ.ש.ל)

  27. נראה לי שלא צריך שהמספר יהיה חופשי מריבועים אלא מספיק שיהיה מספר שלא ניתן לכתוב בריבוע, כך שמספר כמו 12 נראה לי שאפשר להוכיח באופן הבא:
    m^2=n^2 2^2 * 3
    יוצא מכאן ש-3 מחלק את m^2 וממילא גם את m.
    (m = 3c)
    מכאן:
    n^2 * 3 = 3^2 * c^2
    n^2 = 3 c^2
    n ו-m מתחלקים ב-3 והגענו לסתירה, לכן שורש 12 אי רציונלי.
    מ.ש.ל.

  28. "עם זאת, יש לנו שאיפות גדולות יותר – להוכיח ששורש של כל מספר שאינו ריבוע, אינו רציונלי. התוצאה הזו היא הרחבה פשוטה של מה שעשינו כאן: בהינתן מספר כלשהו שאיננו ריבוע, אפשר להציג אותו כמכפלה של ריבוע ושל מספר חופשי מריבועים (נסו להוכיח זאת בהתבסס על הפירוק של מספר לגורמים; זה קל). כאשר נוציא שורש לריבוע נקבל מספר שלם; כאשר נוציא שורש למספר החופשי מריבועים נקבל מספר אי רציונלי. דהיינו, השורש של כל מספר טבעי שאיננו ריבוע הוא מכפלה של מספר אי רציונלי ומספר שלם – אבל מכפלה כזו היא בהכרח אי רציונלית "

  29. הי,
    בפוסט ובתגובות כל הזמן מבקשים/מגדירים ש"המספר יהיה חופשי מריבועים"….
    אני דווקא רוצה לשאול איך מוכיחים ש-4 הוא כן רציונאלי….
    תודה

  30. 4 הוא שלם ולכן רציונלי על פי הגדרה. לפדנטים: הוא מהצורה 4/1.

    אולי רצית לשאול למה השורש של 4 הוא שלם? ובכן, הוא 2, ו-2 הוא שלם ולכן רציונלי על פי הגדרה.

  31. היי,
    רציתי לשאול בנוגע לההוכחה החלופית ש-CommandoGaurd הציע.
    הוא כתב כי "מספר שלם איננו ריבוע אם ורק אם יש מס' אי-זוגי של גורמים ראשוניים בפירוק הראשוני שלו" –

    והרי עבור המספר – 216=2*2*2*3*3*3, 216 איננו ריבוע של מספר שלם,
    ואכן יש בו מספר זוגי של גורמים ראשוניים.

    האם כוונתו היתה אולי למשפט הבא : "מספר שלן איננו ריבוע אמ"מ קיים בפירוקו לגורמים ראשוניים, גורם ראשוני שמופיע מספר אי-זוגי של פעמים"
    ??

    אשמח לתשובה,
    תודה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *