אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?

כעת אני מגיע לפואנטה שחתרתי אליה בפוסטים האחרונים שבהם דיברתי על שורשי היחידה – קריטריון שלפיו ניתן לדעת מתי מצולע משוכלל ניתן לבניה באמצעות סרגל ומחוגה (מהי בדיוק בניה בסרגל ומחוגה תיארתי בפוסט עוד יותר מוקדם). בדומה לבעיות של ריבוע העיגול, שילוש הזווית והכפלת הקוביה, כך גם כאן אנו עוברים די בזריזות מהעולם הגאומטרי לעולם …

חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים

בפוסט הקודם עסקתי בשאלה מהם המספרים שכשמעלים אותם בחזקת $latex n$, מקבלים 1 – "שורשי היחידה מסדר $latex n$". הגעתי למסקנה שאלו הם כל המספרים המרוכבים מהצורה $latex e^{\frac{k\cdot 2i\pi}{n}}$, והסברתי מה המשמעות של חזקה כזו של $latex e$ ולמה היא מספר מרוכב. לסיום, הכנסתי לתמונה סימון פשוט יותר:  $latex \zeta_n = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ (זוהי האות …

שורשנו באחדותנו

בפוסטים האחרונים הראיתי כיצד ניתן להשתמש במושג של הרחבת שדות כדי לחסל שלוש מהבעיות ה"קלאסיות" של בניה בסרגל ומחוגה ולהראות שהן פשוט בלתי אפשריות. נתבקשתי לדבר גם על בעיה רביעית – הבעיה של בניית מצולע משוכלל (מצולע שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות) בסרגל ומחוגה. כאן הסיטואציה מעט שונה – ניתן לבנות חלק מהמצולעים בעזרת סרגל …