יום פאי שמח!

ה-14 במרץ זכה לשם המגוחך "יום פאי" בגלל ש-$latex \pi$ מתחיל בספרות $latex 3.14$. לרוב נהוג לחגוג את היום הזה בזלילות של פאי (שעליו ציור של $latex \pi$), אך אני אנצל אותו כדי להעלות פוסט העוסק, איך לא, בפאי. ספציפית, באופן שבו פאי צץ במתמטיקה באופן לחלוטין לא קשור להקשר המקורי שבו מדובר על פאי (ההקשר הגיאומטרי של מעגל). אני מזהיר מראש שבחלק שבו אעסוק במתמטיקה עצמה, המתמטיקה תהיה טכנית למדי; אך אני חושב שדווקא כדאי לבחון קצת גם חישובים טכניים, כל עוד יש מאחוריהם רעיונות מעניינים – בלי לעשות זאת מפספסים חלק מהותי מהמתמטיקה.

המוטיבציה שלי מגיעה בראש ובראשונה מספר מדע בדיוני שלא אפרט את שמו (אלא אם תלחצו על הלינק…), שכן אני עומד לגלות פריט עלילה חשוב ממנו – אם כי לטעמי, זניח ביחס לדברים המעניינים באמת שיש באותו ספר. לקראת סוף הספר "מתגלה" כי אם רושמים את ספרות פאי בבסיס 11, הרי שבנקודה כלשהי בפיתוח (בסביבות המקום ה-$latex 10^{20}$, אם אני זוכר נכון; להמחשה, השיא העולמי כיום עומד על סביבות ה-$latex 10^{12}$ ספרות, כך שאנחנו ממש לא קרובים לשם) מגיעה סדרה של אפסים ואחדות בלבד, שאם מסדרים אותה כריבוע, מתגלה ציור פרימיטיבי של עיגול. הדבר הזה מפורש על ידי הדמויות בספר כחתימה של יוצר היקום על הבריאה, מה שאותי הרגיז מאוד – לא בגלל המסר הדתי (הגישה של הספר לנושאי דת ואמונה דווקא סבירה בעיני) אלא בגלל השימוש הלא נאות בפאי, לטעמי (וכאן המקום להעיר שאהבתי מאוד את הספר, ורק הנקודה הזו פגמה מעט בהנאה).

כמובן שהבעיה אינה עם כך שהסופר החליט להמציא את קיום הרצף המוזר הזה בפאי. הבעיה אפילו אינה עם כך שסביר להניח שכל רצף שרק נרצה של ספרות יופיע מתישהו בפיתוח של פאי (הניסוח המדוייק של ההשערה הזו אומר כי פאי הוא מספר נורמלי – כאמור, טרם הוכיחו זאת) – בסופו של דבר, אפשר להתייחס למקום ה-$latex 10^{20}$כמקום "מוקדם מאוד" בפיתוח ולכן הופעה אקראית של ציור שכזה בשלב זה היא מאוד לא סבירה הסתברותית (וכאן המקום להעיר שבאופן מפתיע ביותר, במקום ה-762 בפאי מתחיל רצף של לא פחות משישה מופעים רצופים של הספרה 9 – גם כן משהו לחלוטין לא סביר; ריצ'ארד פיינמן התבדח כי הוא רוצה לשנן את כל הספרות של פאי עד לנקודה זו רק כדי שיוכל לצטט אותם ולסיים ב"תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע וכן הלאה", כלומר לרמוז שפאי מסתיים ב-$latex 999\dots$ ולכן הוא רציונלי). הבעיה שלי היא בכך שאני לא מאמין בשום צורה שאל כלשהו מסוגל לשלוט ולו במופע של ספרה אחת בפיתוח של פאי. על כן, גם אם רצף כזה יתגלה במציאות, התגובה שלי לכך תהיה "מגניב!", אבל לא אראה זאת כקשור במאום לאל כלשהו.

כמובן, אפשר להציג לטיעון שלי התנגדויות מכאן ועד להודעה חדשה, ואיני טוען שניתן להוכיח אותו. יש התנגדויות-עוקפות-בעיה כמו זו שאלוהים יכול לגרום לנו "להאמין" שהרצף הזה נמצא בפאי, או לגרום למחשב שמציג אותו "להתבלבל" וכדומה, אבל אלו טיעונים משעממים משהו. טיעונים יותר מעניינים, וכאלו שמובילים אותי לנושא שעליו אני רוצה לדבר, מתייחסים לכך שאם היקום היה שונה, גם פאי היה שונה. כאן מתחילה המהומה, וכאן פאי נקלע לצרה בגלל הגדרתו ה"קלאסית", הגאומטרית.

כזכור, פאי מוגדר בתור היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זו הגדרה מאוד גרועה. מה זאת אומרת "היקף מעגל"? איזה מעגל? ואם מעגל כלשהו, למה היחס בין היקף המעגל לקוטרו תמיד קבוע? ואיך מודדים היקף? והכי חשוב – מעגל איפה?

כי דא עקא, בגאומטריות הלא-אוקלידיות, היחס בין היקף המעגל לקוטרו כלל לא קבוע. ואולי הגאומטריה של היקום שלנו היא לא-אוקלידית, ואז מה? לכאורה אלוהים יכול לשלוט על פאי על ידי כך שישנה את הגאומטריה של היקום. זו אמנם דרך מאוד, מאוד מוזרה להכניס לתוכו מסר (ולמעשה, לא ברור עד כמה ניתן לבצע שינויים "מהונדסים"בפאי שיגרמו למסר להיכנס לתוכו), אבל אי אפשר לפסול אותה מיידית – אלמלא פאי כלל לא היה מוגדר כך. פאי מוגדר במפורש כיחס בין היקף המעגל וקוטרו בגאומטריה האוקלידית, בה הוא קבוע בלי תלות במעגל. אלא שההגדרה הזו היא בעייתית מאוד לטעמי, בגלל הקישור החזק שהיא יוצרת בין פאי ובין האובייקט הגאומטרי של המעגל; והרי כל העניין בפאי נובע מכך שהוא מופיע במקומות רבים ושונים במתמטיקה בלי תלות במוצא הגאומטרי הזה. למעשה, הספר יורה לעצמו ברגל בנקודה הזו – המסר בפאי אמור להיות "אוניברסלי", אבל הוא מתבסס על ההנחה שמי שמכיר את פאי, מכיר אותו דווקא מתוך ההקשר המעגלי, ושהוא מצייר מעגלים באותו אופן כמו בני האדם – הנחות מאוד לא סבירות.

הדרך ה"נכונה" להציג את האוניברסליות של פאי היא לדבר על פונקציות הסינוס והקוסינוס, ולהסביר כיצד הן נובעות באופן "טבעי" במתמטיקה, בלי קשר למוצא הגאומטרי שלהן (כזכור, הפונקציות הללו מוגדרות באופן גאומטרי, באמצעות משולשים ישרי זווית – אך שוב, זו אינה ההגדרה ה"נכונה") אך זה יקח אותי לדיון על משוואות דיפרנציאליות שאני מעדיף להימנע ממנו כעת (אף כי אני מקווה לכתוב פוסט בעניין בעתיד). תחת זאת, אציג מקום אחר שבו (בעקבות הקשר החזק של פאי לסינוס) פאי צץ – פונקצית הזטה של רימן. מה שאני רוצה להציג בחלקו המתמטי של הפוסט הזה הוא שתי הוכחות לכך ש-$latex \zeta\left(2\right)=\frac{\pi^{2}}{6}$; הוכחה אחת של אוילר תהיה נפנוף-ידיימית למדי במהותה, אך יפה; והשניה, שתתבסס על אנליזת פורייה, היא יותר סטנדרטית ויותר קצרה, אך דורשת חומר רקע שלא אוכל להרחיב עליו כאן ולכן אשמור אותה לסוף.

תזכורת קצרה: $latex \zeta$ מוגדרת על מספרים ממשיים גדולים מ-1 באופן הבא: $latex \zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$. קיימת הרחבה של הפונקציה לכל המספרים המרוכבים, אך זה לא רלוונטי לדיון הנוכחי – כמו שכבר הבנתם, השתמשתי במילים "פונקצית הזטה של רימן" רק כדי לתת שם מפוצץ לטור שאני הולך לחשב, $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ (מה לעשות, כל דבר שיש בו את פונקצית הזטה של רימן הופך לסקסי – מתמטית – פי עשרים).

אין שיטה כללית יעילה לחישוב מדוייק של סכום טורים; לכל טור השיטות האד-הוקיות שלו, וכך גם במקרה שלפנינו. התעלול שאוילר נקט בו היה מקסים למדי, ומזכיר את התעלול שבאמצעותו הוא השתמש בפונקצית הזטה של רימן כדי להוכיח את קיומם של אינסוף ראשוניים.

הבסיס להוכחה של אוילר הוא פונקצית הסינוס, ומכאן גם פאי נכנס לתמונה באופן טבעי. בהגדרתו ה"נאיבית", סינוס של זווית $latex \theta$ מוגדר בתור היחס בין הצלע שמול הזווית ובין היתר במשולש ישר זווית. הגדרה זו מוכללת עם קצת עבודה לכל מספר ממשי $latex x$ (שמייצג את גודל הזווית ברדיאנים), אבל כדי לחסוך את כאב הראש מתמטיקאים לרוב מגדירים את סינוס בלי שום גאומטריה, באמצעות הטור $latex \sin\left(x\right)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots$.

מה שרלוונטי עבורנו הוא הערכים שבהם סינוס מתאפס. סינוס היא פונקציה מחזורית, שמתחילה ב-0, עולה עד ל-1, יורדת עד ל-$latex -1$, ואז חוזרת ל-0. כל מחזור כזה אורכו בדיוק $latex 2\pi$, וסינוס עובר בנקודה 0 גם במחצית המחזור (כשהוא יורד מ-$latex 1$ אל $latex -1$). כלומר, סינוס מתאפס בדיוק בנקודות שהן כפולה שלמה של פאי: $latex 0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots$ . כעת מגיע נפנוף הידיים המטורלל – מה שנעשה יהיה להציג את סינוס בתור מכפלה של גורמים מהצורה $latex \left(1-\frac{x}{n\pi}\right)$, כלומר בתור מעין מכפלה של גורמים שתלויים בשורשים שלו.

ההגיון כאן מגיע מהתכונה הדומה עבור פולינומים. כל פולינום $latex a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}$ ניתן לכתוב גם בתור מכפלה של גורמים $latex a_{n}\left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right)$ כאשר ה-$latex \alpha_{i}$ הם השורשים שלו (הנקודות שבהן הוא מתאפס). המכפלה הזו סופית ולכן אין איתה בעיה; אך עבור סינוס מדובר ב"פולינום אינסופי" שיש לו אינסוף שורשים, ולכן הרבה פחות ברור שהעסק הזה אפשרי. לצורך הדיון אנו מניחים שזה אפשרי – אוילר לא היה פורמלי בהרבה כשהוכיח את הטענה לראשונה. למעשה, איננו משתמשים בפונקצית הסינוס עצמה אלא בתיקון שלה, שיסלק את השורש הבעייתי ב-0: אנו מתבוננים בפונקציה $latex \frac{\sin x}{x}$. לכאורה פונקציה זו כלל אינה מוגדרת באפס, אך ניתן להראות כי $latex \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ ועל כן אם נגדיר אותה ב-0 להיות 1 נקבל פונקציה רציפה ונחמדה, שניתן לתאר גם באמצעות הטור $latex \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\dots$.

את הפיתוח $latex a_{n}\left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right)$ אפשר להציג גם באופן קצת שונה אם מחלקים כל גורם ב-$latex -\alpha_{i}$ המתאים: מקבלים $latex \frac{a_{n}}{\prod\left(-\alpha_{i}\right)}\left(1-\frac{x}{\alpha_{i}}\right)\cdots\left(1-\frac{x}{\alpha_{n}}\right)$. כך נעשה גם במקרה של $latex \frac{\sin x}{x}$ ונקבל $latex \frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\cdots$. הסיבה לכך שאין מקדם "מחוץ לסוגריים" היא שבמקרה הזה הוא 1; קל לראות זאת אם מציבים 0 בשני האגפים – באגף שמאל יתקבל 1, ולכן גם באגף ימין חייב להתקבל 1 (ומה שיתקבל הוא בדיוק ערכו של המקדם "שבחוץ").

כעת כבר כמעט סיימנו. הבה ונזכר בנוסחה $latex \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}$; אפשר להחיל אותה על כל זוג סמוך של סוגריים. מקבלים: $latex \frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2}}\right)\cdots$. העיקרון ברור – במכנים אנחנו מקבלים ריבועים. זה בדיוק התעלול של אוילר – הוא הצליח איכשהו לתפוס אנליטית את כל הריבועים (ולכן הפתרון שלו עובד מצויין עבור הטור הספציפי הזה אך לא תקף, למשל, עבור $latex \sum\frac{1}{n^{3}}$). כעת, אם נפתח את המכפלה של כל אינסוף הסוגריים ונסתכל על התוצאה, נקבל כמו קודם פולינום "אינסופי". מה יהיה המקדם של $latex x^{2}$ בפולינום הזה? מקדם שכזה מתקבל על ידי בחירת גורם אחד מהצורה $latex -\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}}$ מאחד מהסוגריים, ואת הגורם 1 מכל היתר; וכל בחירה אפשרית שכזו מצטרפת לסכום שמהווה המקדם של $latex x^{2}$. בקיצור – המקדם הזה יהיה $latex -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\pi^{2}}$.

מצד שני, כמו שכבר ראינו, המקדם של $latex x^{2}$ בטור של $latex \frac{\sin x}{x}$ הוא $latex -\frac{1}{3!}$. על כן, על ידי השוואת מקדמים מקבלים כי $latex -\frac{1}{6}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\pi^{2}}$, ועל ידי כפל שני האגפים ב-$latex -\pi^{2}$ מקבלים את התוצאה: $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$. למרות שזוהי בסופו של דבר הוכחה טכנית, אני סבור שהיא מקסימה ונותנת תחושה טובה של האופן שבו פאי צץ משום מקום.

מה שחשוב לי במיוחד להבהיר כאן הוא חוסר הקשר המוחלט של פאי בדוגמה הזו לגאומטריה, מעגלים, העולם שלנו או כל דבר אחר. הסכום $latex \sum\frac{1}{n^{2}}$ לא קשור במאום לכל אלו (טוב, כמו שראינו, הוא כן קשור, אך לא ברמה ההגדרתית-הצהרתית, אלא ברמה עמוקה בהרבה). היינו יכולים להגדיר את פאי באותה מידה להיות $latex \sqrt{6\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}$ ולא יחס בין היקף מעגל וקוטרו, ואז מה היו אומרים אלו שמנסים לטעון שאלוהים מסוגל לשנות את פאי? הדיון היה מפסיק לעסוק בפאי גרידא, ועוסק למעשה בכל טור ובכל מספר אפשרי – ולטעמי, זה הופך את השאלה "האם אלוהים יכול לשנות את פאי" לכזו שבה התשובה השלילית ברורה בדיוק כמו בשאלה "האם אלוהים מסוגל להנחית מט במהלך הראשון בשחמט?"- אלוהים לא מסוגל לעשות זאת מכיוון שזה פשוט לא אפשרי, על פי כללי השחמט; כדי שהדבר כן יתרחש, חוקי השחמט יצטרכו להשתנות. אם אלוהים מסוגל לשנות את פאי, אז לאחר השינוי היצור שיתקבל כבר לא יהיה פאי אלא משהו אחר – משהו שאינו שווה, למשל, ל-$latex \sqrt{6\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}$.

נעבור כעת להוכחה סטנדרטית יותר לסכום הטור, שמבוססת על אנליזת פורייה. אי אפשר להסביר מהי אנליזת פורייה בכמה שורות, אך הרעיון הבסיסי שנשתמש בו הוא שניתן לתאר פונקציות (שמקיימות כך וכך בתחום כזה וכזה ובלה בלה) במובן מסויים כטור של סינוסים וקוסינוסים, כלומר של פונקציות מחזוריות. זה הופך את אנליזת פורייה לכלי בסיסי למהנדסים, בעיקר בתחומים הנוגעים לעיבוד אותות (ניתן לחשוב על אות כעל פונקציה, וטור פורייה שלה יהיה מעין פירוק לרכיבי תדירויות – באופן ציורי, אם יש לנו קובץ מוזיקה ואנחנו רוצים "להגביר את הבאסים" צריך למצוא את טור פורייה המתאים, להגדיל את המקדם של התדירות שמתאימה לבאסים, ואז לשחזר את הפונקציה החדשה). עם זאת, השימוש שלי בה הולך להיות מתמטי-תיאורטי לגמרי.

פרט לרעיון הבסיסי, אשתמש במשפט אלמנטרי מתורת פורייה – זהות פרסבל. זהות פרסבל היא הכללה למרחבי פונקציות של משפט פיתגורס; משפט פיתגורס אומר כי $latex a^{2}+b^{2}=c^{2}$ כאשר $latex a,b,c$ הן צלעות משולש ישר זווית; אפשר גם לחשוב על $latex a,b$ כמייצגים פירוק לרכיבים מאונכים זה לזה של הצלע האלכסונית $latex c$, ועל משפט פיתגורס בתור קשר בין גודלם של הרכיבים וגודל הסכום שלהם. הרעיון בפרסבל דומה – במקרה זה, אם $latex f\left(x\right)$ היא פונקציה שמקיימת בלה בלה בלה אז ה"גודל" שלה בהקשר זה (שמבוסס על מושג של מכפלה פנימית במרחבי פונקציות – אמרתי שלא אוכל להרחיב מדי) הוא $latex \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx$. ההכנסה של פאי לתמונה אינה מקרית, כמובן; כבר אמרתי שאנליזה פורייה מתבססת על פירוק למרכיבים מחזוריים, כלומר סינוסים וקוסינוסים, שפאי משחק תפקיד חשוב במחזור שלהם. אם חושבים על המפלץ שכתבתי למעלה בתור $latex c^{2}$ במשפט פיתגורס המקורי, אז זהות פרסבל נראית יחסית סבירה: $latex \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\left|a_{0}\right|^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}+\left|b_{n}\right|^{2}$. באגף ימין יש לנו סכום של המקדמים בריבוע – פשוט הכללה של $latex a^{2}+b^{2}$ של פיתגורס.

כעת, אם נתונה לנו $latex f\left(x\right)$, כיצד בעצם מחושבים המקדמים $latex a_{n},b_{n}$, ולמה בעצם יש שני סוגי מקדמים? התשובה היא שאם עובדים עם סינוסים וקוסינוסים, יש שני מקרים שונים: המקדמים עבור קוסינוסים מחושבים באמצעות $latex a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\left(nx\right)dx$ כאשר $latex n\ge0$, והמקדמים עבור סינוסים מחושבים באמצעות $latex b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\sin\left(nx\right)dx$ כאשר $latex n\ge1$. מדוע דווקא נוסחאות אלו זו? זוהי מכפלה פנימית של $latex f\left(x\right)$ עם אחת מפונקציות הבסיס של בסיס אורתונורמלי למרחב, שבמקרה הזה הן סינוס וקוסינוס (למעשה $latex a_{0}$ לא מייצג לא סינוס ולא קוסינוס ויש שם התחכמות נוספת אבל זה לחלוטין לא רלוונטי במקרה שלנו אז לא אכנס לכך). אם אנחנו יודעים לבצע את החישובים הללו, שאינם קשים במיוחד, התוצאה נובעת מאליה כשאנחנו מסתכלים על טור פורייה של פונקציה פשוטה להחריד: $latex f\left(x\right)=x$.

ראשית, מהו ה"גודל" של הפונקציה הזו? $latex \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}dx=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\frac{\pi^{3}-\left(-\pi^{3}\right)}{3}=\frac{2\pi^{3}}{3\pi}=2\frac{\pi^{2}}{3}$. כאמור, זהו חישוב פשוט מאוד עבור מי שמכיר אינטגרלים.

כעת, מהם המקדים של טור הפורייה? המקדמים $latex a_{n}$ הם פשוטים למדי: אפס. זאת מכיוון ש-$latex a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos\left(nx\right)dx$, כלומר אינטגרל של פונקציה אי זוגית (פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת $latex g\left(-x\right)=-g\left(x\right)$) על תחום סימטרי סביב ראשית הצירים (נימוק פשוט לכך שהפונקציה אי זוגית: $latex x$ בבירור אי זוגית, ואנו כופלים אותה ב-$latex \cos\left(nx\right)$ הזוגית).

האינטגרל עבור $latex b_{n}$ מחוכם יותר ודורש תעלולי אינטגרציה סטנדרטיים – בפרט, אינטגרציה בחלקים עובדת כאן. מי שלא מצליח לעקוב אחרי החישובים, לא נורא; בשביל זה לומדים מתישהו אינטגרציה, אבל זה לא הדבר החשוב באמת כאן:

$latex b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin\left(nx\right)dx=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos\left(nx\right)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\left(nx\right)dx$

$latex =\frac{1}{\pi}\frac{-\pi\cos\left(n\pi\right)-\pi\cos\left(-n\pi\right)}{n}+\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin\left(nx\right)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}=-\frac{-2\cos\left(n\pi\right)}{n}=2\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}$

השתמשתי כאן בלי לנמק בכל מני תכונות של סינוסים וקוסינוסים – ש-$latex \sin\left(n\pi\right)=0$ לכל $latex n$ (מה שכבר אמרתי) וש-$latex \cos\left(n\pi\right)=\left(-1\right)^{n}$.

כעת אפשר לסיים על ידי שוויון פרסבל: $latex 2\frac{\pi^{2}}{3}=\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}$ ולכן על ידי חלוקת שני האגפים ב-4 מקבלים $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$. כלומר, בעיית חישוב הסכום הצטמצמה לבעיית חישוב אינטגרלים פשוטה יחסית; אך שוב, מדובר בשיטה אד-הוקית משהו, שמתבססת על כך ש"במזל"קיבלנו שהמקדמים $latex b_{n}$ הם בעלי צורה כל כך נחמדה. עם זאת, השיטה אינה אד-הוקית באופן מוחלט במובן זה שאפשר לקחת את טורי הפורייה של פונקציות פשוטות רבות נוספות ולמצוא בעזרת שוויון פרסבל את סכומם.

אולי תשאלו לאיזה צורך הייתי צריך להיכנס לכל הלכלוך הטכני הזה. התשובה שלי פשוטה – אני מרגיש שבפופולריזציה של המתמטיקה, פאי זוכה לפעמים מעמד "נקי" מדי, ויותר מדי מודגש הקשר שלו למעגל (שהוא צורה "מושלמת" ולכן פאי הוא מספר "הרמוני"ושאר אווילויות); בפוסט הזה רציתי להראות את פאי בסביבה הטבעית שלו, במקומות שבהם הוא צץ הכי הרבה. עם כל כמה שהסביבה הזו מזוהמת וטכנית, אני חושב שפאי נראה הכי יפה דווקא בה ולא על כס מלכות כלשהו או על עוגה. יום פאי שמח!

48 תגובות בנושא “יום פאי שמח!”

  1. יום פאי שמח! (אם כי אני מעדיף את ה-22 ביולי, שהוא יום קירוב פאי.)

    שני תיקונים טכניים – אני מניח שבפסקה החמישית כוונתך היתה לכתוב שמדובר בדרך מאוד גרועה להגדיר את פאי, ולא "מאוד לא גרועה". התיקון השני הוא טעות בסימן באחת המשוואות האחרונות בשיטה של אוילר. הושמט שם מינוס מאגף ימין (הסכום של הטור).

    אפשר כמובן לחשוב על עוד המון דרכים להגדיר את פאי, ולטעמי הטור הפשוט ביותר הוא פעמיים arctan של 1. זה טור פשוט למדי ונראה כמעט מעליב שהוא יתכנס באופן מפתיע דווקא לפאי. מה שכן – הוא עושה את זה באופן איטי להחריד.
    בפיזיקה הדרך הטובה ביותר להגדיר את פאי תהיה כפעמיים היחס בין h (קבוע פלאנק) ל-h-bar (קבוע פלאנק המחולק בשני פאי).

  2. יובל, תודה על התיקונים.

    אני כמובן מסכים באשר ל-arctan, וכדאי גם להזכיר את מכפלת וואליס בתור דוגמה לדרך להשיג את פאי ממשהו לא קשור – זה נותן לי חומר כתיבה ליום פאי הבא. בכל הנוגע לקבוע פלאנק אני אכן בטוח פחות – האם גם h וגם h-bar צצים באופן "טבעי", בלי תלות האחד בשני?

  3. עם פיזיקאים לעולם אין לדעת. אם היה לי שקל על כל פעם שפיזקאי ביצע מול עיניי זוועה מתמטית וחשבתי בהתחלה שהוא מתבדח…

  4. יש משהו שלא לגמרי מובן לי. מצד אחד אתה מבקש לשכוח לגמרי מההגדרה הגאומטרית של סינוס באמצעות מעגל (או משולש ישר זווית) ומציגו כטור חזקות, ומצד שני אתה מקבל כמובן מאליו שהשורשים של סינוס X הם 0, פאי, שני פאי וכך הלאה… הכיצד? איך אתה יודע אפריורית שאלו השורשים של הטור שרשמת? אפילו חפצת לקרוא לשורש הראשון פאי (יהיה ערכו המספרי אשר יהיה), איך אתה יודע מראש ששאר השורשים הם כפולות שלמות של המספר הזה?

  5. אה, בוודאי שזה לא "מובן מאליו" אבל לדיון הזה אני לא רוצה להיכנס כרגע; המקום לדבר עליו יהיה בדיון על איך מגיעים באופן לא גאומטרי לפונקצית הסינוס.

  6. "האם אלוהים מסוגל להנחית מט במהלך אחד בשחמט?- אלוהים לא מסוגל לעשות זאת מכיוון שזה פשוט לא אפשרי".
    המשפט הזה לא ברור- יכול להיות שהתכוונת מט במהלך הראשון?

  7. אאוץ'.

    לגבי קבועים בטבע, אם כבר הנושא עלה, אני לא מצליח לחשוב על מקרה בו פאי, או e, באמת מופיעים בטבע. הם לרוב מופיעים ככלי עזר בניתוח שלנו את הטבע.

  8. למה כוונתך ב"באמת מופיעים בטבע"? הרי הכוונה אינה לסיטואציה שבה אנחנו הולכים ברחוב ופתאום רואים מולנו את e. אם כן, מה נחשב "מופע בטבע"?

  9. בתור איזשהו יחס בסיסי וחסר ממדים בין גדלים פיזיקליים. לדוגמה – הקבוע הג'ירומגנטי של האלקטרון, או היחס בין רמות האנרגיה של אטום המימן.

  10. אני נאלץ לא כל כך להסכים עם הכתוב בסוף ההוכחה הראשונה. כתבת שם שפאי צץ לנו בתוצאה של הטור "משום מקום", אבל המקור שלו בביטוי שקיבלנו הוא מהמחזור של הסינוס, שאורכו שווה בדיוק לפעמיים פאי. ולעצם העובדה שאכן בחרנו את סינוס להיות עם מחזור באורך כזה (כשהחלטנו לעבוד עם רדיאנים) ולא באורך אחר (למשל 360 אם היינו עובדים עם מעלות) יש השפעה גדולה על התוצאה. אם היינו עובדים במעלות אז טור הטיילור שלנו נראה לגמרי אחרת מכיוון שנגזרת של סינוס היא כבר לא קוסינוס בדיוק, וכפי הנראה גם הגבול sinx/x כבר לא בדיוק שווה ל-1.
    כל הנושא הזה הצליח להחזיר אותי להתחבטויות ביני ובין עצמי, שהיו לי עוד לפני שנים רבות, באשר להגדרת הרדיאנים כ-"יחידת המידה הטבעית" בכל הנוגע לזוויות. המורה למתמטיקה בבית-ספר פשוט קבע כעובדה שיחידת המידה של הזוויות היא אך ורק רדיאנים ברגע שאנחנו מתעסקים גם עם נגזרות. (כמובן שגם בטכניון זה לא הוסבר, כי היו דברים רציניים יותר להתעסק איתם).
    ניסיתי לקחת את המקרים של הנגזרת של סינוס והגבול של sinx/x ולהוכיח בעצמי את תוצאתם כדי לגלות איפה בהוכחה אני נאלץ לקבוע ש-2*פאי הוא אורך המחזור (בשביל שאכן אקבל שנגזרת של סינוס היא קוסינוס בדיוק ושהגבול של sinx/x הוא 1), אבל הנסיונות האלה נכשלו מכיוון שכדי לחשב את הנגזרת הייתי חייב להשתש בגבול (מהגדרת הנגזרת), וכד לחשב את הגבול הייתי חייב נגזרת (לופיטל..)
    אז מה בעצם פיספסתי? ובכל מקרה, גם אם בחירת הרדיאנים היא טבעית ויש לה הסבר טוב, היא זו שהביאה את הפאי בתוצאה, וההסבר שלה הוא ככל הנראה גאומטרי (ביגוד לכתוב שאין שום קשר לגאומטריה).

  11. אבל זו בדיוק הנקודה – אם היינו מגדירים את הסינוס בצורה אחרת היינו אכן מקבלים טור טיילור שונה וגבול שונה ל-sinx/x כדי *לקזז* את זה, אבל היינו מקבלים בדיוק את אותו סכום עבור הטור (הרי ערכו של הטור לא יכול להשתנות בגלל שהחלטנו להגדיר פונקציה שבה אנחנו נעזרים בחישובים באופן שונה…). לכן פאי צץ בסכום הטור באופן טבעי ש*אינו* קשור לצורה שבה אנו מגדירים סינוס. אדרבא, הסיבה שבגללה אנחנו כן מגדירים סינוס באופן הזה היא שזו הדרך הטבעית והנכונה לעשות זאת.

    הסיבה שבה אנו מודדים זוויות ברדיאנים היא כדי שהגאומטריה תתאים את עצמה לאנליזה, לא להפך. כלומר, ההסבר מדוע למדוד ברדיאנים הוא גאומטרי, אבל זה לא הופך את חישוב הטור שהצגתי לגאומטרי…

    פוסט שלי על הסיבה לשימוש ברדיאנים:

    http://www.gadial.net/?p=102

  12. אכן נראה שפיספסתי את טרילוגיית הפוסטים ההם, שקריאתם שיכנעה אותי לבסוף שלא רימו אותי כל השנים והגבול של sinx/x הוא אכן 1 כשמשתמשים ברדיאנים, ומכאן כבר ברור שבכל הנוגע לקשר שבין טריגונומטריה וחשבון אינפיניטסימלי, הרדיאנים שולטים ביד רמה.
    עכשיו, לגבי הפאי ההוא שצץ לו פתאום, אני בהחלט חושב שזה מקסים לראות איך פאי שהוא יצור גאומטרי במקור, מופיע בתוצאה של טור אלגברי הנטול כל קשר לאלגברה וטריגונומטריה. ובכל זאת, כדי להגיע לפאי הזה אין מנוס מלהשתמש בסופו של דבר בגאומטריה (כאן השימוש היה כאמור סמוי בתוך ההוכחה של הגבול sinx/x, כמו שהשכלתי לנחש בתגובתי הקודמת, על אף שלא זכרתי בכלל את ההוכחה הזו…), וזה בדיוק מה שהתכוונתי כשאמרתי שהפאי לא צץ לגמרי משום מקום אלא הגיע גם הפעם משיקולים גאומטרים.

  13. לצערי, זה פשוט לא נכון. כאמור, אין שום צורך ללכת לגאומטריה כדי להגדיר את סינוס – אפשר לעשות זאת באופן ישיר באמצעות הגדרת טור הטיילור, ואז ההוכחה שהגבול של sinx/x הוא 1 היא טריוויאלית (ואז פאי הוא המחזור של הפונקציה הזו; כמובן שאם תרצה לקשור את המחזור הזה עם פאי ה"גאומטרי" תצטרך לפנות לגאומטריה).

  14. עקרונית את צודק, אבל בוא נחשוב על זה ככה – מיהו אותו פאי שצץ שמה במקריות מדהימ שכזו?
    כמובן שניתן מראש ללכת הפוך ולהגדיר את סינוס בצורתה האלגברית וגם להגדיר את פאי בצורה הזו דרך סינוס, ואז לקבל את פאי בסכום של הטור. אבל זה בכלל פאי שונה – פאי האלגברי. אותו פאי קסום שאנשים במשך שנים רבות חוקרים ומשננים את ספרותיו וחוגגים לכבודו פעם בשנה, הוא פאי הגאומטרי ולא פאי האלגברי. (אני בטוח שרוב מוחץ של האנשים שנקסמים מהמספר וחוגגים לכבודו יודעים להגיד שמדובר ביחס בין היקף המעגל לקוטרו ולא במחזור של הפונקציה x-x^3/6+…)
    אי אפשר להגיד "איזה יופי זה שפאי המספר הקסום מופיע פתאום בסכום של טור אלגברי" אבל להתייחס בכלל להגדרה אחרת לגמרי של פאי (האלגברית), שאם היא הייתה היחידה בעולם ולא הייתה במקרה שווה להגדרה גאומטרית עתיקה ומוכרת בהרבה, היה מספר הרבה פחות קסום ומעניין (וסביר להניח שגם לא היה זוכה לאות פאי, אם בכלל לאות משל עצמו).
    וכמובן, כאשר נרצה להראות את הקסם שבחיבור הבלתי צפוי בין הגאומטריה והאלגברה, לא יהיה מנוס מלעבור בגאומטריה בדרך.

  15. ובכן, מה שאני מנסה לומר הוא שסינוס הוא הרבה יותר מאשר "סתם" טור אלגברי לא ברור, בערך כמו שאקספוננט הוא הרבה מעבר ל"סתם" טור אלגברי, ולכן המספר e הוא בעל חשיבות שהיא הרבה מעבר ל"סתם"; אבל בשביל זה צריך לדבר קצת על מקומות שונים ולא גאומטריים שבהם סינוס עשוי לצוץ, וזה כבר עניין לפוסטים אחרים.

    אגב, לדעתי פאי, כמספר שבסה"כ מייצג היקף-חלקי-קוטר, הוא בכלל לא מעניין וקסום ואני לא מבין את ההתלהבות סביבו. הקסם מתחיל כשהמספר צץ פתאום במקומות לא גאומטריים.

  16. למה המקום 20^10 הוא "מוקדם מאוד בפיתוח?
    על כל מקום אפשר להגיד את זה היות שיש אינסוף ספרות לא?

  17. למה המקום 20^10 הוא "מוקדם מאוד" בפיתוח?
    על כל מקום אפשר להגיד את זה היות שיש אינסוף ספרות לא?

  18. אכן, אבל אפשר להיכנס כאן לחישובי סטטיסטיקה של ההסתברות שצירוף ספציפי יתקבל ב-20^10 המקומות הראשונים, ונראה לי שההסתברות תצא אפסית במקרה זה, אם כי לא טרחתי לבצע את החישוב.

  19. מצד שני, איזשהו צירוף צריך להתקבל שם, ולכל הצירופים יש הסתברות אפסית באותה מידה.
    ההסתברות שצריך לחשב היא של המאורע "יתקבל צירוף שיראה לנו מגניב ולא-סביר באחד מבין 10^20 המקומות הראשונים", ובהסתמך על הפסיכולוגיה האנושית (שחושבת שהמון צירופים הם מגניבים ובלתי-סבירים) אני חושב שההסתברות למאורע הזה היא איפשהו באזור ה-1.

  20. לכל הצירופים יש הסתברות אפסית באותה מידה, בהחלט; אבל קבוצת "הצירופים שאנו מייחסים להם משמעות" היא קטנה משמעותית מקבוצת "הצירופים שאנו לא מייחסים להם משמעות", כך שמה שבאמת צריך לדבר עליו הוא ההסתברות האפסית לכך שיופיע איבר בקבוצת "הצרופים שאנו מייחסים להם משמעות". אני ממש לא מסכים שההסתברות היא דווקא 1, פשוט כי אין *עד כדי כך הרבה* דברים שנראים לנו "מגניב".

  21. או בעצם, להגדרת מספרים נורמליים. לפי ההגדרה בוויקיפדיה, המספר 0.123456789012345678901234…
    הוא נורמלי. אבל לפחות לאדם שמביט על המספר הזה, ברור שיש כאן משהו מעבר לכך. סדר כלשהו. אינטואיטיבית, הייתי מצפה שבפי לא יהיו סדרים. כלומר, שלא רק ההסתברות של כל ספרה להופיע בכל מקום שווה – או שהפיזור על פני אינסוף הוא שווה, אלא שגם לכל רצף של k ספרות, הכלל הזה יהיה רלוונטי באותה מידה. האם יש לכך שם? והאם זה באמת רלוונטי לגבי פי, במסגרת האורך אליו מופה עד כה?

  22. pm
    "האם אלוהים מסוגל להנחית מט במהלך אחד בשחמט?- אלוהים לא מסוגל לעשות זאת מכיוון שזה פשוט לא אפשרי".
    המשפט הזה לא ברור- יכול להיות שהתכוונת מט במהלך הראשון?"

    אתה צודק שזה לא אפשרי אבל אתה שוכח את הסיבה – אנחנו יצרנו את המשחק ולכן גם את החוקים שבו, לכן זה לא אפשרי – אבל אם נרצה לשנות את חוקי המשחק למשל להחליט שמהלך מסויים גורם לניצחון במהלך הראשון -אז זה יהיה אפשרי אפילו לכל אדם פשוט (לא רק לאלוהים). נכון זה טפשי אבל מי מונע מאיתנו להחליט את זה? כנ"ל לגבי הייקום אם יש אלוהים – והוא יצר את היקום אנחנו לא יכולים להחליט מה הוא יכול או לא יכול לעשות… הוא קבע את החוקים לכן הוא גם יכול לשנות אותם.

    או אם תרצו כמו שאיינשטיין אמר שאלוהים לא משחק בקוביות (בהקשר של עולם הקוונטים)
    אז נילס בוהר ענה לו "אל תגיד לאלוהים במה לשחק"

  23. שי, אתה מפספס את הנקודה שניסיתי להעביר באמצעות האנלוגיה (והיא שאכן ברור לחלוטין שאלוהים לא מסוגל להנחית מט במהלך הראשון בשחמט). כמובן שאפשר לשנות את הכללים, אבל גם אז אלוהים לא יוכל להנחית מט במהלך הראשון בשחמט; הוא יוכל להנחית מט במהלך הראשון ב"שחמט עם חוקים שונים שאלוהים קבע" שכבר אינו שחמט. כך הדין של פאי.

  24. יהיה נחמד לעשות פוסט על סינוס ובו יוכחו התכונות שאמרת על סינוס כדי לאשר את "הוכחת אוילר".

  25. אני מקווה שמותר להגיב פה לפרסומים שעלו באוב… אני סטודנט לפיזיקה, ותהיתי בקשר לתגובה פה:

    יובל כתב:
    "בפיזיקה הדרך הטובה ביותר להגדיר את פאי תהיה כפעמיים היחס בין h (קבוע פלאנק) ל-h-bar (קבוע פלאנק המחולק בשני פאי)."

    וגדי ענה:
    "בכל הנוגע לקבוע פלאנק אני אכן בטוח פחות – האם גם h וגם h-bar צצים באופן "טבעי", בלי תלות האחד בשני?"

    ויובל ענה:
    "הייתי בטוח שזה מובן מאליו – הקטע עם h ו-hbar היה בדיחה."

    למה בדיחה בעצם? הרי hbar יוצא באופן טבעי כספין של אלקטרון (הספין יכול להיות +-hbar/2). וh הוא גם טבעי כיחס בין E/f בגל אלמ"ג…

  26. "ואז מה היו אומרים אלו שמנסים לטעון שאלוהים מסוגל לשנות את פאי? הדיון היה מפסיק לעסוק בפאי גרידא, ועוסק למעשה בכל טור ובכל מספר אפשרי – ולטעמי, זה הופך את השאלה "האם אלוהים יכול לשנות את פאי" לכזו שבה התשובה השלילית ברורה בדיוק כמו בשאלה "האם אלוהים מסוגל להנחית מט במהלך הראשון בשחמט?"
    זו פילוסופיה מעצבנת. אם אלוהים לא מוגדר כלל ואינו כפוף לחוקי העולם. הוא לא כפוף גם לחוקי הלוגיקה. לכן אתה יכול לטעון שהוא יכול גם להחליט ש not A=A וכל הכללים ישתבשו.

  27. לא בדויק הבנתי איך אפשר להפריד את הסינוסים או הפאי מהמעגל. (האמת שאני לא כל כך מכיר את שפת המתמטיקה). אם מגדירים את הסינוס כטור X פלוס X בחזקת 3 חלקי 3! וכו', זה רק בגלל התכונות הטבעיות של הסינוס שהם בהכרח קשורות לזה שהוא מופיע במעגל. מה פספסתי?

  28. סליחה על ההטרחה. באמת לא כל כך הצלחתי לקרוא הכל. אבל כעת הבנתי שהרעיון הוא שאפשר להגדיר את פונקציית הסינוס בלי קשר למעגל, ולא משנה איך הגיעו לתוצאה הזו. כעת מספיק להגדיר את פאי כגורם שהכפלה בו תגרום לפונקצית הסינוס להתאפס. למעשה אפשר להגדיר בצורה דומה את פונקציית הארקטנגנס ולראות שפאי הוא רבע מהמספר שאליו שואף הטור כש-X שווה 1.
    עדיין, האם אפשר להסביר מכוח זה למה פאי הוא "גם" היחס בין ההיקף לקוטר או שטח של עיגול שרדיוסו 1?

  29. כן ראיתי משהו על זה בחשבון אינפיניטסמלי אבל אני לא בטוח שזה לא קשור לתכונות גאומטריות. למשל שטח של רבע עיגול הוא האינטגרל המסוים של הפונקציה שורש 1-R בריבוע כאשר מגדירים את המספר התחתון 0 ואת העליון R מקבלים R בריבוע כפול פאי חלקי 4 (העיגול הוא סך הכל תיאור גרף של פונקציה) הפונקציה היא נוסחה שלא קשורה למעגל בצורה ישירה.

  30. באמת נהניתי. מה דעתך לעשות גם להיפך? לכתוב פוסט על הגיאומטריה של e ואולי יעשו גם יום e ב27 לינואר (2.71-אי אפשר 71 לשני) עם מאפים בצורת היפרבולה וכאלה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *