המלון של הילברט, או – מדוע יש גדלים שונים של אינסוף

אחת מהתוצאות היפות-ועם-זאת-נגישות במתמטיקה היא קיומם של אינסוף גדלים שונים של "אינסוף". כבר סיפרתי עליה בראשית ימי הבלוג, אבל נראה לי כדאי לתת לה פוסט חדש, שינסה גם להיות נגיש יותר מקודמו; אני מקווה שאת הפוסט הזה יוכלו להבין גם אנשים חסרי כל ידע במתמטיקה, כל עוד יש להם סבלנות ורצון ללמוד.

צריך להתחיל מהשאלה הפשוטה – מהו אינסוף? יש מן הסתם תשובות רבות לשאלה הזו – ספרים לא מעטים נכתבו עליה בדיוק. לכן אדבר רק על המושג שבו יעסוק הפוסט הזה, של אינסוף בתור כמות. אנחנו נוהגים להשתמש במספרים טבעיים כדי למנות כמויות – אחד אלוהינו, שני לוחות הברית, שלושה אבות, ארבע אמהות… אלו שימושים של המספרים 1,2,3,4. באופן יותר מתמטי, אפשר להגיד שאלו גדלים של קבוצות. קבוצת ה"אמהות", למשל, היא מגודל 4. קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים שקטנים או שווים ל-10 היא מגודל 5: המספרים הם 2,4,6,8,10. אבל כמה מספרים טבעיים זוגיים יש בכלל? ועזבו אותך מזוגיים – כמה מספרים טבעיים יש בכלל? התשובה לשאלה הזו היא "אינסוף".

אני אוהב להמשיל את האינסוף הזה ל"כמה שתרצה". נניח שיש לנו מכולה עם 1,000 עגבניות. אם אנשים יבואו ויקחו עגבניות באופן חופשי, מהר מאוד לא ישאר כלום – אחרי ש-1,000 איש ייקחו כל אחד עגבניה אחת, המכולה תתרוקן. אם, לעומת זאת, במכולה היו אינסוף עגבניות, אז לא משנה כמה עגבניות היו לוקחים ממנה, היא לא הייתה מתרוקנת – כמות העגבניות בה הייתה נותרת אינסוף.

המתמטיקאי דיוויד הילברט אהב להמחיש את העניין המוזר הזה עם סיפור על מלון בעל אינסוף חדרים – חדר מס' 1, חדר מס' 2, וכן הלאה. למרות אינסוף חדריו, המלון היה הצלחה מסחררת ובתפוסה מלאה, אבל אז בא אורח עיקש ורצה להשתכן בחדר. מנהל המלון מצא פתרון פשוט: הוא ביקש בנימוס מהאורח בחדר 1 לעבור לחדר 2. מהאורח בחדר 2 הוא ביקש לעבור לחדר 3, וכן הלאה. בצורה הזו התפנה מקום חדש בחדר 1, ואף אחד מהאורחים הקיימים לא נותר ללא חדר (אם כי כולם נאלצו לעבור…). המוזרות הזו – הרי זה תעלול שאי אפשר לעשות במלון עם מספר סופי של חדרים – היא מהתכונות המאפיינות של האינסוף.

הילברט ממשיך בסיפור ומספר על תופעות יותר מוזרות. למשל, פתאום בא אוטובוס וממנו יורדים אינסוף אורחים – אורח מס' 1, אורח מס' 2 וכן הלאה. מה יעשה בעל המלון עכשיו? יתחכם מעט יותר. מהאורח בחדר 1 הוא יבקש כמקודם לעבור לחדר 2; מהאורח בחדר 2 הוא יבקש לעבור לחדר 4; מהאורח בחדר 3 – לחדר 6. באופן כללי, מהאורח בחדר מס' $latex n$ הוא יבקש לעבור לחדר מס' $latex 2n$ – הוא הכפיל את מס' החדר. כעת מה קרה? כל האורחים עברו לחדרים הזוגיים במספר, ולכן התפנו אינסוף חדרים – כל החדרים האי-זוגיים. וכעת אפשר לשכן בהם את כל אינסוף האורחים החדשים.

(איור: תמר עקביה)

ועכשיו העלילה מסתבכת עוד יותר – פתאום באים אינסוף אוטובוסים, הממוספרים ב-1,2,3 וכן הלאה; ומכל אוטובוס יורדים אינסוף אנשים – "אורח מס' 1 מאוטובוס מס' 1"וכדומה. ומה יעשה בעל המלון המסכן כעת?

בעל המלון כלל אינו מתרגש, מכיוון שהוא יודע תעלול מתמטי נחמד (מי שלא יבין אותו – לא נורא). מספר הוא ראשוני אם הוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו. למשל, 2 הוא ראשוני, וכך גם 3,5,7,11 אבל לא 9, למשל, כי 9 מתחלק ב-3 (ומה עם 1? הוא אינו נחשב ראשוני ויש לכך סיבות טובות, אבל זה לא נושא הפוסט). מה שיעניין אותנו בראשוניים הוא שאם ניקח שני מספרים ראשוניים שונים זה מזה, $latex p,q$ אז לא רק שהם שונים זה מזה, אלא גם שאם נעלה כל אחד מהם בחזקה מספר מסויים של פעמים (לא בהכרח אותו מספר עבור שניהם) גם התוצאה של זה תהיה בהכרח שונה (בנוסחה מתמטית זה מסומן כ-$latex p^{n}\ne q^{m}$ לכל $latex n,m$ טבעיים).

אז מה שבעל המלון עושה הוא פשוט – ראשית, הוא מבקש מכל האורחים לעבור לחדר שגדול פי 2 ממספר החדר שלהם, כמקודם. כעת כל החדרים האי זוגיים התפנו. כעת, את האורחים של אוטובוס מס' 1 הוא משכן בכל החדרים שמספרם הוא חזקה של 3: את אורח מס' 1 מאוטובוס זה, בחדר מס' 3; את אורח מס' 2 בחדר מס' $latex 3^{2}=9$; את אורח מס' 3 בחדר מס' $latex 3^{3}=27$, וכן הלאה. מכיוון שחזקה של מספר אי זוגי היא אי זוגית בעצמה מובטח לנו שאף אורח מאוטובוס מס' 1 לא יפלוש לחדר של אחד מהאורחים הקיימים במלון.

כעת את אנשי אוטובוס מס' 2 הוא משכן בחדרים שהם חזקות של 5: $latex 5,25,125$ וכן הלאה. ואת אנשי אוטובוס 3? בחדרים שהם חזקות של 7. ובאופן כללי? את אנשי אוטובוס מס' $latex n$ הוא משכן בחדרים שהם חזקות של הראשוני האי-זוגי ה-$latex n$. יש משפט ידוע ולא קשה שמראה כי קיימים אינסוף ראשוניים (וכולם, פרט ל-2, הם אי זוגיים) ולכן ניתן לטפל כך בכל האוטובוסים.

בקיצור, בעל המלון הוא רב תושייה ביותר ושולט היטב במתמטיקה, וזה מוביל אותנו באופן טבעי לשאלה פשוטה – האם יש אתגר שאיתו בעל המלון לא יכול להתמודד? האם ייתכן שיגיעו "יותר מדי" אורחים ובעל המלון יצטרך לוותר? התשובה היא שכן, ושכמות האורחים הזו היא בדיוק אינסוף "גדול יותר" מאשר אינסוף החדרים שיש במלון. זה מביא אותנו לשאלה המרכזית בנושא – איך למדוד "גודל" של קבוצות אינסופיות?

כשמדובר על קבוצה סופית יש דרך פשוטה למדוד את הגודל שלה – פשוט סופרים איבר איבר כמה יש. כשמדובר על קבוצות אינסופיות לא ניתן לעשות זאת כי הספירה לא תיגמר לעולם. לכן משתמשים בקריטריון "השוואתי"- מנסים להגיד כמה איברים יש בקבוצה האינסופיות ביחס לקבוצות אינסופיות אחרות. כדי להבין את העניין כדאי לראות דוגמה עבור קבוצות סופיות: נניח שיש לנו אצטדיון בעל 10,000 מקומות ישיבה והוא מלא אנשים, ואנו רוצים לדעת בערך כמה יש. אפשר לבקש מכל האנשים לשבת ולראות מה קורה – אם נותרו מקומות ישיבה פנויים אז יש פחות מ-10,000 אנשים באצטדיון; אם נותרו אנשים עומדים, יש יותר מ-10,000 אנשים באצטדיון; ואם לא קרה לא זה ולא זה, אנחנו יודעים שיש בדיוק 10,000 אנשים באצטדיון. מה שביצענו כאן הוא התאמה בין האנשים ובין המושבים באצטדיון. כדי שהתאמה תראה שוויון בגודל של קבוצות, היא צריכה לקיים שתי תכונות: ראשית, שלכל אדם יהיה מושב שהוא שלו בלבד והוא לא חולק אותו עם אחרים; ושנית, שלא יהיו מושבים פנויים.

גם בדוגמת המלון ביצענו התאמה – התאמה בין "קבוצת האורחים של המלון" ובין "קבוצת החדרים של המלון". במקרה שלנו, "קבוצת החדרים של המלון" הייתה פשוט קבוצת המספרים הטבעיים. לקבוצה שאפשר להתאים אותה למספרים הטבעיים – "לשכן במלון של הילברט" – קוראים "קבוצה בת מניה"(כי ניתן למנות את איבריה – לדבר על "איבר מס' 1, איבר מס' 2…" וכן הלאה).

כאן מדגדג לי להתחיל לתאר באופן מדויק את התורה המתמטית שמסתתרת מאחורי כל המושגים הללו – אבל זה ירחיק אותי ממטרת הפוסט הזה, שמטרתה בסך הכל לשכנע את הקורא בקיום מספר גדלים שונים של אינסוף. אם כן, מה שאני רוצה להראות היא קבוצת אורחים שהיא גדולה מכדי להיות בת מניה. שלא משנה איך ננסה לשכן אותה במלון של הילברט, תמיד יישאר אורח בלי חדר. למרבה המזל, די קל לתאר את קבוצת האורחים הזו.

לכולנו (רובנו?) יש מספר זהות, ועד כמה שהאסיר יכול להתלונן שהוא אינו מספר אלא אדם חופשי, נוח לפעמים להתייחס אלינו באמצעות מספרי הזהות שלנו. מספר הזהות בישראל הוא בן 9 ספרות, אבל אין בעיה לדבר גם על מספר זהות בן 10 ספרות, או 11, או 12… אבל כל אלו לא יאתגרו את המלון של הילברט, אז אני אציע משהו מוזר: לכל אחד מהאורחים יהיה מספר זהות בן אינסוף ספרות. למי שזה מפריע לו כדאי לזכור שמלכתחילה מלון עם אינסוף חדרים זה לא הכי סביר בעולם, וגם אינסוף אוטובוסים עם אינסוף אורחים לא, אז מה רע בלסבך טיפה את העניינים ולדבר על אורחים שמספר הזהות שלהם הוא אינסופי?

אם כן, בואו נניח שלכל סדרה אינסופית של ספרות יש אורח שמעוניין להשתכן במלון של הילברט. ואני טוען שלא משנה מה בעל המלון יעשה כעת, יהיה אורח שנשאר בחוץ. איך נראה דבר כזה? נניח בשלילה שכל האורחים שוכנו איכשהו במלון, ואז "נבנה" את מספר הזהות של מישהו שבטוח – במאה אחוזים – שלא שוכן במלון. השיטה שבה אני אשתמש נקראת "האלכסון של קנטור" על שם ממציאה (והממציא של כל העיסוק הזה באינסופים).

אז כל האורחים שוכנו במלון. אני הולך לחדר מס' 1, דופק בדלת, ושואל את האורח שבפנים "סליחה, מה הספרה הראשונה בתעודת הזהות שלך?". הוא אומר לי, נניח, "7", אז אני רושם לעצמי על דף נייר "8"וצוחק צחוק מרושע.

ואז אני הולך לחדר 2 ושואל את האורח שבפנים מה הספרה השנייה בתעודת הזהות שלו. הוא אומר לי, נניח, ש-3, ואז אני כותב בדף שלי את הספרה 4 וצוחק צחוק מרושע. כעת כתוב לי בדף 84.

הלאה – חדר 3, האורח אומר לי שהספרה השלישית בתעודת הזהות שלו היא 9, ואני כותב לי 0 בדף וצוחק צחוק מרושע. כעת כתוב לי בדף 840.

בשלב הזה עוצרים אותי אנשים עם חלוקים לבנים ורשתות ושואלים אותי מה אני עושה. אני מסביר להם בנימוס שאני בונה, לאט לאט, מספר זהות של אורח שבודאות לא משוכן במלון. הנה למשל, כל מספר זהות שמתחיל ב-840 הוא בודאות לא מספר הזהות של אורח ששוכן בחדרים מס' 1, 2 או 3; כי לאורח בחדר מס' 1, ספרת הזיהוי הראשונה היא 7, ואילו במספר הזהות שאני בונה הספרה הראשונה היא 8; ועבור השני, ספרת הזהות השנייה שלו היא 3, אבל אצלי ספרת הזהות השנייה היא 4; וכן הלאה וכן הלאה. באופן כללי, את האורח מס' $latex n$ אני אשאל על ספרת הזהות ה-$latex n$-ית שלו; כך בכל אורח חדש אני מוסיף ספרה אחת למספר הזהות ואף פעם לא נקלע לקשיים בסגנון "כבר החלטתי מה תהיה הספרה הראשונה בתעודת הזהות אבל על סמך מה שהאורח הנוכחי אמר לי אני חייב לשנות אותה.", כי כאמור – אני בכל פעם מתעסק בספרה אחרת.

תהליך התשאול הזה מניב סדרה אינסופית של ספרות – כלומר, מספר זהות של מישהו. אותו מישהו, כאמור, לא יכול להיות משוכן באף חדר במלון – כי לכל $latex n$, מספר הזהות שלו לא מתאים למספר הזהות של האורח שבחדר $latex n$ כי הספרה ה-$latex n$-ית במספרי הזהות שלהם שונה. זה הסוף.

ייתכן שחלקכם צועקים עכשיו שאני רמאי ושקרן ושהחבר'ה בחלוקים הלבנים צריכים לקחת אותי מייד. זה המחיר של להיות לא מדויק – אני יכול לתאר את כל מה שעשיתי כאן בצורה יותר מתמטית-פורמלית, אבל זו לא מטרת הפוסט. יותר מכל, מטרת הפוסט הייתה לגרום לכם להרגיש שקורה כאן משהו מוזר. שהמלון של הילברט יותר מופרע משהיה נדמה במבט ראשון. שיש, במובן מאוד קונקרטי ומוחשי, סוגים שונים של אינסוף, ושבמתמטיקה יש רעיונות שהם מאוד מעניינים ושוברי מסגרות. אני מקווה שהפוסט גם הצליח בזה.

116 תגובות בנושא “המלון של הילברט, או – מדוע יש גדלים שונים של אינסוף”

  1. אני מוצא משהו בעייתי בהנחת המוצא של המלון של הילברט שסותרת למעשה מה שאמרת לפניה על העגבניות. איך יתכן מלכחחילה שיהיה מלון אינסופי בעל תפוסה מלאה? זה לא סותר את מושג האינסוף כמו שציינת לגבי המצב שיש אינסוף עגבניות במכולה?

  2. גיל: כמו שאתה רואה, "תפוסה מלאה" זה לא מחייב ואכן תמיד אפשר לפנות עוד מקום… אבל הרעיון בדוגמת העגבניות היא שבכל זמן נתון אנו דורשים רק כמות *סופית* של עגבניות.

    יוסי – למה צריך את זה כאן? המטרה של הפוסט היא להיות נגיש ככל האפשר, לא ללמד סימונים מתמטיים.

  3. שלום גדי,
    אני קורא את הבלוג שלך (בלוגך?) כבר זמן-מה והוא מאוד מעניין אותי.
    קשה למצוא חומרים בעברית ברמה הזאת.
    כרגע רוב 'ספרי המתמטיקה לציבור הרחב' הם די חוזרים על עצמם, ואני לא מוצא שום ספר שהוא לא לא לציבור הרחב ובכל-זאת ניתן להבנה.
    הנקודה שלי אין לי ממש דרך להשיג חומר מתמטי (בעברית) שאני אוהב,
    ושבזמן האחרון הפוסטים שלך הרבה יותר פשוטים…
    אני יודע שאתה רוצה להתאים את הפוסטים לרמה שהציבור יוכל להבין,
    אבל תוכל רק בפוסט הבא להעמיק יותר על משהו, בבקשה?

  4. הסידור של אינסוף האורחים מאינסוף האוטובוסים נורא בזבזני!
    מנהל המלון לא רוצה להשאיר חדרים ריקים, ולכן הוא יקרא לכל צוות העובדים (יש אינסוף כאלה, לכל אחד מספר סידורי, ומספרו הסידורי של המנהל הוא כמובן 1). הוא יבקש מכל העובדים להסתדר בטור לפי מספר העובד. אז הוא ימנה את הראשון בטור על שיבוץ הנוסעים מהאוטובוס הראשון, ויעזרו לו בכך כל העובדים שמספרם כפולה של מספרו הוא. אלה נשלחים לאוטובוס הראשון וכל אחד מהם לוקח אורח אחד לחדר שמספרו כמספר העובד שלו. עכשיו יש לטפל באוטובוס השני. קוראים לעובד שעומד עכשיו בראש הטור לקחת איתו את כל העובדים שמספריהם מתחלקים במספרו הוא ואלה יקחו את נוסעי האוטובוס השני לחדרים, לפי מספר העובד המלווה אצת האורח לחדר. ולאוטוביס השלישי: העובד שעומד עתה בראש הטור יקח כמובן את כל העובדים שמספריהם כפולות של מספרו, וכן הלאה. בסופו של דבר כל עובד ישובץ כך להוביל איזה אורח לחדר (לא יתכן שיישאר מישהו כי אם נניח שהוא נשאר אז באיזה שלב הראשון בטור חייב להיות מישהו שאחריו). לכן (אחרי שהמנהל עצמו יוביל את המדריך של הטיול המשונה הזה לסויטה מספר 1, כראוי למי שהביא לו אינסוף אינסופים של לקוחות), כל החדרים במלון יהיו מלאים. (רגע, מה עם האורחים שהיו כבר במלון? טוב, אז לפני הכל נוציא אותם לאוטובוס שהביא אותם יום קודם, ומשם אנחנו יודעים להמשיך).

  5. כרגיל, פוסט מעניין ומאיר עיניים.
    מצטרף לבקשת יוסי – הדוגמה בפוסט הזו היא טובה ומסבירה מצויין, אבל הייתי שמח לשמוע יותר על האיפיון של המספר הסידורי הנ"ל. אני כבר יודע איך אפשר ליצור אינסוף גדול מאינסוף אחר, אבל אשמח לשמוע הסבר *מדוע* אינסוף כלשהו גדול מאינסוף אחר ומה המשמעות (+דוגמות מתמטיות מציר המספרים/גאומטריה או משהו בסגנון).
    באופן כללי, אני תמיד מעדיף פוסטים מהסוג הזה (עם משל מחוכם) על פני פוסטים עם כתיבה מתמטית פורמלית, פשוט כי אני מתקשה תמיד להבין אותה.
    ישר כוח

  6. באת לי בזמן, גדי. השבוע תכננתי לספר את סיפור המלון ולהראות את האלכסון של קנטור לחבורת ילדים מוכשרים שכבר מזמזמים "אלף-אפס" בתשובה לכל שאלה הנוגעת לאינסוף, מבלי ממש להבין את הנושא.בדרך כלל אני מביא את סיפור המלון כדי להראות אינסוף-ים בני מניה, מראה התאמות בין הטבעיים לשלמים, רציונליים, וואחר כך מנסה את ההוכחה הטכנית של האלכסון של קנטור. נראה לי שאאמץ את שיטתך עם תעודות הזהות ונראה איך זה עובד.

    כדי שסיפור המלון לא יעורר את השאלות הטובות שהעלה כאן גיל (או בתשובה לשאלות כאלו), אני מדגיש כי יש להודיע הודעה ברורה בכריזה של המלון. בשלב הראשון "כל אורח יעבור לחדר שמספרו גדול ב-1 משלו", ובשלב השני "כל אורח יעבור לחדר שמספרו כפול משלו". דרך זו מונעת את ההצעה לשלוח את האורח לחדר שב(אינ)סוף.

  7. אני מסכים עם חובב מתמטיקה. זה נחמד שאתה מנסה להנגיש את הפוסטים אבל אל תוותר על פוסטים קצת יותר מעמיקים כמו פעם. כי כל הסדרת פוסטים האחרונה די טריוואלית למי שיודע מתמטיקה ברמה של שנה א' באוניברסיטה. אתה יכול להמשיך בפוסטים האלו, אבל זרוק איזה פוסט ברמה פעם בכמה זמן.

  8. סליחה על הדקדקנות, אבל בפסקה שמתחילה ב"כעת את אנשי אוטובוס מס' 2" כתבת שאת האורחים מאוטובוס מספר n משכנים בחדרים שהם כפולות של המספר הראשוני הn-י, אבל זה צריך להיות המספר הראשוני ה(n+1)-י כי בכפולות של 2 כבר משוכנים האורחים המקוריים.

    מאוד נהנתי.

  9. ועדיין לא נכנסנו לתור הענק שיהיה בזמן הצ'ק אאוט. מלון כזה, אגב, מאפשר מתח רווחים נמוך מאוד שעדיין ישאיר בסוף רווח אינסופי. מה שכן, לא כל כך ברור לי מדוע המנהל מתאמץ כל כך לשבץ עוד דיירים במלון בזמן שזה בכלל לא מגדיל את הכנסותיו.

  10. בענייןם תעודת הזהות… אם יש אין סוף חדרים ואין סוף דיירים אז אתה אף פעם לא תוכל לדעת את מספרי ת"ז של כולם ולכן אני יכול להגיד שתמיד בחדר הבא יכול להיות מישהו שהוא בעל מספר הת"ז שאתה מנסה להרכיב…
    אני בטח טועה אבל אני צודק?

  11. לגילעד:

    אם אני לא טועה, מה שפותר את הבעיה שהצגת הוא שימוש באקסיומת הבחירה, מה שמאפשר במקרה הזה "לשאול בו-זמנית" את כל האורחים במלון (כל אינסוף-הם ביחד!) מה מספר תעודת הזהות שלהם. אני יכול רק לנחש שכוונת המשורר כאן הייתה לא לסבך את הקוראים עם זה…

  12. תודה. ממש כייף לקרוא מתמטיקה מובנת גם להדיוטות.
    אשמח ללמוד איך אתה מסביר דברים מורכבים בצורה פשוטה ומובנת.

  13. מדוע בעל המלון צריך לתמרן בכל מיני טריקים מתמטיים בכדי למצוא מקום לאורחים הנוספים? שישלח אותם ישר לאינסוף…יש שם אינסוף מקום (אולי מכיוון שהמלון לא היה "באמת" בתפוסה מלאה, ואז שום טריק מתמטי לא היה עוזר) אני די מתחבר לפוסט של גיל מ ה-8 ל נובמבר 2010, אין שום קשר, לדעתי למושג של עוצמה לבין המלון של הילברט, או במילים אחרות המלון של הילברט, הוא דוגמה לא טובה למושג העוצמה. (ויסלחו לי הילברט וחבריו)

  14. הבעיה היא שאתה סתם מדבר באוויר. אין דבר כזה, "לשלוח ישר לאינסוף". אין מקום שנקרא "אינסוף" במקום. יש חדרים – חדר לכל מספר טבעי, וזה כל מה שיש. הגאונות פה היא להצליח לשכן את האורחים בתוך המלון הזה על חדריו, ולא באיזה "אינסוף" ערטיאלי וחסר משמעות.

  15. אתה אומר שאין דבר כזה "לשלוח אותם לאינסוף", אבל זה בדיוק מה שאתה עושה, רק "עוטף" את זה במילים אחרות. שהרי בסופו של דבר כשאתה מעביר אנשים מחדר לחדר, אתה צריך להגיע לכל החדרים… וכן גם כאלה שנמצאים שם ( שם – מבלי לומר את השם המפורש), אז חוץ ממשחקי מילים, אין כאן כלום…(ואגב, לומר על מישהו שהוא מדבר באוויר, זה לומר שאין לך ממש תשובה לספק…)

  16. אני אכן מגיע לכל החדרים, אבל לא לחדר שנמצא "באינסוף" כי לא קיים חדר כזה. כשאני אומר שאתה מדבר באוויר, הכוונה היא לכך שאתה משתמש במושג שאין לו שום משמעות בהקשר של הדיון. לאמירה כמו "כל אורח עובר לחדר הבא אחריו" יש משמעות – אפשר להגדיר את הפונקציה f(x)=x+1 שמתארת במדויק לאן כל אורח עובר, ולראות שזוהי אכן פונקציה חד-חד ערכית מהטבעיים לטבעיים וש-1 נותר ללא מקור; את "לשלוח ישר לאינסוף" אין דרך לתאר באופן דומה.

  17. אתה כותב "אני אכן מגיע לכל החדרים, אבל לא לחדר שנמצא "באינסוף" כי לא קיים חדר כזה", אבל במלון של הילברט יש אינסוף חדרים, כך שבמעבר מחדר לחדר מגיעים גם ל"שם".

    בכל מקרה, תודה על תגובתך, ועל סבלנותך.

  18. שוב, זה לא נכון. אין כזה דבר, "שם". אין חדר שמספרו "אינסוף" (אפשר לדבר על מודלים מתמטיים שבהם גם זה קיים, אבל לא בכך אנו עוסקים כאן – אתה מוזמן להעיף מבט בפוסטים שלי על סודרים). במעבר מחדר לחדר אתה מגיע מחדר שמספרו הוא מספר טבעי, לחדר שמספרו הוא מספר טבעי אחר. אין במלון שום סוג נוסף של חדרים.

  19. גדי, בדיוק נתקלתי בפוסט הזה בynet, ושמתי לב שהפונקציה שלך מאינסוף כפול אינסוף אינה על, ולכן הדוגמה של האיצטדיון נדפקת לך..

  20. למרבה המזל לא נדפק שום דבר. כדי להראות שקבוצה היא בת מניה מספיק להראות התאמה חד-חד ערכית ממנה אל הטבעיים; אם הקבוצה היא גם אינסופית (ולכן יש התאמה חד-חד ערכית מהטבעיים אליה) נובע מכך שקיימת גם התאמה חד-חד ערכית ועל בין הקבוצה והטבעיים (זהו מקרה פרטי של משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין). לא היה צורך להיכנס לדקויות הללו בפוסט הזה (או במאמר ב-Ynet).

  21. אני מכיר את משפט קנטור ברנשטיין, וגם פונקציות חח"ע ועל מNXN לN, לא ניסיתי לטעון שאתה טועה, אלא רק שהדוגמה של האצטדיון לא נכונה כלפי הפונקציה שהראית.
    בכ"מ ברור שזו קצת קטנוניות, אבל הכוונה הייתה יותר בכיוון של להחליף את "לבקש מכולם לשבת" ל"לבקש מכולם לשבת בסידור אופטימלי", במחשבה לאחור חוץ מהקטנוניות זה גם היה גורם לבלבול מסוים מאחר והדוגמה מדברת על קבוצה סופית.

    אגב, מה ההוכחה שיש פונ' חח"ע מהטבעיים לכל קבוצה אינסופית?

  22. דוגמת האצטדיון באה לתאר באופן כללי את המושג של התאמה חח"ע ועל ולמה הוא המושג ה"נכון" כדי למדוד גדלים.

    לגבי הוכחה, זה תלוי כמובן באופן שבו אתה מגדיר קבוצה אינסופית ("קבוצה שיש התאמה חח"ע מהטבעיים אליה" היא הגדרה לגיטימית לקבוצה אינסופית). אינטואיטיבית אפשר לתת הוכחה של "נבחר איבר כלשהו מהקבוצה ונעביר אליו את 1. כעת נבחר איבר שטרם בחרנו ונעביר אליו את 2…" וכדומה, ותמיד יהיה איבר חדש לבחור כי בחרנו עד כה רק מספר סופי של איברים. על פניו יש פה שימוש באקסיומת הבחירה ותמיד יהיו כאלו שירטנו על כך, אבל אני מניח שאפשר להיפטר ממנו עם התחכמות כלשהי.

  23. אז כמה גדלים שונים של אינסוף יש? אם הבנתי את ההסבר הוויקיפדי להשערת הרצף (המוכללת), ההשערה אומרת שיש אלף-אפס גדלים שונים של אינסוף?

  24. איני בטוח מה נאמר בהסבר, אבל התשובה היא שיש כל כך הרבה גדלים שונים של אינסוף, עד כי "מחלקת כל הגדלים השונים של אינסוף" איננה קבוצה ולכן לא ניתן להתאים לה עוצמה סופית או אינסופית כלשהי.

  25. רשום שבין עוצמת קבוצה אינסופית ובין עוצמת קבוצת החזקה שלה אין עוצמות אחרות.
    אז אם אלף-אפס היא האינסופית המינימלית, לפי הגרסה המוכללת של השערת הרצף זה אומר שהעוצמות השונות הן סדרה בת מנייה: אלף-אפס, קבוצת החזקה של אלף-אפס, קב' החזקה של קב' החזקה של אלף-אפס,… לא?

    אתה יכול להרחיב/להפנות אותי לאנשהו שמרחיב בנושא?

  26. זה נכון, אבל מה קורה "מעבר לזה"? למשל, מה קורה כשלוקחים את הקבוצה שהיא איחוד של כל סדרת העוצמות שתיארת? מקבלים עוצמה חדשה, ואם השערת הרצף המוכללת נכונה היא גדולה יותר מכל הקודמות (למה?). ואז אפשר לקחת את קבוצת החזקה שלה, וכדומה. בסופו של דבר מסתבר שלכל סודר אפשר להתאים עוצמה שונה.

    אפשר לקרוא על זה כאן:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_cardinal

    מדברים פה על שני סוגים של "גבולות" – אחד ביחס לפעולת קבוצת החזקה (ואז קוראים לעוצמות שמתקבלות "ב") ואחד ביחס לפעולת העוקב, כלומר לקיחת העוצמה הבאה בתור מבחינת גודלה (ואז קוראים לעוצמות "א"). השערת הרצף המוכללת שקולה למעשה לאמירה שסדרת הא'-ים שווה לסדרת הב'-ים.

    ספר שמתאר את כל העניינים הללו ברצינות הוא הספר של Jech, אבל זה ספר קשה למדי (מצד שני, העניינים הללו מתוארים ממש בהתחלה; מצד שלישי, גם ההתחלה לא קלה).

  27. תודה, פוסט מעניין.
    לגבי "תהליך התשאול הזה מניב סדרה אינסופית של ספרות – כלומר, מספר זהות של מישהו":
    משהו נראה לי לא הגיוני.. תמיד ישארו אינסוף אורחים שעדיין לא הגעת אליהם, לא? אתה בונה לאט לאט מספר זהות, אבל אף פעם לא תוכל להשלים אותו כי הוא תמיד ישאר סופי.

  28. השאלה היא מה פירוש "להשלים" כאן. אכן, אחרי מספר צעדים סופי התשאול לא יסתיים, אבל זה לא אומר שהפלט של התשאול הוא לא אובייקט מתמטי מוגדר היטב: הוא מוגדר היטב, ויש אלגוריתם שמאפשר לנו לחשב כל ערך בו אחרי זמן סופי. בהתחשב בכך שהאובייקט הוא מראש אינסופי, בכל מקרה אין שום דבר טוב יותר שאפשר לצפות לו (הרי אי אפשר לכתוב את האובייקט כולו על נייר…)

    במתמטיקה בניות אינסופיות שכאלו הן דבר שבשגרה.

  29. לא בדיוק הבנתי את ההוכחה שלך כידצ אפשר "להערים" על בעל המלון.
    כל מה שיצרת זה בן אדם (ת. זהות) שלא אורח כרגע במלון, זה לא אומר שאי אפשר להכניס אותו למלון בדיוק כמו בשיטה הראשונה שהצגת (הזזת כל הדיירים בחדר אחד).
    אשמח להסבר

  30. דניאל, מה שגדי ניסה להגיד הוא שאם מספר הספרות בתעודת זהות הוא סופי(וגם אם לא זהה עבור כל אדם) אז גם אם יגיעו למלון בו זמנית כל האנשים שחיו או שיחיו אי פעם עם כל מספרי תעודת הזהות האפשריים, ניתן יהיה לשכן אותם במלון(לצורך העניין ניתן להשתמש לדוגמה בקידוד גדל וליצור מכפלה של הראשוני הi בחזקת הספרה במקום הi ע"מ לקבל את מספר החדר, בעזרת המשפט היסודי של האריתמטיקה קל להשתכנע שברגע שנחסר אחד מקידוד גדל נקבל פונקציה חח"ע ועל).

    ברגע שתתיר מספר אינסופי של ספרות בתעודת הזהות לא יכול להיות שכל האנשים שחיו או יחיו אי פעם ישוכנו בו זמנית במלון, כי לכל קבוצה של אנשים שתראה לי איך הם מסודרים, אוכל למצוא לך אדם שלא נמצא במלון, וגם אם תכניס אותו אוכל למצוא אדם אחר שיחליף אותו..

  31. ראשית, מצאתי איך לקבל אימיילים על פוסטים חדשים, נא להתעלם מהתגובה הקודמת.

    שנית, למי שכבר מכיר את המושגים הפוסט נעים ומהנה, אבל זאת שיחת החרשים בתגובות שמרתקת באמת. אני חושב שהבעיה כאן היא שלנו (אלה ש"מבינים") – הפער בינינו לציבור הרחב יותר גדול ממה שנדמה לנו, ובאופן בלתי נמנע אנחנו מניחים הנחות שאינן מובנות מאליהן לחלק גדול מהקהל. אהבתי במיוחד את הטענה שאם יש מישהי עם מספר זהות אינסופי שלא יכול להיות לה חדר במלון, אז נזיז את כולם בקומה ונשכן אותה בחדר מספר אחת. ברמה שבה הנושא הוצג זה הגיוני – הרי זה בדיוק מה שעושה בעל המלון ללא הרף בחלק הראשון של הפוסט! כשניסיתי לנסח לעצמי מה ההבדל בין הנסיבות הדינמיות של בעל המלון (שבהן מותר להזיז אורחים כדי לשכן אוטובוסים) לבין הסטטיות שנדרשת להוכחה בשלילה – אנחנו מניחים קיום של משהו ואז כבר אסור לנו לשנות אותו, נוכחתי שזה אתגר לא פשוט, ואולי מצריך פוסט די ארוך בפני עצמו.

    וסליחה שרק הגעתי וכבר אני מתפרץ 🙂

  32. רן, הייתי תחת הרושם שזה מה שעשיתי בתגובתי האחרונה(אם כי שמתי לב הרגע שהפונקציה שהצעתי אינה על אלא רק חח"ע כי כל הספרות הן ספרות, מספרים שערכם יכול להיות גדול מ9, בכ"מ אני בטוח שלא מסובך כלל למצוא פונ' חח"ע למרות שכרגע אין לי כח לחשוב).

    ההבדל הוא שאמנם בשני המקרים אם לא כולם נמצאים אז ניתן להכניס עוד אחד, אבל השאלה היא מה קורה כשכולם כן נמצאים – והתשובה היא שאם המספר הוא בן מניה אז אין עוד את מי להכניס(עובדה, ניתן לסדר אותם כך שלכל אורח אוכל לאמר לך באיזה חדר הוא ולכל חדר אוכל לאמר לך איזה אורח משתכן שם – כלומר לבנות פונ' חח"ע מת"ז לחדר), בעוד במקרה שאינו בן מניה אני תמיד אוכל למצוא אדם שלא נמצא במלון, וכאשר תכניס אותו אוכל למצוא אדם חדש(כי האלגוריתם שמוצא אדם חדש יקבל קלט שונה, את הסידור החדש של החדרים), וכן הלאה. מכאן שלעולם לא ניתן להכניס אין סוף אנשים.

    הבעיה אולי היא שאנשים הבינו ש"ניתן למצוא את האדם היחיד שלא נמצא" ואז ברור להם שניתן לדחוף את כולם באחד ולהכניס אותו בחדר הראשון, בעוד מה שגדי טען הוא ש"ניתן למצוא את אחד מאינסוף האנשים שאינם נמצאים"..

  33. יש שני סוגים של אינסוף: יש אין סוף בפוטנציה, כמו המספרים. אתה יכול לספור תמיד, אין סוף, אבל תמיד תהיה במספר מוגבל מסויים, מספר "סופי". אתה יכול לחלק כל דבר לחלקים קטנים יותר ויותר, בלי סוף, אבל תמיד תחזיק במספר מסויים.
    ויש אין סוף אמיתי. אינסוף אמיתי לא יכול להיות בכלל מורכב מדברים סופיים (כמו "אין סוף עגבניות" או "אין סוף חדרים"), כי כשהוספת אחד (עגבניה אחת) יש יותר עגבניות ממקודם (באחת), ז"א שזה לא אין סוף.
    כך הגיעו החוקרים לפני מאות שנים למסקנה שהיקום הוא סופי (אם כי הוא מתרחב, ויכול להתרחב אינסוף, אבל כמו בדוגמא עם המספרים, הוא תמיד יהיה בגודל מסויים), וכמו כן שהמושג "זמן" התחיל מתישהוא, כי עכשיו נוספה דקה, ויש יותר דקות מאשר קודם על ציר הזמן, ולכן לא ייתכן שהזמן הוא אין סופי (אם כי הוא יכול להימשך לנצח, כמו בדוגמא עם המספרים, וכנ"ל).

  34. הייתי רוצה להסב את תשומת לבך לכך שאמרת ש"יש אין סוף אמיתי" אבל לא נתת אפילו רמז לגבי מהו אותו אינסוף אמיתי (בפרט לא נתת דוגמאות לאובייקטים מתמטיים שיש בהם אינסוף אמיתי שכזה).

  35. אני פשוט מחפש נוסחה מתמטית נכונה לבעיה שמטרידה את מחשבותי. האם יש נוסחה שמבטאת את המשוואה הבאה-מליון בחזקת מיליון-לחלק לאין סוף=אפס קודם כל האם זה נכון….לי זה נראה שכן…. והאם הנוסחה קימת? מקוה לתשובה מהירה כהנא שלמה

  36. התשובה היבשה היא שבאופן כללי לא נהוג להגדיר משהו כמו "חלוקה באינסוף". ניתן לתת לו משמעויות מסוימות בהקשרים מסויימים, אבל כדי לדבר על זה עדיף שתסביר קצת יותר במפורט מה אתה מנסה להשיג, ולמה.

  37. למען האמת אני כבר לא יודע. הייתה אופציה כזו בעבר בבלוג אבל היא הפסיקה לעבוד או משהו.

  38. מניח. זה לא בעייתי כי קל להוכיח שיש כאלו (ההוכחה הקלאסית של אוקלידס: תניח שיש מספר סופי; כפול את כולם והוסף 1; המספר החדש שקיבלת לא מתחלק באף ראשוני מבין אלו שהוכפלו, אבל חייב להיות לו גורם ראשוני כלשהו).

  39. זה נושא ששמעתי עליו לראשונה בקיץ האחרון, ואז זה נשמע לי ממש ממש מוזר וקשה להבנה. זה היה מה שהראה לי שבמתמטיקה יש גם תחומים… כאלה… "לא מדויקים", והפוסט הזה גרם לי להבין מעט יותר מה הכוונה בכל העניין הזה שבעצם יש אינסוף גדלים של אינסוף (משפט שנשמע חולני למדי…).
    היה לי מאוד מעניין לקרוא את זה. הכתיבה שלך מצוינת ומעניינת, המשך לכתוב. 🙂

  40. אם אינסוף מספר 1 גדול מאינסוף מספר 2. אז אינסוף 2 אינו אינסוף מעצם זה שהוא מוגבל.
    אלא אם כן אנחנו מדברים על אינסוף כמשהו סופי אבל לא בתחום המדידה ?

  41. אני לא מכיר הגדרה שטוענת שאינסוף חייב להיות בלתי מוגבל בכל מובן אפשרי, כך שלא ברורה לי הבעיה.

    פורמלית יש כמה הגדרות ל"קבוצה בעלת גודל אינסופי", ואני חושב שהפשוטה ביותר מתאימה כאן – קבוצה היא אינסופית בגודלה אם לא קיימת מספר טבעי n כך שיש התאמה חח"ע ועל מקבוצת המספרים הטבעיים עד n אליה. תחת ההגדרה הזו, אין מניעה שקבוצות אינסופיות שונות יהיו מעוצמה שונה – "גדולה" ו"קטנה" יותר.

    כל מי שרוצה יכול להציע הגדרות משלו. לרוב הנסיון לנקוט בגישת "אם משהו מוגבל הוא אינו אינסוף" מוביל להגדרות משעממות.

  42. אפשר בבקשה לקבל הוכחה לכך ששני מספרים ראשוניים שונים זה מזה בחזקות כלשהן, ייתנו מספרים שונים זה מזה?

  43. זה מתבסס על תוצאה יסודית יותר: אם p הוא ראשוני ומחלק מכפלה ab אז הוא מחלק את a או את b. אפשר לראות הוכחה כאן:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid's_lemma

    בהינתן התוצאה הזו, ההוכחה טריוויאלית: נניח ש-p^n=q^t. אז מכיוון ש-p מחלק את p^n נובע שהוא מחלק את q^t. כעת, או שהוא מחלק את q או שהוא מחלק את (q^(t-1, אבל במקרה הראשון הגענו לסתירה כי את q מחלקים רק q ו-1. לכן p מחלק את (q^(t-1 ואפשר להמשיך באינדוקציה. בסוף מגיעים לכך שבהכרח p מחלק את q.

  44. אבל אם נגיד אני אקח את המספר זהות שקיבלנו(840…..) ואני אחליט שהאיש הn הוא בעל המספר ת.ז הזאת – אז הנה קיבלנו מישהו שזה הת.ז שלו, ואז עבור האיש הבא אני גם אבחר מישהו בעל הת.ז שרשמנו בדף – מה קורה אז ?

  45. אני לא לגמרי בטוח שאני מבין מה אתה מציע, אבל שים לב שבשום שלב לא קיבלנו את *כל* מספר הזהות; כשהגענו אל השלב ה-n כל מה שבנינו הוא את n-1 הספרות הראשונות של מספר הזהות. לכן חשובה העובדה שמספר הזהות הוא אינסופי.

  46. ההסבר לגדלים שונים של אינסוף שאני מכירה, הוא זה שיש אינסוף מספרים בין 0 ל1, 0.1,0.11 וכו', אבל יש בטוח יותר אינסוף מספרים בין 0 ל2, כפול…

  47. למעשה, העוצמה של הקטע [0,1] והעוצמה של הקטע [0,2] היא שווה, כך שעל פי ההגדרה הסטנדרטית, דווקא *לא נכון* לומר שיש בקטע השני יותר מספרים מאשר בראשון (בשניהם יש את אותו סוג אינסוף של מספרים).

  48. נראה לי די ברור שאחרי שהאורח העיקש הנוסף שוכן במלון בנוסף ל"אינסוף" שכבר היו בו , יש במלון יותר אורחים מאשר היו בו קודם. זה על אף האפשרות להתאים לכל אורח במצב החדש אורח אחד ויחיד מין המצב הקודם. האם זה לא מעלה ספק לגבי ערכה של שיטת ההתאמה כדרך לקביעת "יותר" או "פחות" כאשר מדובר ב"אינסוף", על אף יעילותה לגבי קבוצות "סופיות"?

  49. אתה כותב "תהליך התשאול הזה מניב סדרה אינסופית של ספרות". אני יכול להבין טענה כזו אם כתוצאה מן התהליך ידועה הספרה ה-n לכל n. האם ידועה לך הספרה ה-300 , למשל ? אם לא, מה מצדיק את הטענה ש"הונבה" סדרה אינסופית של ספרות ?

  50. המשפט 'יש (דגש) "אינסוף" מס. טבעיים' שקול למשפט 'אין ( דגש ) מס. טבעי מקסימלי'.
    ( השימוש בנוסך "יש" יוצר רושם כאילו יש דבר מה שנקרא "אינסוף".)
    סדרת ספרות אינסופית היא מרשם המאפשר להתאים ספרה לכל מס. טבעי.
    מרשם הוא קבוצה סופית של סימנים.
    בעל המלון, שלא התיאש, מחליט בכ"ז לנסות. הוא מקצה לאורחיו חדרים לפי אורך המרשם: למרשם באורך 1 הואמקצה את החדרים 1, 3, 5…. אח"כ הוא ממספר מחדש את החדרים שנותרו ע"י חלוקה ב-2 ומקבל חזרה את כל חדריו. עכשיו הוא מקצה למרשם באורך 2 את החדרים 1, 3, 5… וחוזר חלילה. וראה זה פלא: כל האורחים בעלי מספרי הזהות האינסופיים זוכים למיטה וארוחת בוקר.
    אני מניח שהילברט, קנטור ( ואתה) חושבים שניתן לקבל בבית מרקחת סדרקת ספרות אינסופית ללא מרשם. אני מזמין אצלך פוסט ובו דיון הוגן בבעיה.

  51. מה שהוכחת כאן הוא שאוסף כל הסדרות הסופיות של טבעיים, מאורך לא חסום, הוא בן מניה. שים לב שלא טיפלת כלל בשום אדם עם מספר זהות אינסופי, רק עם כאלו שמספר הזהות שלהם הוא סופי אבל מאורך שיכול להיות גדול באופן שרירותי.

  52. באמת? בחדר 16 גר האורח בעל המרשם
    " במקום ה-n כתוב n". המרשם סופי אבל הסדרה לא. למעשה גר אצלי כל בעל מס. זהות אינסופי שאתה יכול להעלות על דעתך בצורת מרשם. הטענה שלי, אם לא שמת לב, היא שאין יותר סדרות אינסופיות מאשר מרשמים. טענה יותר רצינית היא שהתיחסות ל"אינסוף" כאל דבר-מה היא אחיזת עיניים.

  53. אם אתה מניח שכל מס' זהות דורש אלגוריתם בעל תיאור סופי, אז כמובן שיש רק מספר בן מניה של מס' זהות שכאלו. אבל זה לא מה שאני דיברתי עליו בפוסט.

    אתה כמובן מוזמן להניח ש"אסור" לדבר על סדרות אינסופיות שאינן ניתנות לחישוב ואף אחד לא יפריע לך לעשות את זה, אבל לטעמי זו גישה לא מעניינת, לא פרודקטיבית ולא משכנעת. גרוע מכך – היא מעבירה אותנו מתחום הדיון המתמטי לדיון מטה-מתמטי פילוסופי. אתה מוזמן לשטוח כאן את משנתך הפילוסופית אם זה ממש בוער לך, אבל לא בצורת משחק השאלות-ותשובות שקיימנו עד כה, כי אין לי כוונה להמשיך בו.

  54. שלום,

    כאשר קיבלנו את האדם שלא נמצא במלון עם תעודת הזהות 840…, האם בעל המלון לא יוכל לשכן אותו באותה הדרך על ידי הוזזת כל אורח חדר, כך שהוא יוכל להשתכן בחדר 1?

    בברכה, אייל

  55. הוא יוכל, אבל אז נוכל לבצע שוב את התהליך ונמצא שיש עוד אדם שלא שוכן במלון, כך שלעולם לא נוכל לשכן את כולם.

  56. נכון, אבל מה זה מוכיח? זה מוכיח שתוכל לתקן שיבוץ אורחים *שלא עובד* כדי לקבל שיבוץ אורחים אחר *שלא עובד אבל מסיבה אחרת*.

    הטענה היא שאף שיבוץ אורחים לא יעבוד. אני מוכיח את זה על ידי כך שאני לוקח שיבוץ אורחים *שרירותי* (כלומר, אני לא מניח עליו כלום פרט לכך שאכן משבצים בו את האורחים) ומוכיח שהוא נכשל איכשהו. אם תתקן את הכשלון הנקודתי הזה, זה לא יפתור את כל הבעיות שיש לשיבוץ – במקרה הזה, יש אינסוף אורחים שלא נמצאים במלון ואני הצבעתי רק על אחד אבל יש עוד כמה שאני רוצה.

    (באופן כללי יותר אם לוקחים פתרון שלא עובד ומנסים "לתקן" אותו על ידי טיפול בבעיה נקודתית עשויה להיווצר בעיה שה"תיקון" יגרום לבעיות חדשות שלא היו קיימות קודם; זה לא קורה כאן אבל זה כן קורה במקומות אחרים).

  57. תודה 🙂

    בהתאם לכך, האם לפי הדוגמאות שהצגת – בעצם שיטת שיבוץ האורחים (הדרך בה חושבים על הקבוצות) קובעת את גודל הקבוצה האינסופית? , האם זה נכון שבדוגמאות הראשונות בעצם ניתן להתאים לכל אדם חדר במלון וניתן לומר שיש שוויון בין הקבוצה של מס' החדרים במלון לקבוצה של מס' האורחים, ואילו בדוגמא עם מספרי הת.ז. אי אפשר לבצע התאמה שכזו ובעצם הקבוצה של מס' האורחים גדולה מהקבוצה של מס' החדרים (כי כל החדרים תפוסים ונשאר מישהו ללא חדר, האיש בעל ת.ז 840…)?

  58. הפוך: גודל הקבוצות קובע אילו שיטות שיבוץ יהיו אפשריות ואילו לא. למשל, העובדה שקבוצת חדרי המלון קטנה מקבוצת האנשים עם הת"ז האינסופי פירושה שאין דרך לשבץ את האנשים במלון.

  59. הבעיה במלון של הילברט היא שאי אפשר לשכן בו את המספרים הרציונליים בדיוק כמו את המספרים הממשיים. אם אחת מהקבוצות תבקש להשתכן בחדרים בסדר עולה יתקע בעל המלון אינסוף זמן כי לא ניתן לקבוע כבר מי משתכן בחדר הראשון.

  60. טכניקה שמאפשרת שיבוץ של הרציונליים הודגמה במקרה של אינסוף אוטובוסים. במקרה הזה גם יצא שהאנשים בכל אוטובוס שובצו בסדר עולה על פי מספרם באותו אוטובוס. אני חושב שתצטרך לפרט קצת יותר מה לדעתך אי אפשר לעשות ולמה זו בעיה.

  61. לא מצליח להבין את הטענה של הילברט: " למרות אינסוף חדריו, המלון היה בתפוסה מלאה".
    מה זאת אומרת?.
    כל הסיפור מתבסס על משפט לא הגיוני!
    מלון עם אינסוף חדרים, לא מגיע לתפוסה מלאה אף פעם.

    לכן כל ההמשך, מעניין ככל שיהיה, לא רלוונטי 🙂

    1. מה הבעיה? בהתחלה היה המלון ריק. אז הגיע אוטובוס עם אינסוף בן מניה של אנשים. את איש מס' 1 שיכנו בחדר מס' 1; את איש מס' 2 בחדר מס' 2, וכן הלאה.

  62. אם הבנתי נכון: השתמשנו בקבוצת המספרים הטבעיים, קבוצת המספרים הראשונים והחזקות ה n יות שלהם, קבוצת המספרים האי זוגיים והזוגיים ו"הוכחנו" שהן בנות מניה.

    מה ההקבלה לתעודת הזהות האינסופית ? כלומר איזה קבוצה היא ולמה היא לא בת מניה ?

  63. שני דברים: כאחד שעשה השנה קורס לוגיקה כסטודנט שנה א' למדעי המחשב, לא היה קשה להבין את מה שהסברת בפוסט(אבל כן שברתי על זה את הראש בפעמים הראשונות, חייב להודות). הסברים מאוד מאוד יפים אפשר גם למצוא בהרצאות של TED ביוטיוב בנושא של Infinity.

    דבר שני ופחות חיובי, על הנושא עצמו: כל הנושא של האינסוף מעוות גם היום וגם עם ההוכחות שבנינו לו. חקרתי את הנושא לעומק, ומסתבר שיש היום קול גדול של אנשים ומתמטיקאים(אולי לא רוב, אבל בהחלט גדלה מיום ליום) שטוענים שההגדרה של האינסוף שגויה מהיסוד, מעצם העובדה שאנחנו לא יכולים להכיל אותה. כשאתה נותן "גודל"(NR וכו') לקבוצה אינסופית אבל בעצם משתמש בתכונות של קבוצה סופית, רק מוכיח את הטענה שאנחנו לא מצליחים להבין את המשמעויות של המושגים האלה. זה נושא שכמובן אין לו נכון או לא נכון ושחור ולבן, אבל חייבים גם להזכיר שזה מושג בעייתי, לא רק מוזר, שאולי אנחנו מנסים לתת לו משמעות אבל בעצם אנחנו לא יכולים.

  64. הנה סוד: מתמטיקאים ואחרים התנגדו לאינסוף לפני קנטור, בזמנו של קנטור, ואחרי קנטור. אני לא מתרגש מהתגלית שלך.

    יש פה ושם הצעות יפות למתמטיקה אלטרנטיבית שלא משתמשת באינסוף. לרוב הערך בהצעות כאלו יורד ביחס ישר למידת הקולניות שבה הן מנסות להשמיץ את המתמטיקה שהם באים להציע לה אלטרנטיבה.

    ספציפית ההתנגדות שאתה מדבר עליה כאן ("משתמש בתכונות של קבוצה סופית") לא מוכרת לי ולא נראית, בניסוח שלך, נכונה.

  65. הדרישה
    "כדי שהתאמה תראה שוויון בגודל של קבוצות, היא צריכה לקיים שתי תכונות: ראשית, שלכל אדם יהיה מושב שהוא שלו בלבד והוא לא חולק אותו עם אחרים; ושנית, שלא יהיו מושבים פנויים "
    היא דרישה לפונקציה חח"ע + על

  66. אפשר אולי לסיים את הסיפור על המלון, לאחר שהגיעו אליו אינסוף אוטובוסים באופן הבא:
    ביום המחרת, בעל בית המלון רצה לגבות את הכסף. הוא הלך לחדר הראשון ומצא אותו ריק, כך גם בחדר השני השלישי וכוו… כאשר בדק בלובי אם האורחים עזבו התברר שאף אורח לא עזב. פשוט, ניתן היה להזיז את האורחים כלפי מעלה מפני שתמיד חדר בעל אינדקס גבוה יותר היה "שוה" יותר ולכן האורחים שמחו להחליף חדרים. לאחר שהגיעו אין סוף אוטובוסים נותרו הרבה חדרים רקים (המספר 15 הוא המספר הנמוך ביותר שישאר רק כי הוא לא זוגי ולא חזקה של ראשוני, אחריו יש המון חדרים רקים, למעשה בין כל שני מספרים ראשוניים עוקבים שההפרש בינהם גדול מ-2 גדול מ-2 כמעט חצי מהחדרים שבינהם פחות חצי חדר ישארו רקים) עכשיו האורח מחדר 14 "שיפר" ל-15 ופינה את חדרו, לכן גם האורח מחדר 13 שיפר ל-14. וכמובן כל האורחים שהיו בחדרים גבוהים יותר שעבורם התפנה חדר. קל לראות שעכשיו בעל בית המלון יצטרך לרוץ מהר מאד בין החדרים כדי לתפוס את האורח שנמצא בחדר הכי נמוך.

  67. האם אפשר להגיד שהאדם לא ישוכן במלון כי המספר שלו לא רציונלי? כלומר-כל שבר עשרוני הוא מחזורי והפעולה של קביעת ספרה אחרת היא כמו לכתוב שבר לא רציונלי {כמו שורש ריבועי או פאי}? אפשר להגיד שמספר הלא רציונליים גדול מהרציונאליים למרות ששניהם אינסוף.

  68. פוסט אדיר! קראתי המון פעמים את ההוכחות המתמטיות הפורמליות ולא הבנתי את הטענה שעוצמת הממשיים גדולה מהטבעיים, פעם אחת קראתי את הפוסט שלך ועכשיו גם ההוכחה המתמטית ברורה. תודה!

  69. ההסברים עוזרים להבין את הנושא.

    מאחר וכתבת למעלה:
    "ייתכן שחלקכם צועקים עכשיו שאני רמאי ושקרן ושהחבר'ה בחלוקים הלבנים צריכים לקחת אותי מייד. זה המחיר של להיות לא מדויק – אני יכול לתאר את כל מה שעשיתי כאן בצורה יותר מתמטית-פורמלית, אבל זו לא מטרת הפוסט" האם אתה מכיר את ההוכחה שסכום אינסוף של כל המספרים הטבעיים הוא -1/12 כפי שמופיע באתר numberphile?

  70. יופי של פוסט, ההסברים שלך מעבירים את הנקודה בצורה מאוד נוחה ופשוטה להבנה.
    אבל אני אשמח אם תוכל לענות על שאלה, שקשורה לנושא, אבל לא ממש לפוסט עצמו: בפוסט הזה הצגת את העוצמות של קבוצת המספרים הטבעיים, ושל קבוצת המספרים הממשיים.
    תוכל לתת דוגמה לקבוצה עם עוצמה גדולה משל המספרים הממשיים?

    בנושא אחר לגמרי: תוכל להסביר את המשמעויות של נגזרות מסדר גבוה מ-2.
    (ההסבר היחיד שקיבלתי היה בסגנון: הנגזרת מסדר-הנגזרת הראשונה היא קצב השינוי, השנייה היא הקצב שבו קצב השינוי משתנה, וככה בלי סוף)

  71. כן. קבוצת כל הקבוצות של מספרים ממשיים היא מעוצמה גדולה ממש מזו של הממשיים. באופן כללי אם A היא קבוצה אז קבוצת כל תתי-הקבוצות של A היא מעוצמה גדולה יותר. זה נקרא "משפט קנטור".

    לגבי נגזרות מסדר גבוה מ-2, הטבע חנן אותנו בדוגמא המושלמת – תנועה. תחשוב על פונקציה של מיקום. הנגזרת הראשונה היא השינוי במיקום – המהירות. הנגזרת השניה היא השינוי במהירות – תאוצה. אבל ייתכן שגם התאוצה תשתנה, וזו תהיה הנגזרת השלישית. דוגמה לסיטואציה עם תאוצה משתנה – טיל שנורה לחלל. הוא שורף דלק בקצב גבוה כדי להאיץ. ככל שנשרף יותר דלק, כך המשקל הכולל של הטיל קטן, ואז הפקה של אותה אנרגיה באמצעות שריפת הדלק תגרום להאצה חזקה יותר (תאוצה היא פונקציה של הכוח ששריפת הדלק מפעילה ושל המסה של הגוף שעליו הכוח פועל – מסה קטנה יותר גורמת לתאוצה גדולה יותר).

  72. תודה רבה על ההסבר, הוא הצליח דיי להעביר את הנקודה, אבל אחרי ההסבר הזה יש לי כמה שאלות חדשות וקצת יותר קשות (לדעתי)
    מהקודמות, אם זה בסדר.

    1. בנוגע לעוצמות:

    בדרך כלל כשמשתמשים במערכת צירים, משתמשים במערכת צירים שבה לכל ציר יש קבוצת מספרים עם עוצמה שווה
    לזו של המספרים הממשיים (לפחות ככה זה בבית הספר..), איך הייתה נראית מערכת צירים שבה בכל ציר יש קבוצה
    עם עוצמה גדולה משל המספרים הטבעיים (אם יש בכלל טעם לחשוב על מערכת כזאת). ואיך הייתה נראית פונקציה
    על מערכת צירים כזאת (שוב, אם יש טעם להגדיר פונקציה מקבוצה עם עוצמה כזאת, אל עצמה
    (כמו שיש פונקציות מהממשיים אל עצמם))?

    2. בנוגע לנגזרות: תודה רבה על ההסבר, הוא הצליח דיי להעביר את הנקודה, אבל אחרי ההסבר הזה יש לי כמה שאלות חדשות וקצת יותר קשות (לדעתי)
    מהקודמות, אם זה בסדר.

    1. בנוגע לעוצמות:

    בדרך כלל כשמשתמשים במערכת צירים, משתמשים במערכת צירים שבה לכל ציר יש קבוצת מספרים עם עוצמה שווה
    לזו של המספרים הממשיים (לפחות ככה זה בבית הספר..), איך הייתה נראית מערכת צירים שבה בכל ציר יש קבוצה
    עם עוצמה גדולה משל המספרים הטבעיים (אם יש בכלל טעם לחשוב על מערכת כזאת). ואיך הייתה נראית פונקציה
    על מערכת צירים כזאת (שוב, אם יש טעם להגדיר פונקציה מקבוצה עם עוצמה כזאת, אל עצמה
    (כמו שיש פונקציות מהממשיים אל עצמם))?

    2. בנוגע לנגזרות:

    הדוגמה עם קצב שינוי המקום לפי זמן הייתה ממש טובה, אבל אני סקרן גם לגבי משהו אחר שלימדו אותי ובא (אצלי)
    דווקא בנגזרות מסדר שני.

    מה שאני יודע על נגזרות מסר ראשון, זה שהן נותנות את שיפוע המשיק בנקודה (גם "קצב השינוי של הפונקציה בנקודה").

    על נגזרות מסדר שני לימדו (אותי) שהן קשורות ל"עקמומיות" הפונקציה בנקודה (בגלל זה אם הנגזרת השנייה היא חיובית בנקודה
    חשודה, מדובר בנקודת מינימום-הפונקציה "מעוקמת כלפי מעלה").

    אז…… מה עושה נגזרת מסדר שלישי?

    בעצם הכוונה בשאלה היא לגבי "תפקיד ייחודי" של כל סדר של נגזרת, אם זה בכלל משהו.

    הדוגמה עם קצב שינוי המקום לפי זמן הייתה ממש טובה, אבל אני סקרן גם לגבי משהו אחר שלימדו אותי ובא (אצלי)
    דווקא בנגזרות מסדר שני.

    מה שאני יודע על נגזרות מסר ראשון, זה שהן נותנות את שיפוע המשיק בנקודה (גם "קצב השינוי של הפונקציה בנקודה").

    על נגזרות מסדר שני לימדו (אותי) שהן קשורות ל"עקמומיות" הפונקציה בנקודה (בגלל זה אם הנגזרת השנייה היא חיובית בנקודה
    חשודה, מדובר בנקודת מינימום-הפונקציה "מעוקמת כלפי מעלה").

    אז…… מה עושה נגזרת מסדר שלישי?

    בעצם הכוונה בשאלה היא לגבי "תפקיד ייחודי" של כל סדר של נגזרת, אם זה בכלל משהו.

  73. ראיתי שהתגובה שלי יצאה עם באג, אז הנה התגובה המתוקנת (עם טיפה שינויים):

    תודה רבה על ההסבר, הוא הצליח דיי להעביר את הנקודה, אבל אחרי ההסבר הזה יש לי כמה שאלות חדשות וקצת יותר קשות (לדעתי)
    מהקודמות, אם זה בסדר.

    1. בנוגע לעוצמות:

    בדרך כלל כשמשתמשים במערכת צירים, משתמשים במערכת צירים שבה לכל ציר יש קבוצת מספרים עם עוצמה שווה
    לזו של המספרים הממשיים (לפחות ככה זה בבית הספר..), איך הייתה נראית מערכת צירים שבה בכל ציר יש קבוצה
    עם עוצמה גדולה משל המספרים הטבעיים (אם יש בכלל טעם לחשוב על מערכת כזאת). ואיך הייתה נראית פונקציה
    על מערכת צירים כזאת (שוב, אם יש טעם להגדיר פונקציה מקבוצה עם עוצמה כזאת, אל עצמה
    (כמו שיש פונקציות מהממשיים אל עצמם))?

    באותה הנשימה: איך הייתה נראית פונקציה מקבוצה בעלת עוצמה גבוהה משל הממשיים, אל עצמה (נגיד מקבוצה
    בעלת עוצמה ששווה לעוצמת קבוצת תתי הקבוצות של המספרים הממשיים, כמו שכתבת בתגובה הקודמת)

    2. בנוגע לנגזרות: תודה רבה על ההסבר, הוא הצליח דיי להעביר את הנקודה, אבל אחרי ההסבר הזה יש לי כמה שאלות חדשות וקצת יותר קשות (לדעתי)
    מהקודמות, אם זה בסדר.

    הדוגמה עם קצב שינוי המקום לפי זמן הייתה ממש טובה, אבל אני סקרן גם לגבי משהו אחר שלימדו אותי (בתיכון, אז אולי לא לגמרי נכון).

    מה שאני יודע על נגזרות מסר ראשון, זה שהן נותנות את שיפוע המשיק בנקודה (גם "קצב השינוי של הפונקציה בנקודה").

    על נגזרות מסדר שני לימדו (אותי) שהן קשורות ל"עקמומיות" הפונקציה בנקודה (בגלל זה אם הנגזרת השנייה היא חיובית בנקודה
    חשודה, מדובר בנקודת מינימום-הפונקציה "מעוקמת כלפי מעלה").

    אז…… מה עושה נגזרת מסדר שלישי?

    בעצם הכוונה בשאלה היא לגבי "תפקיד ייחודי" של כל סדר של נגזרת, אם זה בכלל משהו.
    אממ, מקווה שזה לא ספאם בשבילך

    תודה בכל אופן

  74. לגבי המלון, אם אני אומר שיש אינסוף חדרים במלון ואין סוף אורחים אני יכול לדמיין את זה כאילו כל הזמן "נבראים" חדרים חדשים אם אורחים בתוכם. כך שלגבי כל הדוגמאות המנהל לא יכול לארח עוד אנשים מכיוון שהאורח האחרון שלא באמת קיים יישאר בלי מקום. בכל רגע נתון יהיה אורח אחד לפחות שהולך במסדרון שבין החדרים

  75. אממ מצטער אם אני חופר
    פשוט השאלות האלה ממש מסקרנות אותי ולא מצאתי תשובות באינטרנט
    באמת לא ניסיתי להיות שרלטן בתגובות הקודמות

    …אלה דברים שיש עליהם תשובות של ממש?
    אם כן אז אני ממש אשמח אם תוכל לענות

  76. אני לא חושב שאתה שרלטן. אין לי תשובה טובה בשבילך מהשרוול, אבל אולי אנסה לכתוב על זה פוסט מתישהו.

  77. פוסט נהדר גדיאל, גיליתי את הבלוג שלך לא מזמן ואני מאוד נהנה לקרוא את הפוסטים שמלאים בתוכן שמאוד "מונגש" גם למי שלא שותה מתמטיקה בארוחת הבוקר שלו.
    תודה לך 🙂

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *