חידת החיילים של קונווי

הפוסט הראשון שנכתב בבלוג עסק ברעיון מתמטי מקסים – שמורות, והאופן שבו אפשר להשתמש בהן כדי להראות שדברים מסויימים הם בלתי אפשריים. פוסט נוסף שפרסמתי בעבר עסק במשחק "מחשבת" (Peg Solitaire) ובאופן שבו שמורות אכלו גם אותו בלי מלח, או ליתר דיוק הראו שוריאציה עליו איננה פתירה. כעת אני רוצה לעסוק בוריאציה מחוכמת נוספת של …

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ד' – השיבה אל חוג השלמים

בפוסט הקודם הוכחתי שבכל חוג דדקינד קיים פירוק יחיד ברמת האידאלים. זה התקשר למה שדיברתי עליו קודם לכן בכך שכל חוג שלמים $latex \mathcal{O}_{K}$ של שדה מספרים $latex K$ הוא חוג דדקינד – טענה שטרם הוכחתי. בפוסט הזה אני רוצה להוכיח אותה, אבל קודם לכן אני רוצה לומר משהו על אחד מהדברים שמבדילים חוגי שלמים …

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ג' – שובו של הפירוק היחיד

בפוסט הקודם הצגתי את הפתרון של דדקינד (שהלך בעקבות קומר) לבעיה של אי-פריקות יחידה בחוגי שלמים. הרעיון היה לעבור מדיבור על אברי החוג לדיבור על אידאלים של החוג – כשאידאל הייתה קבוצה של אברי החוג שסגורה לחיבור ו"בולעת" כפל באיבר כלשהו מהחוג. פורמלית, אם $latex R$ הוא חוג אז $latex I$ הוא אידאל אם לכל …

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ב' – מתקפת האידאלים

בפוסט הקודם על תורת המספרים האלגברית תיארתי את "שדה המשחק" שלנו – שדה מספרים $latex K$ (הרחבה אלגברית סופית של $latex \mathbb{Q}$) וחוג השלמים שלו $latex \mathcal{O}_{K}$ (אוסף השלמים האלגבריים ב-$latex K$ – מספרים שמאפסים פולינום מתוקן במקדמים שלמים). חוגי שלמים צצים באופן טבעי בתורת המספרים – אמרתי שפתרון משוואת פל $latex x^{2}-dy^{2}=1$ שקול למציאת …

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק א' – מה זה חוג שלמים?

בפוסט הקודם על המשפט האחרון של פרמה הזכרתי קצת את התרומה של קומר; קומר הוכיח את המשפט עבור מחלקה גדולה למדי של מקרים (פורמלית, עבור ראשוניים שמקיימים תכונה מסויימת; לא ידוע אם יש אינסוף ראשוניים שמקיימים אותה אך מאמינים שיותר מחצי מהראשוניים אכן מקיימים אותה) תוך שהוא מתבסס על מושג מוזר של "מספרים אידאליים" שבא …

אז מה הקטע עם המשפט האחרון של פרמה?

אחד מהנושאים שעד היום לא נגעתי בהם כמעט כלל בבלוג הוא המשפט האחרון של פרמה – כנראה התוצאה המתמטית המפורסמת ביותר. הבעיה העיקרית שבכתיבה עליה היא כפולה – ראשית, סיימון סינג כבר כתב עליה ספר מפורט ("המשפט האחרון של פרמה"); ושנית, אם רוצים לעשות משהו שונה ממה שסינג עשה צריך להיכנס יותר לעומק המתמטיקה של …

פונקציות יוצרות – והפעם ברצינות (חלק ב')

אני רוצה להמשיך לדבר על פונקציות יוצרות והדברים המגניבים שעושים איתן, ובפוסט הזה ללכת לכיוונים עוד יותר טכניים מהפוסט הקודם (כי ככה זה במתמטיקה – כשמגיעים לדברים מתוחכמים, זה גם נהיה יותר טכני). בפוסט הקודם ראינו כי אם $latex A,B$ הן מחלקות של אובייקטים עם פונקציות יוצרות $latex a\left(x\right),b\left(x\right)$ אז הפונקציה היוצרת של $latex A+B$ …

פונקציות יוצרות – והפעם ברצינות

כבר כתבתי בעבר פוסט על פונקציות יוצרות, אבל אני מעוניין לשכוח זמנית מקיומו ולהציג את הנושא מחדש, בצורה מעמיקה יותר ומנקודת המבט ה"פורמלית" שאליה לא ממש נכנסתי בפוסט ההוא. המטרה שלי היא לשכנע אתכם – בעיקר את מי שלמד פונקציות יוצרות לחמש דקות, לא הבין מה זה טוב ומה הולך שם ושכח מזה – שזה …

משפט רמזי

שישה אנשים מגיעים למסיבה, וידוע שבין כל זוג אנשים מבין השישה או שוררת איבה נצחית, או שוררת ידידות נצחית. הראו כי קיימת שלישייה שכל חבריה מתעבים איש את רעהו, או שקיימת שלישייה שכל חבריה הם ידידי אמת (זה "או" מתמטי – אפשר גם וגם). החידה החביבה והלא קשה הזו היא הבסיס למשפט יפה – משפט …