דמיון מטריצות

בפוסט הקודם דיברתי על ייצוג טרנספורמציות לינאריות באמצעות מטריצות. מה שאולי לא הובלט מספיק שם היה שאת אותה טרנספורמציה לינארית אפשר לייצג באמצעות המון מטריצות, וכל מטריצה מייצגת המון טרנספורמציות לינאריות; מה שקובע חד משמעית את הקשר בין טרנספורמציות ומטריצות הוא בחירה של בסיסים עבור המרחבים שמעורבים בטרנספורמציה. מכאן עולות כמה שאלות – ראשית, האם …

קואורדינטות, טרנספורמציות, מטריצות וחיות אחרות

בשעה טובה הגענו אל מה שאני מחשיב בתור אחת התוצאות היפות ביותר במתמטיקה בסיסית. לצערי קל לפספס את היופי כאן (אני כבר מתאר לעצמי קוראים נזעמים שבסוף הפוסט ירטנו שזה בכלל לא יפה או מעניין) ואני מקווה שאצליח להיות משכנע. נתחיל ממשהו קונקרטי. כזכור, $latex \mathbb{R}^{2}$, המרחב האוקלידי, מורכב מנקודות שכל אחת מהן היא זוג …

הסריקה של גרהאם

אני לוקח הפסקה קצרה מהאלגברה הלינארית כי השאלה לדוגמה של תחרות התכנות של האוניברסיטה העברית (פרסומת זולה, כל עוד זה רלוונטי, מופיעה כאן) עשתה לי חשק לדבר קצת על בעיה גאומטרית ופתרונה – הבעיה של חישוב קמור של קבוצת נקודות במישור. זו בעיה ששייכת לתחום במדעי המחשב של גאומטריה חישובית – נתונה בעיה גאומטרית ואנו …

טרנספורמציות לינאריות

עד עכשיו בפוסטים על אלגברה לינארית דיברתי על מרחבים וקטוריים, כלומר על אובייקט מתמטי שמקיים תכונות מסויימות. השלב הבא במתמטיקה הוא לרוב לבדוק אילו מניפולציות אפשר להפעיל על האובייקט הזה שעדיין מותירות את הסדר הפנימי בו על כנו במובן מסויים. באלגברה לינארית המניפולציות הללו נקראות טרנספורמציות לינאריות. לפני שאתן את ההגדרה, הכי פשוט להציג את …

מוסיפים בסיס לדיון על אלגברה לינארית

בפוסט הקודם הצגתי את המושגים של מרחב וקטורי ותת-מרחב וקטורי, וכעת אני רוצה לגשת ישר ולעניין. בפוסט על משוואות הומוגניות ראינו שיש קבוצה קטנה מאוד של פתרונות שכל פתרון אחר ניתן לתיאור כצירוף לינארי שלהם; בפוסט הזה אני רוצה להרחיב על הנקודה הזו בצורה כללית קצת יותר. אז בואו נאמר ש-$latex V$ הוא מרחב וקטורי …

אז מה זה מרחב וקטורי?

בשעה טובה ומוצלחת הגענו לפוסט שיתאר במדויק את האובייקט המרכזי של האלגברה הלינארית – מרחב וקטורי. אפשר פשוט לתת את ההגדרה שהיא בעיקר רשימת מכולת של כל מני תכונות אלגבריות, אבל אני מעדיף להתחיל מלהיזכר מה ראינו עד כה. בפוסט הקודם התעסקתי באוספי פתרונות של מערכות משוואות הומוגניות. מערכת משוואות שכזו הייתה מהצורה $latex Ax=0$ …

משוואות לינאריות – הקרב האחרון

בפוסטים הקודמים שלי על אלגברה לינארית הסברתי קצת איך אפשר לפתור משוואות לינאריות על ידי הבאה שלהן לצורה פשוטה ככל האפשר, ואז הסברתי שבעזרת מטריצות אפשר לחשוב על ה"צורה הפשוטה ככל האפשר" הזו בתור סוג מיוחד של מטריצה, אבל זה עדיין לא סיים את הסיפור. בפוסט הזה אני רוצה לתת את התשובה הסופית והחד משמעית …

גבישים כמו-מחזוריים וריצופים כן-מחזוריים

בשעה טובה פרופ' דני שכטמן מהטכניון זכה בפרס נובל על גילוי הגבישים הכמו-מחזוריים, וזו הזדמנות טובה להסביר קצת את ההיבט המתמטי של העניין. במובן מסויים המתמטיקה היא הטיפוס הרע בסיפור הזה: אם לוותר בכוונה על הדיוק למען הרומנטיקה, שכטמן גילה חומר בטבע שמפר את חוקי המתמטיקה. בפועל, כמובן, זה לא בדיוק מה ששכטמן גילה, אבל …

כפל מטריצות – מה, לעזאזל?

בפוסט הקודם הצגתי מטריצות בתור כלי שעוזר לי לפתור מערכת משוואות – במקום לכתוב כל פעם את כל מערכת המשוואות, אני כותב מטריצה ו"מדרג" אותה והתהליך חוסך לי כתיבה מיותרת וקצת יותר קל לקריאה. זו מן הסתם לא הסיבה למה מטריצות הן כל כך מעניינות ו"אחד המושגים הבסיסיים ביותר במתמטיקה" כפי שאני שוב ושוב מפמפם. …

מטריצות, דירוג מטריצות ומשוואות לינאריות

משוואות לינאריות הן התירוץ המושלם להתחיל לדבר על האובייקט שבאמת מעניין אותנו – כנראה האובייקט המרכזי באלגברה לינארית ובמתמטיקה בכלל: מטריצות. מטריצה היא רשימה דו-ממדית של איברים (בהקשר שלנו, מספרים) אבל היא יותר מזה: היא אובייקט אלגברי שאפשר לבצע עליו מניפולציות אלגבריות: אפשר לחבר שתי מטריצות, אפשר לכפול מטריצה במספר כלשהו, ואפשר לכפול גם שתי …

אז איך פותרים משוואות לינאריות?

לטעמי נקודת הפתיחה הטובה ביותר לדיון על אלגברה לינארית היא לתאר מערכות של משוואות לינאריות ואיך פותרים אותן. ראשית, כי זו בעיה קונקרטית ובסיסית במתמטיקה; שנית, כי יש לה פתרון מושלם; שלישית, כי מבחינה טכנית הרבה מאוד מהבעיות שצצות בהקשר הרחב יותר של אלגברה לינארית (מרחבים וקטוריים) מצטמצמות לבסוף לפתרון של מערכת משוואות לינארית, ולכן …