ערכים עצמיים – מי, מה, כמה ולמה

אחת המניפולציות הפשוטות ביותר שאנו יודעים להפעיל על תמונות היא שיקוף. נניח עכשיו שאתם רוצים להבין איך לבצע שיקוף בעצמכם, מה זה בכלל אומר? איך ניגשים לזה פורמלית? מייד ברור שיש כמה סוגי שיקופים – יש שיקוף אופקי, ושיקוף אנכי, ואנחנו מבינים אינטואיטיבית מה הם אומרים; אבל פורמלית? בואו נגדיר את זה פורמלית. נדבר על …

סדרות ביטי ומלכות שחמט

אני רוצה לקחת הפסקה קצרה בפוסטים על אלגברה לינארית כדי להציג חידה פשוטה וחביבה עם פתרון מקסים ששמעתי בהרצאה של יובל גינוסר, ועל הדרך להציג מושג מתמטי נחמד – סדרות ביטי (Beatty, על שם המתמטיקאי סמואל ביטי). נתחיל מהחידה: אליס ובוב משחקים משחק שבו יש לוח משבצות מלבני (למשל, לוח שחמט – אבל לא הכרחי) …

מטריצות הפיכות, ומה שלדטרמיננטות יש לומר בעניין

בפוסט הקודם הצגתי את מושג הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית $latex A$, שסימנתי כ-$latex \left|A\right|$. נתתי שלוש הגדרות שונות (אקסיומטית – הפונקציונל מולטי-לינארי על שורות $latex A$ היחיד שהוא גם מתחלף ומחזיר 1 על מטריצת היחידה), ישירה ($latex \left|A\right|=\sum_{\sigma}\mbox{sgn}\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}A_{i\sigma\left(i\right)}$) ורקורסיבית, וכעת נותרה לי רק תכונה מרכזית אחת של הדטרמיננטה לתאר – היא כפלית, כלומר $latex \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$, …

דטרמיננטות

דטרמיננטה היא אולי המושג החשוב ביותר שקשור למטריצות. כמו כל מושג חשוב במתמטיקה, היא צצה בהקשרים רבים ושונים (לא מזמן הראיתי כיצד היא צצה בהקשר הלכאורה לא קשור לכלום של ספירת עצים פורשים בגרף) ויש לה כמה הגדרות שקולות שונות. לרוע המזל, זה גם מושג טכני למדי שעלול להרתיע את מי שזה עתה החלו ללמוד …

קצר: הזמנה לתערוכה

סיפור ידוע על המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט מאוניברסיטת גטינגן מספר כי בשנת 1934 הוא מצא את עצמו יושב ליד שר החינוך הנאצי החדש ברנהרד רוסט בסעודת ערב. רוסט שאל אותו "ומה מצבה של המתמטיקה בגטינגן כעת, משטיהרנו אותה מההשפעה היהודית?", ולכך השיב הילברט "מתמטיקה בגטינגן? כבר אין כזו". דומני שהאנקדוטה הקטנה הזו מתארת היטב את …

פונקציונלים לינאריים והדואלי של הדואלי של הדואלי של הדואלי

בפוסטים האחרונים עסקתי בטרנספורמציות לינאריות בין מרחבים וקטוריים, והפעם אני רוצה לדבר על סוג מסויים של טרנספורמציות שראוי לדיון בפני עצמו – פונקציונלים לינאריים. כרגיל, נסמן ב-$latex V$ מרחב וקטורי מעל שדה $latex \mathbb{F}$; פונקציונל לינארי על $latex V$ הוא פשוט טרנספורמציה לינארית $latex T:V\to\mathbb{F}$, כלומר כזו שנותנת (באופן לינארי) ערך סקלרי לאיברי $latex V$. …