כיבוי אורות (או: תורת הגרפים והאלגברה הלינארית מחסלות עוד משחק תמים)

"כיבוי אורות", או Lights Out הוא משחק תמים שהולך כך: נתון לוח משבצות של $latex 5\times5$, כך שכל משבצת יכולה להיות מוארת או כבויה; נניח מכאן ואילך עד לסוף הפוסט (כמעט) שבתחילת המשחק כל המשבצות כבויות. כל לחיצה על משבצת משנה את מצב המשבצת ומצב כל השכנות שלה: משבצת שהייתה כבויה נדלקת, ומשבצת שהייתה דלוקה …

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

ביקשו ממני לכתוב פוסט שמסביר בצורה פשוטה את משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין, ולדעתי זו מטרה ראויה ביותר. זהו משפט פשוט יחסית – הוא מופיע בתורת הקבוצות האלמנטרית, שלטעמי צריכה להימנות עם אחד הדברים הראשונים שכל חובב מתמטיקה לומד – אבל ההוכחה קצת מבלבלת וקשה לעיכול במבט ראשון, ולצערי ספרי הלימוד לא ממש עוזרים. ראשית, רקע קצר (אם …

איך אלגברה לינארית מתקשרת לשרשראות מרקוב (ואיך כל זה קשור לגוגל)

שרשראות מרקוב סדרת הפוסטים על אלגברה לינארית הגיעה במזל טוב לנקודה שבה אפשר לעצור ולעשות סיכומי ביניים לפני שצוללים בחומר הכבד הבא (מכפלות פנימיות), ולכן אני רוצה לנצל את ההזדמנות ולהציג נושא שהזכרתי בחטף קודם ולא דורש ידע באלגברה לינארית שטרם הוצג – שרשראות מרקוב. זה נושא ששייך לתורת ההסתברות ולכן הצגה פורמלית עד הסוף …

משפט הפירוק הפרימרי

בפעם האחרונה שבה דיברתי על אלגברה לינארית המושג הדומיננטי היה זה של תת-מרחב שמור. כזכור, $latex W\subseteq V$ הוא תת-מרחב שמור של טרנספורמציה לינארית $latex T:V\to V$ אם $latex T\left(W\right)\subseteq W$, והחשיבות של תתי-מרחבים כאלו נובעת מהעובדה שאפשר לצמצם את $latex T$ אליהם – להגדיר טרנספורמציה $latex T_{W}:W\to W$ כך ש-$latex T_{W}\left(w\right)=T\left(w\right)$ על $latex w\in …

נוסחת ההיפוך של מביוס

נוסחת ההיפוך הקלאסית נתחיל מדוגמה. ככה יהיה הרבה יותר קל להבין מה אני רוצה. בפוסט הקודם הזכרתי את פונקציית אוילר $latex \varphi\left(n\right)$ שלכל מספר טבעי מחזירה את מספר המספרים הקטנים ממנו שזרים לו. בנוסף לכל מעלותיה, היא מקיימת את התכונה היפה הבאה: $latex \sum_{d|n}\varphi\left(d\right)=n$. כלומר, כל מספר טבעי שווה לסכום הערכים של פונקציית אוילר כל …