מרחבי מכפלה פנימית – לפעמים הצמדה היא באמת הצמדה

בסוף הפוסט האחרון שלי על אלגברה לינארית הבטחתי שנדבר על מה שקורה כשלוקחים מרחב מכפלה פנימית ומתחילים לדבר על טרנספורמציות לינאריות מעליו. אני רוצה להתחיל עם הסוג הפשוט ביותר של טרנספורמציות לינאריות – פונקציונלים לינאריים. תזכורת קצרה: $latex V$ הוא מרחב מכפלה פנימית אם הוא מרחב וקטורי מעל $latex \mathbb{C}$ שמוגדרת בו פונקציה $latex \left\langle …

תחשיב הפסוקים – משפט הקומפקטיות ואיך משפט השלמות דומה למשפט טיכונוף

בפוסט הקודם על לוגיקה סיימתי להוכיח את משפט השלמות לתחשיב הפסוקים. לפני שנעבור הלאה, אני רוצה להתעכב טיפה על המסקנות מכל זה ולדבר עוד קצת על ההוכחה. בואו נתחיל ממסקנה לא טריוויאלית ממשפט השלמות: משפט הקומפטיות. משפט הקומפטיות אומר בפשטות שלתורה $latex \Phi$ יש מודל אם ורק אם לכל תת-תורה סופית $latex \Phi^{\prime}\subseteq\Phi$ יש מודל. …

כיצד תעזור לכם המתמטיקה לחמוק מדו"חות תנועה

בימים האחרונים מתרוצץ לו ברשת סיפור משעשע על פיזיקאי מאוניברסיטת סן דייגו, דימיטרי קריוקוב שמו, שקיבל דו"ח תנועה על אי עצירה בתמרור עצור, והצליח לשכנע את השופט לוותר לו על הקנס על ידי הגשת… מאמר מתמטי ש"מוכיח" את חפותו. שלל האתרים שמדברים על הפרשייה מתעקשים כמובן לומר שזה מאמר מתמטי "מלא נוסחאות סבוכות". ובכן, לא …

משפט השלמות לתחשיב הפסוקים

בפוסט הקודם הצגתי מערכת הוכחה (חלקית, עוד לא גמרנו) לתחשיב הפסוקים והוכחתי שהיא מקיימת את משפט הדדוקציה: אם $latex \Phi\cup\left\{ \alpha\right\} \vdash\beta$ אז $latex \Phi\vdash\alpha\to\beta$. הפעם אני רוצה להמשיך לבנות את מערכת ההוכחה הזו ולהראות שהיא מקיימת את התכונה שלשמה היא קיימת: להוכיח כל מה ש"נכון", דהיינו אם $latex \Phi\models\varphi$ אז $latex \Phi\vdash\varphi$ (זכרו: $latex …

תחשיב הפסוקים – על נביעה לוגית והוכחות

בפוסט הקודם הצגתי את התחביר של תחשיב הפסוקים – האופן שבו בונים נוסחאות מאוסף של סימנים, על פי כללים מסויימים, והתוצאה הייתה קבוצה שקראתי לה WFF ("נוסחאות בנויות היטב" או סתם "נוסחאות" מכאן ואילך). הצגתי גם את הסמנטיקה, אבל לא קראתי לה "סמנטיקה" מספיק בבירור, אז בואו נקדיש לזה כמה רגעים. האובייקט הבסיסי בתחשיב הפסוקים …

בקשת סיוע מהקוראים – תורת הקבוצות ולוגיקה

כפי שאולי שמתם לב, בחודש האחרון לא כתבתי פה הרבה. מלבד סיבות איזוטריות כמו מילואים ומאבק בארגון זימר"ה, הייתה לכך גם סיבה קונקרטית שקשורה למתמטיקה: הסמסטר אני מרצה בקורס "לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב" בטכניון, והחלטתי לנצל את ההזדמנות כדי לכתוב באופן עצמאי ובלתי תלוי בשאר המרצים בקורס סיכומי הרצאות משל עצמי. התכנון לטווח ארוך, …