משפט זקנדורף

אני רוצה לתת פוסט קליל יחסית הפעם, ולצורך כך בחרתי במשפט שלטעמי הוא חביב ביותר (אם כי אחרים אולי לא יבינו מה אני מוצא בו) שגם יש לו כמה שימושים נחמדים שלא אזכיר כאן ולו ברמז – משפט זקנדורף. כדי להבין מה המשפט אומר, בואו ניזכר בשני מושגים בסיסיים במתמטיקה – בסיסי ספירה, ומספרי פיבונאצ'י. …

ספרים, רבותי, ספרים!

בשעה טובה אני מרגיש מספיק בטוח בעצמי כדי לשחרר לאוויר העולם גרסה ראשונית של הספר שאני כותב בתורת הקבוצות. הנה הוא. הספר לא גמור, אבל במצבו הנוכחי אני חושב שהוא כבר יכול לשמש אנשים ולאפשר מתן פידבק. כמה הערות: כנראה הדרך הטובה ביותר לתת לי פידבק על בעיות ספציפיות בספר שדורשות תיקון, כך שיהיה סיכוי …

הבעיה העשירית של הילברט – הפונקציה האקספוננציאלית היא דיופנטית

סוף סוף הגענו אל האקשן האמיתי. כזכור, עבור $latex a>1$ הגדרנו את משוואת פל $latex x^{2}-dy^{2}=1$ כאשר $latex d=a^{2}-1$, וסימנו בתור $latex x_{n}\left(a\right)$ את סדרת ערכי ה-$latex x$-ים של פתרונות של המשוואה (כשכולם מוצגים בתור "חזקות" של הפתרון היסודי). המטרה שלנו כרגע היא להראות שהפונקציה $latex f\left(a,k\right)=x_{k}\left(a\right)$ היא דיופנטית; לשם כך נציג מערכת משוואות שבה …

הבעיה העשירית של הילברט – איך משוואת פל קשורה לכל העניין?

בואו נחזור לדבר על הבעיה העשירית של הילברט שעזבתי בשיא המתח – בדיוק לפני החלק הטכני ביותר, שנתחיל לטפל בו הפעם. תזכורת קטנה למי שאין לו כוח לקרוא את הפוסטים הקודמים: המטרה שלנו היא להוכיח שהפונקציה $latex f\left(n,k\right)=n^{k}$ – "הפונקציה האקספוננציאלית" – היא דיופנטית. כלומר, שקיימת מערכת של משוואות פולינומיות בשלמים עם המון משתנים ששלושה …