למה לא רציונלי לדבר על לא רציונליים (באינסוף)

עיתון "הארץ" עשה מעשה נאה ופרסם מאמר על מושג האינסוף. על כך יבורך; כל מאמר על נושא מדעי/מתמטי הוא דבר רצוי וראוי. המאמר הוא תרגום של מאמר מהניו-יורק טיימס של אחת, נטלי אנג'ייר, שכבר כתבתי בעבר פוסט נזעם על ספר שלה, "הקנון המדעי", שבו במחי כמה פסקות היא הציגה, לטעמי, את המתמטיקה בצורה השגויה ביותר שניתן להעלות על הדעת, כך שבאתי למאמר הנוכחי משוחד לרעה ובמצב רוח של מציאת שגיאות קטנוניות ככל הניתן.

התאכזבתי. המאמר הוא די בסדר, אם כי שטחי ומפוזר למדי לטעמי אפילו בהתחשב בנסיבות של מאמר בעיתון להמונים. אם רוצים להשתעשע, אפשר ללעוג קצת לציטוט הזה:

יש סוגי אינסוף המוכרים לנו מהיומיום, כמו המספר פאי, עם רצף הספרות האינסופי חסר המחזוריות מימין לנקודה. אבל מה יקרה אם נעגל את פאי ל-3.14159, ואז נגיש פאי תפוחים ב-14 במארס בשעה 1:59?

(מה באמת יקרה? כנראה שנאכל פאי תפוחים).

למרות כל זה, אני חושב שבמאמר יש בלבול שהוא נפוץ ביותר וגם אני לקיתי בו בעבר, שכדאי לשים עליו את האצבע. לא כדי ללעוג לאנג'יר על טעויות מביכות, כי זה בלבול נסלח בהחלט; פשוט בגלל שלטעמי הנקודה הזו מעניינת ומי שקורא את המאמר מחמיץ אותה לחלוטין.

המדובר על הציטוט הבא:

ביוון העתיקה "אימצו גישה חשדנית ועוינת למושג האינסוף", אומר א. וו. מור, מרצה לפילוסופיה באוניברסיטת אוקספורד ומחבר הספר The Infinite (1990). היוונים העדיפו מספרים רציונליים, שלפי הגדרתם יכולים להיכתב כשבר, כפי ש-0.75 שווה ל ¾ בדיוק, על פני מספרים אי-רציונליים כמו השורש הריבועי של 2, שהם בעלי עשרות ספרות חסרות מחזוריות.

איני רוצה להיכנס לדיון ההיסטורי על היחס של היוונים למספרים אי רציונליים, בפרט כי איני בקיא בו. אני כן רוצה לתהות על עירוב המספרים הללו יחד עם דיון על מושג האינסוף. ראשית אעיר כי מספרים אי רציונליים סובלים מבעיה "סופית" לחלוטין – אי אפשר להציג אותם כמנה של שני מספרים שלמים, או בניסוח שאולי יותר הולם את גישתם של היוונים, אם יש לנו קטע שאורכו הוא מספר שלם, וקטע שאורכו הוא מספר אי רציונלי, אין לשני הקטעים הללו מידה משותפת – אין קטע שלישי, קטן משניהם, שנכנס בכל אחד מהקטעים מספר פעמים שלם (להבדיל, למשל, מ-¾ ו-5, שהקטע שאורכו רבע הוא מידה משותפת לשניהם כי הוא נכנס שלוש פעמים ב-¾  ועשרים פעמים ב-5). אני סקרן לדעת האם ההתנגדות של היוונים לאי-רציונליים (בהנחה שאכן הייתה כזו – אני יודע על פיתגורס אבל לא יותר) נבעה מנימוקים של חוסר מידה משותפת או מנימוקים של "אינסוף".

מה שאני כן רוצה לטעון כאן הוא שבעייתי מאוד לזהות את המספרים האי-רציונליים עם "אינסוף" בעזרת הטיעון של "אינסוף ספרות" (או "עשרות ספרות" בלשונה הציורית של אנג'יר). נתחיל מכך שאנג'יר עושה לעצמה חיים קלים בכך שהיא מביאה את ¾ כדוגמה. הוא אכן ניתן לכתיבה יפה בתור 0.75, אבל לא כל המספרים הרציונליים כאלו! הדוגמה הפשוטה ביותר היא שליש, 1/3, שכאשר ננסה להציג אותו בבסיס עשרוני נקבל את המספר …0.333 שהוא בעל אינסוף חזרות של 3 על עצמו (זו המשמעות של שלוש הנקודות).

יתר על כן, אין מקריות בתופעה הזו – זה לא שלשליש יש איזו תכונה "רעה" ולשלושת-רבעי יש תכונה "טובה" מקרית. לא קשה להוכיח שבאופן כללי, הייצוג העשרוני של מספר רציונלי הוא סופי אם ורק אם המכנה שלו הוא מכפלה של מספר כלשהו של 2 ו-5 בלבד. למה דווקא 2 ו-5? כי אלו המחלקים הראשוניים של 10, שהוא המספר שבבסיס הספירה העשרונית. זה מעביר אותנו לפאנץ' הראשון: בבסיס ספירה אחר, למשל בבסיס ספירה עם 9 ספרות בלבד, המספר ¾ דווקא יהיה בעל ייצוג האינסופי …0.666, בעוד 1/3 יהיה בעל הייצוג הסופי 0.3 (אגב, אפשר גם להעיר שייצוג "סופי" כמו 0.3 הוא גם כן אינסופי, שהרי אחרי ה-3 מגיעות עוד אינסוף ספרות שכולן 0).

בשלב הזה קרוב לודאי שחלקכם כבר ממש מרוגזים עלי ומתכננים פוסט שישמיץ אותי. הרי בכל הדיון הזה על בסיסי ספירה אני מתעלם מנקודה עקרונית שאנג'יר דווקא כן הזכירה, ומבדילה מספרים רציונליים מאי-רציונליים: לא חשוב אם יש אינסוף ספרות או אין, חשוב אם אותן אינסוף ספרות הן מחזוריות או לא. ואנג'יר מדברת, שחור על גבי לבן, על כך שבמספרים אי רציונליים יש "עשרות ספרות חסרות מחזוריות". בכך היא צודקת לחלוטין – אפשר להוכיח (וזה גם לא קשה במיוחד) שמספר הוא רציונלי אם ורק אם הספרות שלו בפיתוח עשרוני (או פיתוח לפי כל בסיס ספירה אחר) הן מחזוריות החל ממקום מסויים. אבל למה, בעצם, שזה יהיה משנה מבחינת ה"אינסופיות" שלו?

ובכן, אנג'יר כמובן לא נותנת תשובה למהות ההבדל בין אינסוף מחזורי ואינסוף לא מחזורי, מה שלטעמי מעיד על רדידות המאמר שלה ומותיר לי רק את האפשרות של לנחש את הבעיה. אני מנחש שהתשובה הטבעית ביותר היא שאינסוף ספרות שהן מחזוריות אפשר לכתוב בצורה סופית. כך למשל …0.333 היא בעצם שיטת כתיבה סופית בהחלט למספר שליש: שלוש הנקודות אומרות "מכאן והלאה תחזור על התבנית שכבר ראית" (כדי להיות ממש מדוייקים, בכתיבה כללית של מספרים רציונליים שבהם ההתחלה יכולה לכלול חלק לא מחזורי נהוג למתוח קו מעל קבוצת הספרות הסופית שחוזרת על עצמה, אבל זה לא חשוב כרגע).

מה הקאץ'? שגם לשורש 2 קיים ייצוג מחזורי. לא ייצוג עשרוני, כמובן, אלא ייצוג בתור שבר משולב אינסופי. למי שמעוניין לקרוא על שברים משולבים יש לי שני פוסטים שמציגים אותם. כאן לא אכנס לפרטים הטכניים אלא אסתפק בשורה התחתונה: כל מספר ממשי אפשר לייצג על ידי שבר משולב אינסופי, כאשר בתכל'ס הקידוד הזה מבוצע על ידי סדרה של מספרים טבעיים. מספר הוא רציונלי אם ורק אם הסדרה הזו היא סופית; אבל זה לא אומר שלמספרים האי-רציונליים יש בהכרח שבר משולב לא מחזורי: תוצאה יפהפיה של לגראנז' (מתמטיקאי איטלקי-צרפתי בן המאה ה-18 – הרבה אחרי היוונים הקדמונים) מראה כי כל מספר אי רציונלי שהוא פתרון של משוואה ממעלה שניה במספרים רציונליים הוא בעל שבר משולב אינסופי מחזורי, וגם ההפך נכון (כל מספר בעל שבר משולב אינסופי מחזורי הוא פתרון של משוואה שכזו). בפרט שורש 2 הוא פתרון של משוואה שכזו – $latex x^2-2=0$ ולכן יש לו הצגה כשבר משולב מחזורי אינסופי, שמיוצג על ידי סדרה פשוטה למדי: …1,2,2,2. אגב, המספר שמיוצג על ידי הסדרה האינסופית-מחזורית הפשוטה ביותר שניתן להעלות על הדעת – …1,1,1,1 – הוא ידידם הטוב ביותר של סופרי המתמטיקה הפופולרית – יחס הזהב (האי-רציונלי למהדרין).

ייתכן שקשה לכם להסכים עם ההכנסה של שברים משולבים למשחק, בפרט אם מעולם לא נתקלתם בהם עד כה. אולי אתם לא מוכנים להכיר בהם בתור ייצוג חוקי בכלל. ובכן, אני מזמין אתכם לקרוא את הפוסטים בנושא ולהבין מדוע לטעמי הם ייצוג לגיטימי; למעשה, במובן מסויים שברים משולבים הם ייצוג יותר טוב ויותר נכון למספרים מאשר הייצוג העשרוני. למשל, גם ייצוג עשרוני וגם ייצוג על ידי שברים משולבים מגדירים בשורה התחתונה סדרה של קירובים רציונליים למספר המיוצג; ניתן להוכיח (ואני עושה זאת בפוסטים) שסדרת הקירובים שהשבר המשולב נותן היא הטובה ביותר האפשרית בעוד שזו של ייצוג עשרוני – לא.

אם כן, עלינו להחליט. האם ייצוג של משהו על ידי אינסוף ספרות הוא רע או טוב? אם אינסוף ספרות זה אוטומטית רע, הרציונליים בבעיה; אם אינסוף ספרות זה לא רע כל עוד הן מחזוריות, אז גם חלק מהאי-רציונליים הם במצב טוב, למשל שורש 2 שאנג'יר השתמשה בו כדוגמה. כדאי גם להעיר שאפילו חלק מהמספרים טרנסנדנטיים כמו e הם בעלי הצגות נחמדות כשברים משולבים: הסדרה שמתאימה ל-e היא …2,1,1,4,1,1,6,1,1 שאיננה מחזורית במובן הפשטני של המילה אבל בבירור היא מתוארת על ידי תבנית קצרה ופשוטה. זה מנוגד לחלוטין לתפיסה הרווחת של המספרים האי-רציונליים ככאלו שאין מנוס מלהציג אותם בצורה "מבולגנת", כפי שעשוי להתקבל הרושם כאשר מסתכלים על הייצוג העשרוני הרגיל של שורש 2, …1.41421356237.

מיותר לציין שבמאמר של אנג'יר כל זה לא מופיע ולו ברמז. קשה להתלונן על כך – זה הרי מאמר שטחי שנוקט בגישת "תפסת מרובה לא תפסת" ומנסה להציג כמה שיותר תחומים וגישות. הוא לא יכול להתעמק באף אחת מהן. מה שרציתי להראות בפוסט הזה הוא שחוסר ההתעמקות הזה מוביל לעתים קרובות לפספוס מוחלט של הפואנטה, להטעיית הקורא, וגרוע מכל – להמנעות מהצגת הדברים המגניבים באמת שנוגעים לתחום שעליו מדברים.

30 תגובות בנושא “למה לא רציונלי לדבר על לא רציונליים (באינסוף)”

  1. כמה שזכור לי, יש הבדל עקרוני מאד בין מספרים רציונליים לכאלו שאינם. הרציונליים מוגדים על ידי תורת הקבוצות, בצורה קרובה מאד למקובל (זוג סדור של מספרים טבעיים). אבל האי רציונליים מוגרים בצורה שונה, כחלוקה של קבות כל המספרים הרציונליים (דדקינד, כמדומה), וזה רחוק יותר מהמושג האינטואיטיבי. לא כך?

  2. לא מדויק. מה שאתה מתאר עם חתכי דדקינד הוא הבניה של המספרים הממשיים, שהם קבוצה גדולה למדי (תרתי משמע; היא לא בת מניה בעוד שהרציונליים כן). יש תת-קבוצות "נחמדות" של הממשיים שכוללות לא מעט אי רציונליים שהן כן בנות מניה ויש להן בניות יותר שפויות: כל הרחבה אלגברית סופית של הרציונליים, למשל (כדוגמת "הרציונליים יחד עם שורש 2" שאפשר להציג בתור חוג מנה של חוג פולינומים מעל הרציונליים). אפילו הסגור האלגברי של הרציונליים הוא עדיין קבוצה בת מניה. רק אם רוצים להכניס לתמונה שיקולי רציפות (ורוצים) צריך להשתמש בבניה של דדקינד או בבניה השקולה של קנטור.

    כך שלמתוח את הקו בין הרציונליים ובין, נאמר, שורש שתיים – זו טעות, ובדיוק הטעות שאני מעיר עליה בפוסט הזה.

  3. יש איזו נקודה פילוסופית עדינה שכל עניין ה"פיתוח העשרוני האינסופי" ששמעתי עליה מפרופ' ליאו קורי. בעקרון, יתכן שהמשפט "בפיתוח העשרוני האינסופי של פיי יש רצף של 50 אפסים" הוא בלתי כריע במערכת סטנדרטית כמו ZFC. אילו זה היה המצב, באיזה מובן הפיתוח הנ"ל קיים? לקח לי די הרבה זמן להבין למה הוא מתכוון, ואני לא יודע האם יש טעם לדבר במושגים כאלו על מספרים אלגבריים (לא רציונליים), אפילו לא על שורש 2 (כלומר, האם אפשר לנסח משפט לא כריע ביחס לפיתוח העשרוני של מספר כזה. לא פורמלי, אבל אני מקווה שברור למה הכוונה). עם זאת, אני חושב שיש פה איזה הבדל עדין. אפשר להבדיל בין "המספר" ל "פיתוח העשרוני של המספר", אבל זה עדיין גורם לי להרגיש שלא בנוח.

  4. לטעמי, אם המשפט "בפיתוח העשרוני האינסופי של פיי יש רצף של 50 אפסים" אינו כריע ב-ZFC זה לא מעיד על בעיה בפיתוח או בהנחה שהוא קיים, אלא על בעיה ב-ZFC.

    כדאי לזכור שיש טענות על המספרים הטבעיים שאינו כריעות ב-ZFC. זה לא אומר שהמספרים הטבעיים אינם קיימים (למרות שמי שרוצה לטעון שהם אינם קיימים – שיהיה לו לבריאות) אלא ש-ZFC סובלת מחולשות – ובהכללה – שהקונספט של הוכחה מתמטית פורמלית סובל מחולשות.

    כל זה לא ממש רלוונטי לדיון פה, לדעתי.

  5. זה לא ממש רלוונטי, זה פשוט נראה לי מעניין, אולי זה רק אני. בכל מקרה, כמובן שזה מצביע על בעיה ברעיון של הוכחה מתמטית, אבל השאלה היא באיזה מובן נוסף, חוץ מהוכחות מתמטיות, אתה יכול לדבר על סדרות אינסופיות לא מחזוריות? אני חושב שהמאמר המקורי מצביע על הבעייתיות שיש לאנשים להתמודד עם הרעיון של סדרות אינסופיות לא מחזוריות (אתה מתייחס לייצוג של e כשבר מחזורי, ואכן הבעיה היא לא עם אי מחזוריות אלא יותר עם "כללי ייצור מסובכים" (או העדר כללי ייצור ידועים)), אני חושב שפחות ופחות ברור לי כשעובר הזמן איך להתייחס לעניין של סדרות כלליות.

  6. אני לא בטוח למה הכוונה ב"לדבר". הנה, אנחנו מדברים. בנוגע לפאי גם יש אלגוריתמים שמסוגלים, בהינתן מספר טבעי n, להחזיר את הספרה במקום ה-n בפיתוח של פאי. גם במובן הזה אפשר לדבר על הפיתוח. למרבה הצער יש דברים שאולי אי אפשר *להוכיח* על הפיתוח, אבל נראה לי שהציפייה להיות מסוגל להוכיח תמיד "הכל" על אובייקט מסויים כבר עברה מן העולם לכל המאוחר עם קורט גדל.

    ואכן, כללי ייצור מסובכים הם לב העניין. צריך לזכור שדיונים על פאי או e הם נחמדים, אבל יש מספר לא בן מניה של ממשיים שאין לנו לא שם בשבילם וגם לא תיאור סופי כלשהו עבורם, ואנחנו בעצם לא יודעים עליהם שום כלום בריבוע (חוץ מהידע הכללי שיש לנו על האובייקט "שדה הממשיים").

  7. אני חייב להיות יותר ברור. כשאמרתי "לדבר" התכוונתי למשהו אחר לגמרי, "לקבל את הקיום". יכול להיות שזו פשוט הרתיעה שלי מתפיסה פלאטוניסטית של המתמטיקה, דבר שאף פעם לא הבנתי במה הוא מבוסס.

  8. אני לא חושב שזו גישה פלטוניסטית. הילברט לא היה פלטוניסט והגישה שלו הייתה קיצונית עוד יותר – מבחינתו, אם משהו לא מוביל לסתירה, הוא קיים (במילים אחרות, בעוד שהפלטוניסט עשוי לטעון שהיקום של תורת הקבוצות עם השערת הרצף קיים בעוד שהיקום של תורת הקבוצות בלעדיה לא קיים, הילברט יטען ששניהם קיימים אם שניהם עקביים).

    כמובן שלא חייבים לקבל את הקיום – כפי שאמרתי, מי שרוצה לטעון, למשל, שאין מספרים טבעיים, שיהיה לו לבריאות – אבל אני לא חושב שקשיי הוכחה של טענות על אובייקטים מורכבים הם מה שאמור לעורר בנו ספקות באשר לקיום.

    בכל הנוגע לסדרת הספרות של פאי, הסיבה שבגללה אני אישית חושב שהיא "קיימת" היא קיום של אלגוריתם שמחזיר את הספרות שלה לפי הצורך. זה לא אומר, כמובן, שאני חושב שקיום של אלגוריתם שכזה הוא תנאי הכרחי; רק שהוא מספיק בשבילי כדי שלא יהיו לי ספקות של ממש בנקודה הזו. אז נכון, יש דברים שאני לא מסוגל לדעת שנוגעים לפלטים של אותו אלגוריתם – אבל ביחס לבעיית העצירה ומשפט רייס זה נראה לי כמו כסף קטן.

  9. אני לא רואה למה שתהיה איתה בעיה אחרי גדל יותר מאשר יש בעיה עם פלטוניזם (וכאמור, מה שניסיתי לומר הוא שאלו שתי גישות שונות). אני גם לא בטוח למה אתה חושב שגדל מרסק אותה כל כך – בגלל שהוא מצביע על כך שלא נוכל להוכיח עקביות של מערכת אקסיומות מסויימת בעזרת מערכת חלשה ממנה? הרי בכל מקרה, גם אם הייתה לנו הוכחה כזו, לא היינו יכולים לסמוך עליה ב-100% כי לך תדע אם המערכת החלשה יותר לא מביאה לסתירות (מה שגדל כן ריסק הוא את התקווה של הילברט לחסל את הבעיה אחת ולתמיד על ידי כך שתימצא מערכת אקסיומות חלשה ספציפית שמבחינתו היה "ברור" שאין בה בעיות, וגדל הוכיח שאין לנו סיכוי למצוא כזו).

    עדיין, זה לא פוגע, לטעמי, באמון שאם משהו הוא נטול סתירות אז הוא קיים; זה רק פוגע (קשה) בתקווה שלנו להיות משוכנעים בודאות גדולה שמשהו ספציפי הוא נטול סתירות ולכן קיים (לדוגמה, תורת הקבוצות).

  10. מבחינת ההשפעה של גדל, הקושי שלי הוא לא עם העדר הוכחה לעקביות, אלא עם אי השלמות. אני מזהה עם קיום את היכולת להכריע דברים. כמובן, אפשר לטעון שפשוט כל המודלים האפשריים קיימים, אבל זה נראה לי בעייתי. בעצם זה אומר שלא "ZFC קיים וגם ZF+~C קיים", כי כל אחד מאלו הוא אוסף של המון מודלים ששונים זה מזה בהמון פרטים. זה יוצר פער שנראה לי גדול מדי בין התפיסה (מבחינת מה קיים) לעבודה (שהיא עם ZFC, או משהו דומה).

    אם אינני טועה, הילברט רצה לא רק מערכת שאפשר להוכיח את העקביות שלה, אלא כזו שאפשר להוכיח את השלמות שלה (זה לא היה העניין בבעיה השניה, אבל דומני שהוא דיבר על כך).

  11. לא ברור לי איך אפשר לזהות קיום עם היכולת להכריע דברים. היכולת להכריע דברים תלויה במערכת ההוכחה שלך. תשנה את מערכת ההוכחה – תוכל פתאום להכריע דברים שקודם לא יכלת להכריע, או שדברים שקודם יכלת להכריע פתאום יהיו לא כריעים. האם זה אומר שהאובייקט המתמטי הפסיק להתקיים?

    להגיד "ZFC קיים" זו טעות. ZFC היא לא אובייקט יחיד, היא מערכת אקסיומות. ייתכן שיש לה הרבה מודלים שונים זה מזה. למעשה, אי השלמות שלה מראה חד משמעית שאם בכלל יש לה מודלים, אז יש לה מודלים שונים זה מזה מהותית. אני לא רואה בזה בעיה – זה מראה שהעולם המתמטי עשיר ומגוון יותר ממה שמערכת פשוטה כמו ZFC מסוגלת לתפוס – אבל אכן מתחייב מכך שיהיו דברים שלא נוכל להוכיח. כאמור, זה לכשעצמו מעציב אבל לא גורם לשמיטת האמון שלי בקיום של אובייקטים מתמטיים.

    בוא אנסה להפנות אלייך שאלה – האם תוכל להצביע לי על אובייקט מתמטי שמבחינתך קיים, ולהסביר לי למה אתה חושב שהוא קיים?

    בנוגע להילברט, המטרה הייתה מערכת שהיא גם עקבית וגם שלמה (כדי שתתפוס את כל המתמטיקה), אבל שני הדברים ממילא קשורים כפי שמשפטי אי-השלמות של גדל מראים: המשפט השני, שמדבר על אי-היכולת של מערכות מסויימות להוכיח את העקביות של עצמן נובע מהמשפט הראשון, שמדבר על חוסר השלמות שלהן.

  12. הסיבה לזיהוי של קיום עם כריעות פשוטה, אני מניח שאם אובייקט קיים אז או שהוא מקיים תכונות או שלא. אני לא חושב שאפשר להגיד "היקום של תורת הקבוצות קיים" בלי לומר אם יש או אין בו קבוצה בין המניה לרצף. קשה לי להסביר למה זו תפיסתי את מושג הקיום, זה קרוב מדי למשמעות המלים עצמה, אז אני מקווה שאתה מבין למה אני מתכוון.

    כאשר כתבתי "ZFC קיים" התכוונתי למשהו דומה לכך שאתה כתבת "היקום של תורת הקבוצות עם השערת הרצף קיים". בלבול מיותר בין מערכת האקסיומות ל"יקום", אבל לזו כוונתי. לפי מה שאני מבין ממשפט גדל, אין משמעות של ממש ל"היקום של תורת הקבוצות עם השערת הרצף קיים", מכיוון שאם יקום כזה קיים אז קיימים הרבה יקומים כאלו, ולכל אחד תכונות מעט שונות. אתה הרי משתמש בה' הידיעה, אבל אתה לא יכול באמת לציין אחד מסוים מהם. זה מחזיר אותך לשלוש האפשרויות הקודמות:
    1) פורמליזם – כל הדיון הזה על "קיים" הוא קשקוש, תתעסק באקסיומות.
    2) פלאטוניזם – אחד מהיקומים האלו הוא האמיתי והוא קיים, אולי רק קשה לנו לזהות אותו.
    3) הילברט (כפי שאני מבין ממך) – כל היקומים (העקביים) הללו קיימים. אתה מוכיח דברים על כולם יחדיו, אבל לכל אחד מהם קיום.
    אף אחת מהגישות האלו לא נראית לי מושכת אינטלקטואלית, ואף אחת מהן לא ממש מתיישבת עם הצורה שבה אנחנו מתארים את הדברים. בפרט, השימוש בה' הידיעה מרמז לדעתי על תפיסה של יקום מסוים שקיים.

    ככל שעובר הזמן אני פחות ופחות בטוח שאני מקבל (פילוסופית) את קיומם של אובייקטים מתמטיים. כרגע אני חושב שאני מוכן לקבל את קיומם של מספרים טבעיים… (פילוסופית בלבד. אני עדיין נהנה מעיסוק ב abstract nonsense, כמו שמכנה זאת המנחה שלי בתואר השני). במידה רבה הסיבה שאני מוכן לקבל מספרים טבעיים היא דווקא העובדה שנראה שיש להם קיום בעולם. לא טיעון משכנע, אני די אובד עצות בהקשר זה. אולי כדאי שאעזוב את הסוגיה.

  13. אני מסכים – עם אובייקט קיים אז או שהוא מקיים תכונות או שלא. אני מתקשה לראות איך זה קשור ל*כריעות* של אותן תכונות. כריעות זה קסם – קסם מדהים, לא פחות, שבו באמצעות מניפולציה פורמלית של סדרה סופית של מחרוזות סופיות אנחנו מגיעים למסקנה (לא מוחלטת, כמובן; תלוי באמונה שלנו באקסיומות) לגבי תכונה זו או אחרת. איך זה שהקסם הזה לא תמיד מתרחש קשורה לכך שהאובייקט מקיים את התכונה או לא?

    נותנים לך תוכנית מחשב. או שהתוכנית עוצרת תמיד, או שלא. האם אתה אומר שבגלל שאין לך מושג איך לקבוע אם התוכנית עוצרת או לא, אז היא לא זה ולא זה? זו גישה לגיטימית אבל לטעמי מוזרה.

    עכשיו, אם אתה בקושי מקבל את קיומם של מספרים טבעיים, מה באשר לאובייקטים לא מתמטיים? האם אטומים קיימים? הרי ודאי יש טענות על אטומים שלא נוכל להכריע… והאם הפירמידות קיימות? הרי לא ברור אם אפשר להכריע את הטענה "הפירמידות נבנו על ידי חייזרים". האם זה פוגם בקיום שלהן? אלו כמובן דוגמאות מוקצנות אבל אתה מבין את כוונתי.

    לגבי ZFC וכל היתר, אני חושב שאתה מפספס את זה שגישה 3 רווחת *מאוד* במתמטיקה בהקשרים מסויימים. הנה אחד מהם – תורת החבורות. בתורת החבורות יש לך תורה בת 4 אקסיומות שהיא בעליל לא שלמה ויש לה אינספור מודלים מכל הסוגים והמינים. כשאנחנו מוכיחים דברים בתורת החבורות אנחנו מוכיחים אותם על כל המודלים הללו גם יחד. זה לא דבר רע; זה דבר נפלא. האבסטרקציה הזו היא הדבר הכי נפלא במתמטיקה, כנראה. הבעיה צצה רק כשמנסים לעשות את ההפך מאבסטרקציה – לצמצם את הדיבור הפורמלי שלנו כך שיתפוס בדיוק אובייקט אחד ספציפי. זה אכן קשה, אבל אני לא חושב שזה מוציא את הטעם מהמתמטיקה…

  14. אני מבולבל. הכנסת תוכניות מחשב לא ממש עוזרת לי להבין מה קורה. נניח שיש לנו תכונה שקל לבדוק של טבעיים, אך שקיומה לכל המספרים הוא בלתי כריע. נבנה תוכנית שרצה על המספרים ובודקת את קיום התכונה, ואז עוצרת אם היא מוצאת מספר שאינו מקיים את התכונה. ברור שאם מערכת האקסיומות עקבית אז התכנית לא עוצרת, וזה רק מבלבל אותי יותר.

    לגבי תכונות שלא ניתן לבדוק, זה כמובן נכון. יותר מזה, אפשר מן הסתם לנסח כל טענה כתכונה של כל דבר. אני מניח שאני מבצע איזו הבחנה בין תכונות "פנימיות" ל"חיצוניות", אבל אני לא יכול להבהיר לעצמי את ההבדל, אז לא אנסה להבהיר לאחרים.

    לגבי תורת החבורות, זה תמיד נראה לי כהבדל בין השקפה על אובייקטים ל"יקום המתמטי". ברור שמבחינה טכנית אין כל הבדל, אבל יצרתי איזו הפרדה בתפיסה שלי, וזה לא נראה אותו הדבר.

    בכל מקרה, נראה לי שאעזוב את הנושא לעת עתה, אני רק מוסיף ומתבלבל ולא נראה שאני מצליח להדביק אותך בבלבול שלי.

  15. תכל'ס אפשר גם להגיש פאי תפוחים בשעה 1:59 ו- ((פי פחות 3.14159) כפול 10,000,000) שניות. לא צריך לעגל בשביל זה.

  16. הבעיה בשברים המשולבים היא שקשה לעשות עליהם חיבור וכפל. (לא שאני לא אוהב אותם, גם לדעתי הם מגניבים)

  17. זה כמובן נכון, אבל למיטב הבנתי כבר יש אלגוריתם (של Gosper) שמאפשר אריתמטיקה מדויקת יעילה גם עם שברים משולבים.

  18. תודה על הפוסט גדי, פעם בתיכון שאלו אותנו מה ההגדרה של מספר ראציונאלי ואני כתבתי כמו רוב האנשים "מספר שניתן ליצוג על ידי מספר סופי של ספרות".
    כשאמרו לי שזה לא נכון והזכירו לי את שליש למשל ישר חשבתי "כן! אבל שליש הוא עם הצגה מחזורית!". הפוסט הזה מראה שבאמת מחזורי או לא מחזורי זה לא הקריטריון הנכון להבדיל בין רציונאלי ללא-רצינאלי

  19. כפי שנאמר בפוסט: "כל מספר אי רציונלי שהוא פתרון של משוואה ממעלה שניה במספרים רציונליים הוא בעל שבר משולב אינסופי מחזורי, וגם ההפך נכון (כל מספר בעל שבר משולב אינסופי מחזורי הוא פתרון של משוואה שכזו). "

    מכיוון שיש מספרים אלגברים שאינם פתרון של משוואה ממעלה שניה במספרים רציונליים (למשל, השורש השלישי של 2) לא כל מספר אלגברי ניתן להצגה מחזורית כשבר משולב.

  20. "מספר הוא רציונלי אם ורק אם הספרות שלו בפיתוח עשרוני (או פיתוח לפי כל בסיס ספירה אחר) הן מחזוריות"
    התכוונת הספרות שלו ממקום מסויים הן מחזוריות. נכון?

  21. גדי שלום,
    אשמח אם תוכל להסביר לי משהו לגבי האלכסון של קנטור.
    מדוע אי אפשר להתאים את הזוגות באופן הבא:
    1 0.1
    2 0.2
    3 0.3
    ….
    9 0.9
    10 0.01
    11 0.11
    12 0.21

    20 0.02
    21 0.12

    30 0.03

    100 0.001
    101 0.101
    102 0.201
    103 0.103

    12456 0.65421
    ….

  22. אם הבנתי את ההתאמה שלך, אתה מצליח ללכוד כך רק מספרים עם פיתוח עשרוני סופי (או ליתר דיוק – אינסופי שנגמר בסדרת אפסים אינסופית). רובם המכריע של המספרים הממשיים אינם כאלו (למשל, את שורש 2 לא תתפוס כך).

  23. לכל מספר עם אינסוף ספרות מימין לנקודה שאינו חוזר על עצמו, יש להתאים מספר עם אותן אינסוף ספרות משמאל לנקודה בסדר הפוך.
    (העקרון הוא היפוך הספרות).

    אלא שאולי צריך להסביר שמכיוון שאנחנו מחפשים סדרה בת מניה, במקרה של אינסוף מספרים עם אינסוף ספרות לא נוכל לסדר אותם ברצף (כמו המספרים שבין 0 ל-1). ולכן היא לא בת מניה, שהרי במניה לעולם לא נגיע לכל המספרים.
    זאת בניגוד לסידור המספרים הטבעיים אין לנו אף מספר בעל אינסוף ספרות, אלא אנחנו רק שואפים ומתקרבים למספר כזה בעל אינסוף ספרות. וזאת על ידי רצף של מספרים עוקבים עם כלל מסוים שמסדר אותם ברצף זה.
    ואם כן ההוכחה היא אינטואיטיבית וברורה, אך לא ברור לי ההוכחה המתמטית.

  24. e מוצג כשבר משולב? למיטב ידיעתי הוא מוצג כסכום של סידרת ההופכיים של פונקציית העצרת על המספרים הטבעיים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *