טורי פורייה – מה זה בכלל?

מתמטיקאים אוהבים לפרק דברים לגורמים. כל מספר טבעי קל יותר להבין אם מפרקים אותו למכפלה של ראשוניים. גם עם פונקציות ממשיות זה עובד כך – אחד מהדברים האהובים על מתמטיקאים הוא לקחת פונקציה ממשית $latex f\left(x\right)$ ולכתוב אותה בתור טור חזקות: $latex f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$. בצורה הזו הפונקציה נכתבת כסכום אינסופי של פונקציות פשוטות במיוחד – $latex …

פוסט של בעיית ההתאמה של פוסט

"בעיית ההתאמה של פוסט" – Post Correspondence Problem, ובקיצור PCP – היא בעיה נחמדה במדעי המחשב שנקראת על שם אמיל פוסט, אחד מחלוצי מדעי המחשב (ואינה קשורה לדואר, כמו שחשבתי הרבה זמן) שתיאר אותה ב-1946. מה שנחמד בבעיה הזו הוא שהיא בלתי פתירה, דהיינו לא קיים אלגוריתם שיודע לפתור אותה; זה נשמע כמו חסרון, אבל …

על גבולות עליונים ותחתונים של קבוצות וממשיים

אחד הדברים הנחמדים במתמטיקה הוא שאם אנחנו נתקלים באותו מושג בשני הקשרים שונים, יש סיכוי טוב שיש מושג כללי יותר שעומד מאחורי שניהם ומסביר אותם. זו חוויה שבוודאי מוכרת מאוד לסטודנטים במתמטיקה; אני עצמי זוכר סמסטר אחד שלי שבו בכל קורס הופיעו טורי פורייה בצורה זו או אחרת. הפעם אני רוצה לדבר על מושג כזה …

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'

אני רוצה לדבר על אחת מהתוצאות הנחמדות ביותר (לטעמי) בתורת המספרים האלמנטרית – משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'. בפשטות, המשפט אומר שאפשר להציג כל מספר טבעי בתור סכום של ארבעה ריבועים של מספרים טבעיים (כש-0 נחשב למספר טבעי). הנה דוגמאות עבור המספרים הטבעיים מ-1 עד 7: $latex 1=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$ $latex 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}$ $latex 3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}$ $latex 4=2^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$ $latex …

פרוייקט "התלמיד והמחשב", בעיה 25

סוף סוף הגענו אל בעיה עם בשר אמיתי, וכזו שתיתן לנו תירוץ להזכיר קצת מתמטיקה, ברמה יותר גבוהה מזו שהוזכרה בספר. נתחיל מהבעיה עצמה, שהיא פשוטה למדי לניסוח ולמרבה הצער, מנוסחת בלשון צבאית: בפלוגה כלשהי יש לנו 100 חיילים. מהם חלק הם טוראים, חלק הם סמלים וחלק הם קצינים. משכורתו של טוראי היא 1 ש"ח, …