שני דברים מתפלגים אחיד: ראשוניים וטעויות בעיתונים (ואני לא בטוח בקשר לראשוניים)

 

לא מזמן עלתה לכותרות בעיתונות תוצאה מתמטית חדשה שעוסקת במספרים ראשוניים. זה די הפתיע אותי כי התוצאה היא אמנם מעניינת, אבל למה שתעניין במיוחד אנשים שאינם מתעניינים במתמטיקה? אולי בגלל האופי שלה, שנראה על פניו "אמפירי" משהו; אולי בגלל שיש איזו הילה קסומה למספרים ראשוניים; ואולי פשוט בגלל שמישהו במחלקת יחסי הציבור הרלוונטית עשה את עבודתו ממש, ממש טוב. לא תכננתי לכתוב פוסט על התגלית הזו כי אני לא ממש חזק בתחום ולא יכול להסביר ברצינות מה הולך שם, אבל עכשיו שזה התחיל לחלחל גם אלינו לארץ. וכשאני אומר "לארץ" אני מתכוון לעיתון "הארץ" שפרסם כתבה בנושא. וכרגיל, מעניין אותי להתייחס לשגיאות המזעזעות שיש שם (שגיאות שמזכירות לי את המאמר השגוי לגמרי ההוא על אלגוריתם AKS לבדיקת ראשוניות שפורסם ב"הארץ" לפני שנים רבות וכבר קטלתי בבלוג) ובכלל לאופן המוזר שבו מסקרים תגלית כזו.

אתחיל בתיאור מאוד שטחי של מה בעצם התגלית. למי שרוצה לראות את המאמר עצמו, הנה הוא. בשתי מילים, התגלית היא שהמספרים הראשוניים מתפלגים בצורה פחות אקראית ממה שהיינו מצפים לה. בכמה תיאורים עיתונאיים מוצגת טענה שגויה לפיה הראשוניים מתפלגים בצורה אקראית לגמרי – אבל מה זה אומר, בכלל? הראשוניים פשוט קיימים שם. אין "הגרלה" שהם מעורבים בה. ברור שכשמתמטיקאי מדבר על התפלגות של ראשוניים הוא מתייחס לזה בצורה יותר טכנית משנדמה במבט ראשון. במאמר ב"הארץ" נאמר ש-"עד כה לא נמצאה תבנית ייחודית שתאפיין מתי מופיעים מספרים ראשוניים בסדר המספרים הכללי, לכן הם נחשבים אקראיים", כש"אקראיים" פה פירושו "בהתפלגות אחידה" – אבל טענה כזו היא כמובן מופרכת. זה שאנחנו לא יודעים על נוסחה נחמדה שתתאר סדרה כלשהי לא אומר שאברי הסדרה הם אקראיים.

עדיין, כשמתמטיקאים אומרים שהראשוניים "נראים אקראיים" הם מתכוונים למשהו. רק שה"משהו" הזה הוא די טכני. הם אומרים – נניח שנגריל מספרים בין 1 ל-$latex n$, בהתפלגות דומה לזו שאנחנו יודעים שהמספרים הראשוניים מופיעים בה – התכונות של הסדרה האקראיית שנגריל כך יהיו דומות לתכונות של סדרת הראשוניים. ההסתייגויות פה הן קריטיות – לא כל התכונות יעבדו (למשל, בסדרה אקראית נצפה שבערך חצי מהמספרים יסתיימו בספרה זוגית, ובסדרת הראשוניים כמובן שלא) וה"דמיון" שמדובר עליו לא אומר שתהיה זהות מוחלטת בתכונות שכן עובדות. אבל הדמיון הזה מספיק מועיל עבור תכונות מסויימות כדי שנוכל להשתמש בו. רוצים דוגמאות? זה יאלץ לחכות לזמן אחר, שבו אכיר טוב יותר את התחום הזה בעצמי ואזכור את הפרטים הטכניים של הדברים שאני מדבר עליהם כרגע במעורפל.

מה שהמאמר מדבר עליו מתעסק בדיוק עם תכונת "הספרה האחרונה" שהזכרתי כרגע, אז בואו נחדד את זה: אם מספר טבעי מסתיים בספרה זוגית, הוא מתחלק ב-2, ולכן אם הוא לא 2, הוא לא ראשוני. אם הוא מסתיים ב-5 הוא מתחלק ב-5 וזה אותו סיפור. לכן הספרות היחידות שבהן מספר ראשוני גדול מ-5 יכול להסתיים בהן הן 1,3,7,9. עכשיו, אם הראשוניים הם "כאילו-אקראיים" ביחס לתכונה הזו, היינו מצפים שאם ניקח, למשל, את 100,000 הראשוניים הראשונים, כמות הראשוניים שמסתיימת בכל אחת מהספרות הללו תהיה כמעט 25,000, כלומר הראשוניים מתפלגים בצורה אחידה בין ארבע המחלקות הללו. באופן דומה המתמטיקאים מתעסקים לא רק בבסיס 10 אלא בכל בסיס ספירה: למשל, בבסיס 4 הספרות היחידות שבהן המספר הראשוני יכול להסתיים רק ב-1 וב-3, ואז אנחנו מצפים להתפלגות של חצי-חצי בין האפשרויות הללו.

וכאן הסיפור קצת מסתבך. כי קיים משפט יפהפה של דיריכלה שכתבתי עליו פוסט בשעתו שאומר שבמובן מסויים, ההתפלגות בין המחלקות האפשריות היא אחידה (עבור כל בסיס ספירה, לא רק 10 או 4), אבל המובן המסויים הזה אינו אקראי לגמרי. למשל, יש תופעה שצ'בישב הצביע עליה לפיה בבסיס 4 לאחת המחלקות יש "יתרון" על פני השניה – אם עוצרים וסופרים כמה ראשוניים יש בכל מחלקה, נגלה ברוב המוחץ של המקרים שיש יותר ראשוניים שמסתיימים ב-3 מאשר ב-1. אם הראשוניים היו אקראיים לגמרי לא היינו מצפים לראות תופעה כזו.

המאמר החדש מדבר על תופעה דומה מאוד לזו של צ'בישב, רק עבור זוגות סמוכים של ראשוניים (או סדרות ארוכות יותר של ראשוניים רצופים, אבל קל להבין את זה עבור זוגות). למשל, בבסיס 3, הספרות האחרונות האפשריות הן 1 ו-2; אם עוברים על מיליון הראשוניים הראשונים ומנסים לספור את מספר הראשוניים שהספרה האחרונה שלהם היא 1 וגם הספרה האחרונה של הראשוני הבא בתור אחריהם היא 1, מקבלים שהמספר הזה הוא 215,873; ואפשר בדומה לערוך חישוב גם עבור שלוש האפשרויות הנותרות של "הספרה האחרונה שלי היא 1 ושל הבא אחרי היא 2" ושל "שלי 2, של הבא בתור 1" ושל "שלי 2, של הבא בתור 2". מקבלים שהמקרים שבהם הספרה של הבא בתור שונה מזו של הנוכחית הם רבים בצורה משמעותית יותר מאשר מקרים שבהם היא שווה.

מה שיפה מבחינתי כאן הוא שההטייה הזו התגלתה באופן אמפירי. באים המתמטיקאים, מריצים סימולציות מחשב (או סופרים בעצמם!) ומגלים תבניות מאוד לא אקראיות. זה האופן שבו נתגלו גם תוצאות יפות אחרות במתמטיקה (הדוגמה המפורסמת ביותר היא ככל הנראה משפט המספרים הראשוניים שלא אסביר כרגע מה הוא אומר אבל הוא נותן תיאור טוב של התפלגות הראשוניים, גם אם זו לא נוסחה מדוייקת). יש תפיסה כלשהי לפיה המתמטיקה היא באופן מוחלט לא תחום אמפירי, וזה כמובן לא נכון כפי שהדוגמה הזו מראה, אז אני שמח מאוד על כך שהיא עלתה לכותרות והציגה בכך צד פחות מוכר של העיסוק המתמטי. הרבה פעמים כך מתבצע מחקר: יוצאים למסע בג'ונגל, מוצאים תגליות, ורק אחר כך מתיישבים להוכיח ולהסביר אותן באופן מסודר.

האם המאמר עושה את זה? מתיישב ומסביר ומוכיח באופן מסודר? ובכן, כן, וזה הקטע שבו אני לא יכול לסייע לכם (ובגללו לא רציתי לכתוב פוסט על הנושא מלכתחילה) – הם נכנסים לתורת המספרים האנליטית ברמה גבוהה מזו שאני מסוגל להיכנס אליה כרגע. התוצאה שלהם היא סדרה של השערות לגבי האופי המדוייק של התפלגות הראשוניים במחלקות מהצורה שתוארה לעיל (אבל הרבה יותר כללית: לא רק בסיס 4 אלא כל בסיס; ולא רק זוגות של ראשוניים אלא כל סדרה) והסבר שהם קוראים לו "היוריסטי" לגבי התוצאה שלהם במקרה שבו מדובר על זוגות של ראשוניים, שמתבסס על השערות קיימות בתורת המספרים (השערות הארדי-ליטלווד). כמה ממה שהם עושים הוא ממש הוכחה מתמטית פורמלית וכמה הוא רק נפנוף ידיים? אני לא יודע. המאמר עדיין לא פורסם בכתב עת מתמטי שעבר ביקורת עמיתים ואני לא באמת יודע מה הערך של תוכנו מעבר לאבחנה האמפירית שלו; הסיבה שהוא מעניין אותי היא שהוא עלה לכותרות (וכאמור, אני לא ממש מבין למה הוא מעניין את הכותרות).

ועכשיו בואו נדבר על המאמר ב"הארץ".

מכיוון שאני הולך להיות לא מנומס בהמשך, אני רוצה להבהיר מראש: זה ממש טוב בעיני ש"הארץ" טרחו לתת במה לתגלית הזו, ושהם נותנים במה באופן כללי לתגליות מתמטיות ומדעיות. שאר העיתונים לא עשו את זה (עד כמה שאני רואה). זה אומר ששאר העיתונים גרועים הרבה יותר מבחינתי. הרבה יותר קל לא לפרסם מאמר על נושא מדעי ובכך לחמוק מהכתישה הבלתי נמנעת של כמה המאמר הזה כתוב גרוע, אבל זה לא הופך את העיתון שמתחמק מזה לטוב יותר – העובדה שהם בכלל לא ניגשים לנושאים הללו הופכת אותם לגרועים יותר. לכן קחו את הדברים הרעים שאגיד בהמשך בחיבה ותזכרו ששאר העיתונים פה הרבה יותר מביכים.

משאמרתי את זה, המאמר ב"הארץ" הוא אסון. ואני לא מאשים את הכותבת שלו אלא בעיקר את העורך. הוא מתחיל בתיאור של מהם ראשוניים ומהי התגלית האמפירית של החוקרים, וזה בסדר גמור. יש את הציטוט על האקראיות שהערתי עליו למעלה, ומן הסתם המאמר לא נכנס לפרטים של מה בדיוק החוקרים אומרים, אבל אני מניח שכבר שכנעתי אתכם שזה קשה לעשות את זה. אם המאמר היה נגמר כאן כמעט ולא היה לי על מה להתלונן. אבל הבעיה היא שהמאמר ממשיך, וממשיך באופן בלתי קשור בעליל – הוא עובר לדבר על קריפטוגרפיה. שני שליש מהמאמר מדברים על קריפטוגרפיה. זה מאוד דומה למה שקרה במאמר ההוא על AKS שהזכרתי קודם, ואני גם מבין בדיוק למה זה קורה: זה בגלל שראשוניים, כמו רוב המתמטיקה ה"גבוהה", הם נושא שלא קשור לחיים שלנו בשום צורה, מלבד צורה אחת שהיא מאוד מאוד מפורסמת – בקריפטוגרפיה משתמשים בתורת המספרים, ואפילו בחלקים מאוד לא טריוויאליים מתורת המספרים. בפרט, אם תשאלו מתמטיקאי "איפה לכל הרוחות משתמשים בעולם האמיתי במספרים הראשוניים הארורים שלך?!" הוא כנראה ייבהל ויצעק "הצפנה! הצפנה!".

אני לא יודע מה היו חילופי הדברים בין העורך של המאמר ובין הכותבת שלו, אבל אני מנחש שהם היו איזומורפיים לדיאלוג הזה.

אז המאמר עובר לדבר במשך כמה פסקאות על אלגוריתם RSA, שהוא אלגוריתם הצפנה חשוב ומפורסם ושימושי במיוחד, שאכן משתמש במידה זו או אחרת במספרים ראשוניים. לסקרנים, הנה ההתחלה של סדרת פוסטים שבה מתארים גם את RSA והנה פוסט שמדבר ספציפית על הפרטים הטכניים של האלגוריתם הבסיסי. בעיתון ניסו לעשות את אותו הדבר, אבל זה לא יוצא טוב במיוחד – למשל, פעולת העלאה בחזקה נכתבת שם כמו כפל. זה לכשעצמו לא כל כך נורא – הרי מי שבאמת צריך את הפרטים הטכניים לא ילמד אותם מעיתון – אבל אני חייב להודות שאני תוהה למה להיכנס לנוסחאות הללו מלכתחילה והאם לא היה ניתן לכתוב הסבר אינטואיטיבי יותר שכנראה פחות יהרוג את הקוראים.

הבעיה האמיתית מגיעה בפאנץ', שבו מנסים לקשור את התגלית החדשה לאלגוריתם כמו RSA ונכשלים בצורה קולוסלית. וזה לא כי הכותבת מפספסת משהו, אלא פשוט כי אין שום קשר.

הרעיון ב-RSA הוא כזה: על מנת להפעיל את האלגוריתם, צריך קודם כל לבצע עבודת הכנה. עבודת ההכנה הזו כוללת הגרלה של שני מספרים ראשוניים גדולים ("גדולים" פירושו "בני מאות ספרות"), ובניית מספר חדש שהוא המכפלה שלהם. במספר הזה נעזרים בהמשך במהלך ההצפנה. הבטיחות של השיטה נובעת מכך שגם אם יש לנו את המספר הזה ואנחנו יודעים שהוא מכפלה של שני ראשוניים, קשה מאוד לפרק אותו לשני הראשוניים הללו. כדי להצפין מספיק לדעת את המספר הזה (ועוד מספר אקראי שגם הוא חלק מהמערכת אבל נעזוב את זה); אבל כדי לפענח צריך להכיר את הראשוניים שמרכיבים את המספר (או ליתר דיוק, להכיר מספר אחר שחושב באמצעות ההיכרות עם הראשוניים, אבל נעזוב גם את זה).

איך מגרילים את הראשוניים הגדולים הללו שאיתם בונים את המערכת? יש לי פוסט על זה. השורה התחתונה היא שמספיק להגריל המון מספרים גדולים ואז לחפש אם יש ביניהם ראשוניים, בעזרת אלגוריתם שבודק אם מספר הוא ראשוני. כל זה היה ידוע כבר לפני עשרות שנים. אין לתגלית החדשה שום קשר או רלוונטיות לכל העניין הזה. אם כן, מה אומר המאמר ב"הארץ"?

הוא אומר:

אם יתברר שהחוקרים מאוניברסיטת סטנפורד אכן מצאו דפוס מסוים המפחית את האקראיות בסדר הופעתם של מספרים ראשוניים, ייתכן שהדבר עשוי להקל את מציאתם של מספרים חדשים כאלה. תיאורטית זה עשוי להקל גם את זיהוי הגורמים המרכיבים את N ואת פיצוח הצפנים. עם זאת, מכיוון ששיטת RSA מבוססת על מכפלה של מספרים ראשוניים מוכרים היטב, לא נראה שבשלב הראשוני הגילוי החדש – גם אם הוא נכון – מסכן ישירות את המידע המוצפן שלנו, ולפחות לעת עתה אפשר להמשיך לעשות קניות באינטרנט.

שימו לב עד כמה הכתיבה הזו מתפתלת. אני מנחש שהכותבת מבינה שאין שום קשר, אבל העורך מכריח אותה לדחוף את זה פנימה. מה זאת אומרת "ייתכן שהדבר עשוי להקל את מציאתם של מספרים חדשים כאלה"? למה בכלל צריך להקל? זה הדבר הכי קל בעולם! המחשבים שלנו עושים את זה בחלקיקי שניה! אין שום צורך "להקל" על המלאכה הזו! ומה זה ה"ייתכן" וה"תיאורטית" הללו? רוצים לטעון טענה, תטענו. כאן הטענה כל כך מנותקת מהמציאות שה"ייתכן" נראה כמו נסיון לגבות אמירה של שום דבר ב"היי, לא אמרנו שזה בודאות ככה, רק שזה "ייתכן". תסלחו לי, אני ממש לא אוהב את הלהטוטנות המילולית הזו.

אז בואו אגיד את זה במפורש: אין לנו שום סיבה לחשוב שהדפוס הזה יקל בצורה משמעותית כלשהי על בעיית הפירוק לגורמים של N. אין לנו שום סיבה לחשוב שהדפוס הזה יקל בצורה משמעותית כלשהי על מציאת ראשוניים (וזו, כאמור, ממילא לא בעיה שצריך להקל עליה). וגם אם מחר יפרצו את RSA יש עוד שיטות שיאפשרו לנו להמשיך לעשות קניות באינטרנט. כל הנושא הזה של קריפטוגרפיה הוא לחלוטין לא רלוונטי לתגלית הנוכחית. כמובן, ייתכן שבעתיד, באופן תיאורטי יימצא קשר שכזה ואז אשמח לאכול את הכובע ולכתוב פוסט נלהב בנושא – אבל אין לנו שום סיבה לחשוב שזה יקרה יותר מאשר יש לנו סיבה לחשוב שהתגלית החדשה תתגלה כרלוונטית לביצוע היתוך גרעיני קר או מציאת תורת שדות מאוחדת או למציאת הוכחה נפלאה עבור המשפט האחרון של פרמה.

ועוד נטפוק לסיום: מה זאת אומרת "RSA מבוססת על מכפלה של מספרים ראשוניים מוכרים היטב"? זה בדיוק מה ש-RSA אינה מבוססת עליו. כל הרעיון בבניית מערכת RSA הוא להגריל ראשוניים לא מוכרים כשבונים את המערכת. אם היו משתמשים בראשוניים מתוך איזו רשימה, היה קל מאוד לפרוץ את RSA: בהינתן N, היינו עוברים על הראשוניים ברשימה ובודקים אם מישהו מביניהם מחלק את N ובכך היה נגמר הסיפור. אני פשוט לא מצליח להבין את כל ה"עם זאת" הזה.

בעצם כן, אני כן חושב שאני מבין. זה מרגיש לי בדיוק כמו סוג הדברים שכותבים על משהו כשברור לנו שאין לנו מה לכתוב אבל אנחנו חייבים לכתוב משהו. וכשזה על מתמטיקה התוצאה תהיה דברים שמייד רואים שאינם נכונים, אבל מי יודע, אולי יש תחומים שבהם אפשר לכתוב ולכתוב ולכתוב…?

https://xkcd.com/451/
https://xkcd.com/451

23 תגובות בנושא “שני דברים מתפלגים אחיד: ראשוניים וטעויות בעיתונים (ואני לא בטוח בקשר לראשוניים)”

  1. אני חושב שהקישור למאמר הקודם בהארץ מראה את השטות שלהם הפעם. גם אז אמרו שאולי זה יאפשר פיצוח של הצפנות ולא נראה שזה באמת שינה משהו מהותית. באמת מעצבן הקישור המיידי של מספרים ראשונים להצפנה כל פעם שמדברים עליהם. לא יודע אם יש עוד שימושים מעשיים נפוצים למספרים ראשונים אבל מה רע לדווח על גילוי מדעי טהור? תמיד בכח מנסים למצוא לכל תגלית משמעות מעשית והם מפספסים חלק ניכר מהיופי שבעשייה מדעית.

  2. בתור הדיוט שמחבב את התחום, ברור לי שלנסות להלביש שימוש למשהו שהוא בגדר השערה מתמטית זה קצת מיותר. בכל אופן, אולי הכתבת הייתה יכולה "לחבר" את הכתבה למציאות (שוב פעם, עיתון לקהל הרחב) בעזרת ציון העובדה שקיים שימוש נרחב במספרים ראשוניים בהצפנות, במקום להתחיל לפרש ולחזות את העתיד בצורה חסרת בסיס. לא יודע אם יש צורך אמיתי להסביר שתורת המספרים זה בכל מקרה תחום שלרוב הגילויים בו לא משמעותיים באופן מיידי (ובכלל הרבה מהגילויים המתמטיים, למרות שבסופו של דבר כנראה שזה התחום שהכי הרבה ידע משמעותי מתבסס עליו), כי אז כנראה זה פחות יעניין את הקוראים, אבל מכאן ועד לעוות את המציאות יש מרחק מסויים. דרך אגב, תודה על הבלוג המעולה שלך!

  3. "גם אם מחר יפרצו את RSA יש עוד שיטות שיאפשרו לנו להמשיך לעשות קניות באינטרנט."

    לא מדויק. אם מחר יפרצו את RSA, יוכלו לחזור לתקשורת ששמרו מהיום, לפענח אותה בדיעבד, ולגנוב לנו את כרטיס האשראי. גם יקח הרבה זמן עד שכל המשתמשים יחליפו את המערכות שלהם לכאלה שלא משתמשות ב- RSA (אלא אם תהיה התראה ממש ארוכה ש- RSA מתחיל להראות סימנים של חולשה).

    מצד שני, הצפנה טובה לא שקולה לאבטחת מידע טובה. בדיוק כמו שהיום יש בעיות אבטחת מידע רבות שלא מונעות מאיתנו לעשות קניות באינטרנט, סוגים מסוימים של בעיות ב- RSA ימשיכו לא למנוע את זה מאיתנו.

  4. לא הבנתי מה לא מדויק. אתה טוען שאם מחר יפרצו את RSA אין עוד שיטות שיאפשרו לנו להמשיך לעשות קניות באינטרנט?

    כן, אם יפרצו את RSA זה יגרום למהומה. זה לא יחריב את הקונספט של קניות באינטרנט.

  5. אני טוען:
    1. אם מחר יפרצו את RSA, יגרם נזק (מוגבל) שמעבר לשיטות אחרות כבר לא יוכל למנוע בדיעבד.
    2. אם מחר יפרצו את RSA, ללא התראה מספקת, תהיה תקופה שבה הקיום של שיטות אחרות לא יעזור לרוב האנשים, כי יקח להם זמן לעבור אליהן.
    3. יש סוגים של בעיות אפשריות ב- RSA, שלגילויין תהיה השפעה מאוד מוגבלת (מבחינה טכנית; את ההשפעה התקשורתית-פסיכולוגית קשה לנבא) על אבטחת המידע, מאחר שהן יסירו בפני תוקפים פוטנציאליים מחסומים שממילא ניתן לעקוף היום בדרכים אחרות.
    4. גם הסרה של מחסומי תקיפה שכן קיימים (וגם ללא הצבתם מחדש בעזרת שיטות חלופיות) לא בהכרח תחריב את הקונספט של קניות באינטרנט, כפי שמעידות בעיות האבטחה שכבר קיימות היום.

  6. סיכום מעולה, אבל שני הערות קטנות בנוגע למתמטיקה:

    א) זה קצת חוטא לאמת להגיד שהתופעה שנמצאה "מאוד דומה" לתופעה של צ'בישב – הן למעשה תופעות שונות מאוד באופיין. בתופעת צ'בישב מודולו 4, אם תסתכל על 2N הראשוניים הראשונים, כמות ה-1 וה-3ים תראה בדרך כלל כמו תוצאה סבירה למדי של הטלת מטבע הוגן. הדבר המפתיע קורה כשמסתכלים על הרבה ערכים שונים של N, ברוב גדול של המקרים הסדרה תהיה מוטה לטובת ה-3ים – למרות שההטייה תמיד תהיה קטנה, מסדר גודל של ההטייה בהטלת מטבע הוגן. לעומת זאת, את התופעה החדשה ניתן לראות גם בהתבוננות ב-N בודד כלשהו, והיא מתאפיינת בכך שההטיות עצמן גדולות בהרבה מהמצופה.

    ב) זה גם, למצער, לא מאוד מדויק להגיד שהתופעה הזו התגלתה אמפירית – אם כי הניסויים האמפיריים בוודאי היוו זרז למחקר. יש חוסר הבנה יחסית נפוץ, בקרב מתמטיקאים, לגבי הפאנץ' של המאמר, שיכול להיות שנובע מהרעש התקשורתי מסביב, או אולי מהמאמר עצמו (המדגם מבוסס על תגובות בפוסט של טרי טאו). ספציפית, הפאנץ' הוא לא שקיימות הטייות גדולות בהתפלגויות האלה: זה לא נכון להגיד שלא היה צפוי שיהיו הטיות די גדולות בהתפלגויות האלה. יש דווקא הרבה סיבות והסברים פשוטים יחסית למה הסטיות האלה יהיו גדולות. הדבר המרשים ומחדש במאמר הוא שהסטייה שהם חוזים, על פי התאוריה, היא אפילו גדולה יותר *בסדר גודל אסימפטוטי* ממה שההסברים והסיבות הפשוטות היו חוזות – וזה מאוד מגניב (לאנשים שמתלהבים מדברים כאלה, כמוני). אבל מכיוון שמדובר בתופעה אסימפטוטית, לא בהכרח ניתן לראות אותה אמפירית: כלומר, לא באמת היה ניתן להסיק מתוך המידע האמפירי שההטייה היא מסדר הגודל המרשים שהם חוזים, ולא מסדר גודל קטן יותר ולא מפתיע. כאמור, את הקיום של ההטיות באמת ניתן לראות אמפירית, אבל את התוצאה התאורטית הספציפית לגבי הגודל של ההטיות, שהיא הפאנץ' של המאמר – לא.

  7. תודה. כאמור, אני לא בקיא מספיק בחומר הזה כדי לחוות דעה רצינית על המאמר. ממה שאתה כותב, די ברור למה העיתונות בוחרת בגישה שהיא בוחרת בה – אין שום סיכוי למכור משהו כזה לציבור בתור "התגלית האדירה היא שהסטייה היא אסימפטוטית יותר גדולה ממה שחשבנו!"

  8. אני לא קראתי את המאמר ואין לי מספיק ידע להבין אותו, אבל האם יכול להיות שהתגלית הזאת היא כזאת בגלל השיטות הקיימות שלנו למציאת מספרים ראשוניים? כלומר, אולי בגלל ש"דילגנו" על כל הראשוניים הפחות נפוצים כי השיטות שלנו לא מוצאות אותן, אז הם פחות הופיעו ברשימה שלהם.

    אני יודע שיש שיטות אקראיות למשל למציאת מספרים ראשוניים, ואז זה לא ישנה, אבל האם הם ווידאו את זה במאמר? כי אם לא אני לא בטוח אפילו שתוכן המאמר קוהרנטי

  9. רק רעיון שעלה לי, שאני מניח שאינו נכון, שאולי יוציא את הכותבת יותר טוב:
    בהנחה המוגזמת שהמאמר אכן מקרב אותנו למציאת סדר בהופעת הראשוניים, נניח אפילו עד לרמת הנוסחה, הדבר כן עלול להקל בפירוק לגורמים ( כמו שנראלי פשוט יחסית למצוא שני מספרים מסדרת פיבונאצ'י שמכפלתם N).
    אשמח להערות ותיקונים

  10. אני חושש שהתיאוריות על עורך העיתון לא נכונות.
    למרבה הצער הכתבה פורסמה במקור באתר של דוידסון, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן, והוא אכן חתום על ידי מירי אדלר, דוקטורנטית במכון ויצמן למדע.
    האם גם מכון ויצמן חוטאים לדיוק המדעי בשביל הרייטינג?!
    אמנם דוידסון הורידו בינתיים את המאמר (נכון לעכשיו הוא עדיין מופיע במטמון של גוגל), אבל נראה לי שהתלונות בפייס צריכות להיות מופנות קודם כל אליהם, ולא אל אזובי הקיר.

  11. מאכזב למדי (בקשר לדוידסון).

    לגבי השאלה "האם יכול להיות שהתגלית הזאת היא כזאת בגלל השיטות הקיימות שלנו למציאת מספרים ראשוניים?" – חד משמעית, ממש לא. בטווח המספרים שהם מדברים עליו אנחנו מכירים את כל הראשוניים הרלוונטיים כבר מזמן. אין בעיה למחשבים מודרניים למצוא את כולם.

  12. היתוך קר הושג בוודאות. זה ידוע מזה עשרות שנים. החידוש הוא שבשנים הקרובות נגיע לשלב בו כורי היתוך קר יוצעו למכירה לציבור.

    אתמול נימסר לאנדראה רוסי ולשותפיו המשקיעים מתאגיד CHEROKEE דו"ח שיפוט על ביצועי כור היתוך קר מטיפוס ECAT שבנה אנדראה רוסי. הספק היציאה של הכור הוא 1 מגאוואט על כן הכור מכונה 1MW. הכור 1MW עבד שנה מסביב לשעון. בגלל סדרי הגודל הענקיים של אנרגיה וההקפדה במדידות אין שום מקום לטעויות חישוב (טעויות חישוב של אנרגיה). האפשרות של נוכלות לגמרי לא סבירה (נאמר פחות מפרומיל) – כי מעורבים בניסוי ובבדיקה עשרות אנשים שאין להם, כנראה, מה להרוויח מהשתתפות בנוכלות.

    אם לא יהיו הפתעות הדו"ח של הניסוי השנתי, שהוזכר לעיל, יתפרסם בקרוב (כנראה במגזין עסקים יוקרתי). עם זאת, כפוף למה שאומר בהמשך, יתכן שכל המגזינים היוקרתיים ימנעו מפרסום הדו"ח עקב לחצים מגבוה שיופעלו עליהם. במקרה כזה נצטרך להמתין עוד מספר שנים קטן עד שכורי היתוך קר ימכרו לציבור הרחב ואז שום כוח בעולם לא יוכל למנוע את הפרסום.

    אז למה זמן רב נחשב היתוך קר לדבר שסיכוייו זעירים ?
    משתי סיבות אפשריות:
    (1) משום שמדע הגרעין נימצא במצב דקדנציה והשחתה מאחרשום והוא ניזון מתקציבים גדולים מגורמים אינטרסנטים. הגורמים האינטרסנטים שניזונים מהמשך השימוש באנרגיות נפוצות (דלק פוסילי ודלק ביקוע גרעיני) ניסו להרוג את מחקר הריאקציות הגרעיניות הקרות (LENR). הם דיכאו בברוטליות כל התקדמות ממשית במדע זה. הנימוקים שהם העלו לדיכוי היו תעמולה ושטיפת מוח.

    (2) תיתכן סיבה נוספת: אנרגיה גרעינית קרה מחומרים נפוצים עלולה יום אחד לשמש לבניית פצצה גרעינית מלוכלכת שתסכן את הסדר הקיים.

  13. אם רוסי שכנע אותך שההמצאה שלו עובדת, אתה מוזמן להשקיע בה. בינתיים, כל עוד רוסי אינו מפרסם חומר שמאפשר זאת או מאפשר להעמיד אותה לניסויים מבוקרים, אין טעם בדיון מדעי על ההמצאה שלו.

  14. אלי

    הטענה שלך היא אחת מ"טענות הבולשיט" שמשתמשים בה כדי ליצור דלגיטמציה של היתוך קר. אני מניח שהשבת כלאחר יד בלי שחשבת מספיק על הנושא.

    בתור תרגיל אינטלקטואלי, אם יש לך נטיות מתמטיות, אני מציע לך לחשוב על סיבות כבדות משקל מדוע לא שווה לממציא שתקציבו מוגבל לגלות את סודותיו בפומבי. רמז: הפסד צפוי של מיליארד דולר. רמז נוסף: אולי אתה מכיר קצת מתמטיקה או את המתודיקה של פרסומים מדעיים אבל כנראה אינך מכיר בכלל את המתודה של סביבה עיסקית שהיא דיסציפלינה שונה לגמרי.

    כנראה בנוסף לחולשת הטיעון שלך לא קראת היטב מה שכתבתי. הכור הגרעיני הקר של רוסי הוא בשלב מתקדם של לפני מכירה, לא שלב אב-טיפוס במילים אחרות הפיתוח נעשה בסביבה מרובת שותפים וצופים שבה אין אפשרות לרמות או לטעות. כמו כן, אם היטבת לקרוא, מדובר בכור בעל הספק גדול לכן אין מקום לטעויות מדידה.

    אשר להיתוך קר בכללותו (ליתר דיוק ניקרא LENR) הוא הוכח במקרים רבים שחלקם פורסמו בעתונות מכובדת, חלקם תוך גילוי מדעי מלא של כל הפרטים עד כגדי יכולת רפליקציה. הבעיה היא בכלל לא שאלת הרפליקציה אלא שאלת השפיטה והפרסום שכולם נימצאים תחת סינון האקדמיה לפיסיקה שמדכאת באופן שיטתי את מחקר LENR. מה שמיוחד בהמצאה של רטוסי שהיא מוצאת מהגטו שכפוי על מחקרים קודמים בכך שהמוצר לא יהיה יותר תחת השפיטה והפרסום של האקדמיה לפיסיקה אלא ימסר לשפיטה ישירה על ידי הציבור הרחב:
    אם לדוגמא אתה, אלי ברגר, קונה ב- 1000 קל תנור חימום מסוג ECAT, התנור צורך 100 וואט חשמל והוא מחמם את חדרך כמו שמחמם תנור חימום חשמלי (כל זאת משך כל החורף) – אתה הופך לשופט ישיר של התהליך: אתה מבין ללא הסברים מבעלי סמכא שהתנור יוצר חום.

    תוציא לך מהראש שרוסי הוא ממציא בודד ולכן הוא יכול להתל באנשים. הוא עובד באופן שוטף עם עשרות משקיעים ומהנדסים ומדענים שעובדים איתו באופן יומיומי (הושקעו בהמצאת איקאט לפחות 62 מליון דולר של חברות בעלות הון של מיליארדי דולרים). בסביבה מרובת צופים ומבקרים כזו ההסתברות של מעשה נוכלות כמעט אינה אפשרית.

    אשר להיתוך קר בכללותו (ליתר דיוק ניקרא LENR) הוא הוכח במקרים רבים שחלקם פורסמו בעתונות מכובדת, חלקם תוך גילוי מדעי מלא של כל הפרטים עד כגדי יכולת רפליקציה. הבעיה היא בכלל לא שאלת הרפליקציה אלא שאלת השפיטה והפרסום שכולם נימצאים תחת סינון האקדמיה לפיסיקה שמדכאת באופן שיטתי את מחקר LENR. מה שמיוחד בהמצאה של רטוסי שהיא מוצאת מהגטו שכפוי על מחקרים קודמים בכך שהמוצר לא יהיה יותר תחת השפיטה והפרסום של האקדמיה לפיסיקה אלא ימסר לשפיטה ישירה על ידי הציבור הרחב:
    אם לדוגמא אתה, אלי ברגר, קונה ב- 1000 קל תנור חימום מסוג ECAT, התנור צורך 100 וואט חשמל והוא מחמם את חדרך כמו שמחמם תנור חימום חשמלי (כל זאת משך כל החורף) – אתה הופך לשופט ישיר של התהליך: אתה מבין ללא הסברים מבעלי סמכא שהתנור יוצר חום.

    העניין שלי בנושא אינו ניתוח מדעי (לפי הבנתי הנושא פתור מזמן נוכח ריבוי העדויות האמינות). העניין שלי שלו הוא במה שנקרא לעיתים "הסוציולוגיה של המדע" דהיינהסוגיות הבאותו:
    (ב1) מה הזיקה בין גילוי מדעי לבין ההתנהגות החברתית סביב הגילוי. (התנהגות חברתית ביחס לגילוי : האם יש לגילוי היתוך קר קונפליקט לסדר החברתי הקיים. מדוע יתכנו שני סוגי התנהגות לאנרגיה גרעינית קרה, סימנתי אותם במספרים – (1) וב- (2).
    (ב2) או עניין אחר שנוגע לסוציולוגיה של המדע: אתה, אלי ברגר, פסלת על הסף אפשרות שריאקציות גרעיניות קרות יתכנו. למה, אלי ברגר, פסלת על הסף את האפשרות ? כי יש לך רבנים כמו שיש רבנים לחרדים (האקדמיה למדע על שלוחותיה ושליחיה לציבור) אתה מאמין להם ללא בקרה עצמית של אלי ברגר. גם גדי אל' פנה אל הרבנים שלו וגם הוא מאמין אמונה עיוורת בדבריהם (ומבטל עצמו בפניהם).

    אני מבין את מנגנון סינון האינפורמציה של הסתמכות על רבנים (שהפעלת אתה והפעיל גדי אל') אבל איני מכבד אותך כמתמטיקאי כי אינך מפעיל שיקול דעת עצמאי כאשר יש עובדות שטוחות לפניך. אילו אמרת שהנושא סבוך ואינך יכול להחליט לכאן או לכאן לא הייתי בא אליך בטענות, אבל אתה הרחקת לכת. פטרת מעליך את הנושא כלאחר יד.

    התשובה התארכה ולכן יתכנו שגיאות הקלדה וניסוחים לא רהוטים שלי. אני מתנצל, אבל אני מקווה שרוב דברי מובנים. אני חושב שעדיף להגיב מהר בזמן הנכון מאשר להגיב ברהיטות לאט ומאוחר מדי.

    מי שרוצה להבין מה קורה פה בפירוט רב יותר ובצורה סדורה מוזמן לקרוא את הספר AN IMPOSSIBLR INVENTION. ספר זה ניכתב על ידי התונאי המדעי MATS LEWAN. בניגוד לרוב העתונאים המדעיים שכל מאמר שלהם הוא אוסף מריחות ואי דיוקים, LEWAN הוא עתונאי רציני (וגם מהנדס פיסיקה מוסמך) שנוהג לדייק.

  15. * תיקון טעויות הקלדה וניסוח

    הכוונה לכך שקנית _אישית_ תנור חימום מסוג ECAT שצורך 100 וואט חשמל אבל מחמם את חדרך כפי שמחמם תנור חשמלי רגיל שהספקו 500 וואט. תנור ECAT שקנית מחמם, בהספקים שצויינו, משך כל חודשי החוקף (נאמר 5 חודשים). לכן בגלל כמויות האנרגיה הגדולות החום לא יכול להיווצר מדלק כימי שמוטמן בתנור וגם לא מטריק פיסיקלי שמנצל טוב יותר את האנרגיה החשמלית.

    ההסביר הסביר היחיד הוא שתנור ECAT שקנית יוצר אנרגיה רבה ממקורות חלופיים (לא אנרגיה חשמלית ולא אנרגיה כימית). כמו כן, מאחר ובתנור זה אין צנרת הסעת אוויר (כמו במזגני אוויר) גם הסבר תחושת החום בשל הסעת אוויר נופלת.

    ==============================
    ==============================

    הערה נוספת למי שחושב שההוכחות מבוססות רק על מדידות חום (מדידות קלורימטריות) במחקרים רבים שנעשו במשך השנים הרבות התגלו שינויי חומרים שאפשרים רק ברמת הגרעינית. למשל בניסוי פליישמן- פונס 1989 וניסויים אחרים – התגלה פלט ניכר של טריטיום (טריטיום הוא אטום דמוי מימן שמכיל בגרעינו, בנוסף לפרוטון, עוד שני נייטרונים, טריטיום הוא חומר רדיואקטיבי מאוד ולכן נפוצותו נמוכה). נפוצות טריטיום טבעית נמוכה מאוד והיא נמוכה ממה שהתגלה. בניסוי פונס-פליישמן. בניסוי לוגאנו של 32 יום רצופים בכור ECAT אספו את הדלק לפני הניסוי ואת שארית הדלק לאחר הניסוי ושלחו אותם לבדיקת איזוטופים, הסתבר שהיה שינוי דרמטי בתפזורת של איזוטופים של חומרי הדלק העיקריים ניקל וליתיום. שינויי איזוטופים בכמות גדולה (בטריטיום ולחילופין בניקל וליתיום) אפשריים רק כאשר בתהליך היתה ריאקציה גרעינית.

    בניסוי השנתי של כור 1MW אספו את הדלק והוא כנראה ניבדק בדיקות איזוטופים, דו"ח המעקב ERV שאמור להתפרסם (או יוסתר) אמור למסור מה השינויים באיזוטופים בחומרי הדלק.

    שוב אני מתנצל על טעויות הקלדה וניסוח, אם נפלו כאן.

  16. אפרופו

    למישהו יש מידע או לינק למידע בסיסי על האלגוריתמים שמפעיל מנוע החיפוש גוגל ? (לעניות דעתי, ידיעת האלגוריתמים של חיפוש גוגל, יותר שימושית מהאלגוריתמים לשבירת הצפנה, מתנצל על האוף-טופיק אבל האלגורימים של גוגל הם חומר מעניין ששווה דיון ניפרד). מזה כ- 40 יום אני מנסה לברר נושא זה על ידי ניסוי וטעיה.

    אני יודע ששימוש ב"טאגיות מילות מפתח" (מן הסתם הטאגיות שמורות בהסגרי META בראש עמוד HTML של דף אינטרנט) משמשים הכוונה למנוע החיפוש של גוגל. עובדה נוספת שגליתי (לכאורה) הוא שהדפים אותם אני כותב מעובדים אצל שרתי גוגל בערך פעם בשבוע. יתכן שדפים אחרים מעובדים בתדירות שונה.

    עניין אחר הוא הטענה "חיפוש גוגל מוכוון למשתמש". כלומר אני אקבל תוצאות שונות מהתוצאות אותן יקבל משתמש אחר.

  17. אני תמיד מתפלא למה אנשים מניחים שתופעות מתמטיות אמורות להתפלג באופן מסוים ואחכ מתפלאים שזה לא קורה. (אותו סיפור עם הספרות של פאי).
    סדרה פסבדו ראנדומלית אמיתית היא נדירה מאד עד לא קיימת (יודע זאת כל מי שהשתמש הרבה בפונקציות הנפוצות), מה גם שאין דרך להוכיח שסדרה מסויימת מקיימת את התכונות הסטטיסטיות הנדרשות.

  18. "זה ממש טוב בעיני ש"הארץ" טרחו לתת במה לתגלית הזו, ושהם נותנים במה באופן כללי לתגליות מתמטיות ומדעיות. שאר העיתונים לא עשו את זה (עד כמה שאני רואה). זה אומר ששאר העיתונים גרועים הרבה יותר מבחינתי… …העובדה שהם בכלל לא ניגשים לנושאים הללו הופכת אותם לגרועים יותר."

    איני מסכים. אני אהיה גס ואומר זאת בשפה הכי בוטה: הפרסום בארץ הוא פלצנות, כמו פרסומים רבים אחרים ב"עיתון לאנשים חושבים". צריך איכשהו לבסס את התדמית הזו, אחרי ככלות הכל בלי תדמית היוצרת חשיבות עצמית אצל הקורא אי אפשר למכור את המוצרים האידיאולוגים הפגומים והסחוטים לעייפה של המערכת כאורים ותומים לציבור הנאור.

  19. לעופר

    לא יודע אם עתון הארץ פלצני או לא. אבל כל עתון שיכתוב על נושא במתמטיקה _שהגדרתו_ מעבר לדברים אלמנטרים (כגון משפט פרמה) לא יצא טוב כי אם ינסה לדייק הקוראים לא יבינו ויברחו, מאידך אם ינסה לתת הסבר עממי ההסבר יהיה שגוי בעליל.
    בפיסיקה אפשר להסביר בצורה עממית יותר, בקלות, על ידי ניפנופי ידיים.

  20. http://www.bizportal.co.il/wallstreet/news/article/426691

    מהמאמר בביזפורטל משתמע שתוכנת המסרים וואטסאפ משתמש בהצפנה דו צדדית (שני מפתחות: מפתח אחד לשולח ומפתח שני למקבל שני למקבל) רק המקבל יכול לפענח את ההודעה שנישלחה כמוצפנת, השולח לא יכול לפענח הודעה מוצפנת (סביר שהשולח יכול לשמור בידיו את המקור הלא מוצפן)..

    במילים אחרות, ההצפנה של וואטסאפ דומה באופיה ל RSA אבל לא בהכרח זהה.

  21. שכחתי לרשום את הכינוי שלי בהודעה על ההצפנה בוואטסאפ. מתנצל על שגיאות הקלדה/ניסוח אבל בסך הכל ההודעה מובנת.

    עכשיו שאלה מעניינת: מה סוג ההצפנה באייפון שאפל הסתירה מה- FBI ולמרות זאת FBI פרצה את ההצפנה ?

  22. מכפלה של שני ראשוניים שהפרשם קטן – ובפרט של שני ראשוניים עוקבים – קלה מאוד לפירוק. על כן, לא משתמשים בשני ראשוניים כאלה ה-RSA.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *