צורת ז'ורדן והצורה הרציונלית – התיאוריה

הקדמה מרגשת הפוסט הזה מיועד לסגור את שרשרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית שעוסקים בנושא של צורות קנוניות – וככזה, כמובן שלא יהיה ניתן להבין ממנו כמעט כלום בלי לקרוא את הפוסטים הקודמים או בלי להכיר אלגברה לינארית. בכל זאת, בואו נתחיל עם מבוא ידידותי שמזכיר לנו מה בעצם אנחנו עושים כאן ולמה. אני עדיין …

משפט הפירוק הציקלי

חלק ראשון, שבו הרבה הגדרות והסערה היא רק הבטחה באופק בפוסט הקודם הצגתי את התכל'ס של צורת ז'ורדן, והבטחתי שאראה בהמשך גם את התיאוריה שמאחוריה. בפרט, למרות שהראיתי את השיטה למציאת צורת ז'ורדן, לא באמת הוכחתי שהיא קיימת או יחידה. בפוסט הזה נלך צעד אחד אחורה ונוכיח משפט שממנו אפשר לקבל יחסית בקלות הן את …

צורת ז'ורדן, התכל'ס

מבוא ובו סיפור חיים מרגש ומטריצות, הרבה מטריצות בזמנו כתבתי סדרת פוסטים על אלגברה לינארית, ששיאה היה אמור להיות פוסט על צורת ז'ורדן. בפועל הגעתי עד למשפט הפירוק הפרימרי (גם זה סוג של שיא) ושם נתקעתי, כי את צורת ז'ורדן לא הצלחתי להציג בצורה משביעת רצון, אפילו לא לעצמי, ולמרות שזה נושא שכבר הכרתי מכמה …

אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון

חלק ראשון, שבו אנו מוצאים ערכי קיצון מקומיים אחד מהשימושים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שאפשר להציג כבר בשלב מוקדם יחסית, כבר אחרי שראינו מהי נגזרת, הוא פתרון בעיות אופטימיזציה. למשל, מה הזווית הטובה ביותר שבה כדאי לזרוק כדור אם אנחנו רוצים למקסם את המרחק שהוא יגיע אליו. בבעיות כאלו יש לנו מערכת שההתנהגות שלה …

בעיית המטבעות

אני רוצה להציג הפעם בעיה שמתאימה בול לבלוג: היא קלה לניסוח, מעניינת ובעלת פתרון שלא דורש מתמטיקה עמוקה בכלל, כך שהוא ניתן להבנה על ידי קוראים חסרי רקע במתמטיקה (אבל שכן מוכנים להשקיע מאמץ בנסיון להבין); מצד שני, ההצגה והפתרון שלה נותנים לנו הזדמנות להרגיש בדיוק מה קורה במתמטיקה – ברמת הניסוחים הפורמליים שמקלים עלינו, …

מכפלות טנזוריות (של מרחבים וקטוריים)

בסדרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית יש נושא אחד שהזנחתי בצד – מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. לא הזנחתי אותו במקרה, וזה גם לא מקרה שספרי הלימוד הסטנדרטיים באלגברה לינארית לא מתעסקים בו יותר מדי – לרוב אין בו צורך, והוא קצת קשה לעיכול בשל האבסטרקטיות היחסית שלו. הדרך ה"נכונה" עבור מתמטיקאים להתקל במכפלות טנזוריות …

פרוייקט "התלמיד והמחשב", בעיה 25

סוף סוף הגענו אל בעיה עם בשר אמיתי, וכזו שתיתן לנו תירוץ להזכיר קצת מתמטיקה, ברמה יותר גבוהה מזו שהוזכרה בספר. נתחיל מהבעיה עצמה, שהיא פשוטה למדי לניסוח ולמרבה הצער, מנוסחת בלשון צבאית: בפלוגה כלשהי יש לנו 100 חיילים. מהם חלק הם טוראים, חלק הם סמלים וחלק הם קצינים. משכורתו של טוראי היא 1 ש"ח, …

בסיסים אורתונורמליים במרחבי הילברט

בפוסט הקודם כתבתי עוד ועוד מילים במקום להגיד "מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שלם ביחס למטריקה שמושרת מהמכפלה הפנימית שלו". בעיקר ניסיתי לדבר על ההבדל שבין מרחב סוף-ממדי למרחב אינסוף ממדי, שמתבטא בכך שבמרחב אינסוף-ממדי יותר יעיל לנו לפעמים לדבר על מושג של "בסיס" שלא זהה למושג הסטנדרטי. בפוסט הזה אני רוצה להרחיב על כך. …

אז מה זה מרחב הילברט?

אלו מכם שעקבו אחרי סדרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית ודאי שמו לב שבכמה מקומות ניסיתי להדגיש את החשיבות בכך שאנחנו מדברים על מרחבים וקטוריים (ה"כוכב" של האלגברה הלינארית) שהם ממימד סופי. חלק מהמשפטים שהוכחתי (למשל, אלו שנוגעים לערכים עצמיים) הסתמכו בצורה חזקה למדי על התכונה הזו. זה מעלה את השאלה האם המתמטיקאים בכלל לא מתעסקים …

מטריצות צמודות, הרמיטיות, אוניטריות

אולי התוצאה המעניינת ביותר באלגברה לינארית בסיסית היא הקשר שיש בין טרנספורמציות לינאריות $latex T:V\to V$ המוגדרות על מרחב וקטורי ממימד סופי $latex V$ ובין מטריצות. כזכור, מרגע שבו אנחנו קובעים בסיס $latex B$ ל-$latex V$, אוטומטית נובעת מכך התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוסף הטרנספורמציות הלינאריות $latex T:V\to V$ (לפעמים אכתוב "אופרטור לינארי" במקום; המילה …

טרנספורמציות אוניטריות

אני חוזר לסדרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית, שנעצרה במרחבי מכפלה פנימית ובסוג מעניין אחד של אופרטורים לינאריים עליהם – אופרטורים צמודים לעצמם ("הרמיטיים"). הפעם אני רוצה לדבר על סוג מעניין אחר של אופרטורים, שנקראים אופרטורים אוניטריים; בהמשך נראה איך הכל מתחבר. בואו ניזכר מה זו בכלל טרנספורמציה לינארית. אם יש לנו שני מרחבים וקטוריים …

מרחבי מכפלה פנימית – לפעמים הצמדה היא באמת הצמדה

בסוף הפוסט האחרון שלי על אלגברה לינארית הבטחתי שנדבר על מה שקורה כשלוקחים מרחב מכפלה פנימית ומתחילים לדבר על טרנספורמציות לינאריות מעליו. אני רוצה להתחיל עם הסוג הפשוט ביותר של טרנספורמציות לינאריות – פונקציונלים לינאריים. תזכורת קצרה: $latex V$ הוא מרחב מכפלה פנימית אם הוא מרחב וקטורי מעל $latex \mathbb{C}$ שמוגדרת בו פונקציה $latex \left\langle …

(קצת על) הגאומטריה של מרחבי מכפלה פנימית

בפוסט הקודם על אלגברה לינארית הצגנו את מושג המכפלה הפנימית וכמה מושגים נלווים, אבל לא דיברנו על מה שלדעתי הוא הדבר העיקרי פה – האופן שבו מכפלה פנימית משרה על מרחבים וקטורים גאומטריה, במובן זה שאם יש לנו מכפלה פנימית על מרחב יש לנו מושגים של אורך וזווית ודברים שנובעים מהם. נתחיל עם היצור שהגדרתי …

מכפלות פנימיות

בפוסט הקודם הצגתי את מושג המכפלה הסקלרית, והפעם אני רוצה לקפוץ ישר להכללה בלי לתת יותר מדי מוטיבציה. אז בואו נחזור לדבר על ההקשר הרגיל של אלגברה לינארית – מרחבים וקטוריים מעל שדה $latex \mathbb{F}$. נתחיל מלדבר על המרחב $latex \mathbb{F}^{n}$. וקטור ממוצע בו נראה כך: $latex x=\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ כאשר $latex x_{i}\in\mathbb{F}$. בהינתן וקטור אחר $latex …

עם קצת עבודה, מגיעים למכפלה סקלרית

אחד המושגים שתמיד בלבל אותי בפיזיקה הוא מושג העבודה. בואו נציג אותו בקצרה עבור מי שלא מכירים. נקודת המוצא שלנו היא החוק השני של ניוטון, $latex F=ma$, שאומר שאם כוח כלשהו פועל על גוף ($latex F$ הוא גודל הכוח, והוא חיובי אם הכוח מופעל "ימינה" ושלילי אם הוא מופעל "שמאלה") אז הוא גורם לגוף לתאוצה …

כיבוי אורות (או: תורת הגרפים והאלגברה הלינארית מחסלות עוד משחק תמים)

"כיבוי אורות", או Lights Out הוא משחק תמים שהולך כך: נתון לוח משבצות של $latex 5\times5$, כך שכל משבצת יכולה להיות מוארת או כבויה; נניח מכאן ואילך עד לסוף הפוסט (כמעט) שבתחילת המשחק כל המשבצות כבויות. כל לחיצה על משבצת משנה את מצב המשבצת ומצב כל השכנות שלה: משבצת שהייתה כבויה נדלקת, ומשבצת שהייתה דלוקה …

איך אלגברה לינארית מתקשרת לשרשראות מרקוב (ואיך כל זה קשור לגוגל)

שרשראות מרקוב סדרת הפוסטים על אלגברה לינארית הגיעה במזל טוב לנקודה שבה אפשר לעצור ולעשות סיכומי ביניים לפני שצוללים בחומר הכבד הבא (מכפלות פנימיות), ולכן אני רוצה לנצל את ההזדמנות ולהציג נושא שהזכרתי בחטף קודם ולא דורש ידע באלגברה לינארית שטרם הוצג – שרשראות מרקוב. זה נושא ששייך לתורת ההסתברות ולכן הצגה פורמלית עד הסוף …

משפט הפירוק הפרימרי

בפעם האחרונה שבה דיברתי על אלגברה לינארית המושג הדומיננטי היה זה של תת-מרחב שמור. כזכור, $latex W\subseteq V$ הוא תת-מרחב שמור של טרנספורמציה לינארית $latex T:V\to V$ אם $latex T\left(W\right)\subseteq W$, והחשיבות של תתי-מרחבים כאלו נובעת מהעובדה שאפשר לצמצם את $latex T$ אליהם – להגדיר טרנספורמציה $latex T_{W}:W\to W$ כך ש-$latex T_{W}\left(w\right)=T\left(w\right)$ על $latex w\in …

להטיל לכסון סימולטני בתת-מרחב שמור, בערך

תת-מרחבים שמורים כזכור, בסדרת הפוסטים על אלגברה לינארית הגענו להתעסק בשאלה הבאה: נתונה טרנספורמציה לינארית $latex T:V\to V$ ואנו רוצים למצוא בסיס שבו המטריצה שמייצגת את $latex T$ היא פשוטה. המקרה הטוב ביותר כבר טופל: ראינו כי $latex T$ מיוצגת בידי מטריצה אלכסונית אם ורק אם יש ל-$latex V$ בסיס שכולו מורכב מוקטורים עצמיים של …

השילוש הקדוש, הפולינום המינימלי ומשפט קיילי-המילטון

השילוש הקדוש בפוסט הקודם דיברנו על ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים וראינו שהם קשורים קשר בל ינתק למושג של לכסון מטריצות. אם $latex A$ היא מטריצה ריבועית כלשהי, אומרים ש-$latex A$ ניתנת ללכסון או לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית $latex D$ (מטריצה אלכסונית היא מטריצה ריבועית שבה רק הכניסות שעל האלכסון הראשי שונות מאפס), כלומר …