ערכים עצמיים – ועכשיו ברצינות

בפוסט הקודם נתתי הקדמה ומוטיבציה כלשהם לנושא של ערכים עצמיים ולכן עכשיו אני מרשה לעצמי לצלול ישר למים. בכל הדיון שלנו אנחנו הולכים לדבר על מרחב וקטורי $latex V$ ממימד סופי מעל שדה כלשהו $latex \mathbb{F}$. הסופיות של $latex V$ היא קריטית כאן; במרחבים ממימד לא סופי הסיפור מסובך פי כמה וכמה ושייך כבר לתחום …

ערכים עצמיים – מי, מה, כמה ולמה

אחת המניפולציות הפשוטות ביותר שאנו יודעים להפעיל על תמונות היא שיקוף. נניח עכשיו שאתם רוצים להבין איך לבצע שיקוף בעצמכם, מה זה בכלל אומר? איך ניגשים לזה פורמלית? מייד ברור שיש כמה סוגי שיקופים – יש שיקוף אופקי, ושיקוף אנכי, ואנחנו מבינים אינטואיטיבית מה הם אומרים; אבל פורמלית? בואו נגדיר את זה פורמלית. נדבר על …

מטריצות הפיכות, ומה שלדטרמיננטות יש לומר בעניין

בפוסט הקודם הצגתי את מושג הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית $latex A$, שסימנתי כ-$latex \left|A\right|$. נתתי שלוש הגדרות שונות (אקסיומטית – הפונקציונל מולטי-לינארי על שורות $latex A$ היחיד שהוא גם מתחלף ומחזיר 1 על מטריצת היחידה), ישירה ($latex \left|A\right|=\sum_{\sigma}\mbox{sgn}\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}A_{i\sigma\left(i\right)}$) ורקורסיבית, וכעת נותרה לי רק תכונה מרכזית אחת של הדטרמיננטה לתאר – היא כפלית, כלומר $latex \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$, …

דטרמיננטות

דטרמיננטה היא אולי המושג החשוב ביותר שקשור למטריצות. כמו כל מושג חשוב במתמטיקה, היא צצה בהקשרים רבים ושונים (לא מזמן הראיתי כיצד היא צצה בהקשר הלכאורה לא קשור לכלום של ספירת עצים פורשים בגרף) ויש לה כמה הגדרות שקולות שונות. לרוע המזל, זה גם מושג טכני למדי שעלול להרתיע את מי שזה עתה החלו ללמוד …

פונקציונלים לינאריים והדואלי של הדואלי של הדואלי של הדואלי

בפוסטים האחרונים עסקתי בטרנספורמציות לינאריות בין מרחבים וקטוריים, והפעם אני רוצה לדבר על סוג מסויים של טרנספורמציות שראוי לדיון בפני עצמו – פונקציונלים לינאריים. כרגיל, נסמן ב-$latex V$ מרחב וקטורי מעל שדה $latex \mathbb{F}$; פונקציונל לינארי על $latex V$ הוא פשוט טרנספורמציה לינארית $latex T:V\to\mathbb{F}$, כלומר כזו שנותנת (באופן לינארי) ערך סקלרי לאיברי $latex V$. …

דמיון מטריצות

בפוסט הקודם דיברתי על ייצוג טרנספורמציות לינאריות באמצעות מטריצות. מה שאולי לא הובלט מספיק שם היה שאת אותה טרנספורמציה לינארית אפשר לייצג באמצעות המון מטריצות, וכל מטריצה מייצגת המון טרנספורמציות לינאריות; מה שקובע חד משמעית את הקשר בין טרנספורמציות ומטריצות הוא בחירה של בסיסים עבור המרחבים שמעורבים בטרנספורמציה. מכאן עולות כמה שאלות – ראשית, האם …

קואורדינטות, טרנספורמציות, מטריצות וחיות אחרות

בשעה טובה הגענו אל מה שאני מחשיב בתור אחת התוצאות היפות ביותר במתמטיקה בסיסית. לצערי קל לפספס את היופי כאן (אני כבר מתאר לעצמי קוראים נזעמים שבסוף הפוסט ירטנו שזה בכלל לא יפה או מעניין) ואני מקווה שאצליח להיות משכנע. נתחיל ממשהו קונקרטי. כזכור, $latex \mathbb{R}^{2}$, המרחב האוקלידי, מורכב מנקודות שכל אחת מהן היא זוג …

טרנספורמציות לינאריות

עד עכשיו בפוסטים על אלגברה לינארית דיברתי על מרחבים וקטוריים, כלומר על אובייקט מתמטי שמקיים תכונות מסויימות. השלב הבא במתמטיקה הוא לרוב לבדוק אילו מניפולציות אפשר להפעיל על האובייקט הזה שעדיין מותירות את הסדר הפנימי בו על כנו במובן מסויים. באלגברה לינארית המניפולציות הללו נקראות טרנספורמציות לינאריות. לפני שאתן את ההגדרה, הכי פשוט להציג את …

מוסיפים בסיס לדיון על אלגברה לינארית

בפוסט הקודם הצגתי את המושגים של מרחב וקטורי ותת-מרחב וקטורי, וכעת אני רוצה לגשת ישר ולעניין. בפוסט על משוואות הומוגניות ראינו שיש קבוצה קטנה מאוד של פתרונות שכל פתרון אחר ניתן לתיאור כצירוף לינארי שלהם; בפוסט הזה אני רוצה להרחיב על הנקודה הזו בצורה כללית קצת יותר. אז בואו נאמר ש-$latex V$ הוא מרחב וקטורי …

אז מה זה מרחב וקטורי?

בשעה טובה ומוצלחת הגענו לפוסט שיתאר במדויק את האובייקט המרכזי של האלגברה הלינארית – מרחב וקטורי. אפשר פשוט לתת את ההגדרה שהיא בעיקר רשימת מכולת של כל מני תכונות אלגבריות, אבל אני מעדיף להתחיל מלהיזכר מה ראינו עד כה. בפוסט הקודם התעסקתי באוספי פתרונות של מערכות משוואות הומוגניות. מערכת משוואות שכזו הייתה מהצורה $latex Ax=0$ …

משוואות לינאריות – הקרב האחרון

בפוסטים הקודמים שלי על אלגברה לינארית הסברתי קצת איך אפשר לפתור משוואות לינאריות על ידי הבאה שלהן לצורה פשוטה ככל האפשר, ואז הסברתי שבעזרת מטריצות אפשר לחשוב על ה"צורה הפשוטה ככל האפשר" הזו בתור סוג מיוחד של מטריצה, אבל זה עדיין לא סיים את הסיפור. בפוסט הזה אני רוצה לתת את התשובה הסופית והחד משמעית …

כפל מטריצות – מה, לעזאזל?

בפוסט הקודם הצגתי מטריצות בתור כלי שעוזר לי לפתור מערכת משוואות – במקום לכתוב כל פעם את כל מערכת המשוואות, אני כותב מטריצה ו"מדרג" אותה והתהליך חוסך לי כתיבה מיותרת וקצת יותר קל לקריאה. זו מן הסתם לא הסיבה למה מטריצות הן כל כך מעניינות ו"אחד המושגים הבסיסיים ביותר במתמטיקה" כפי שאני שוב ושוב מפמפם. …

מטריצות, דירוג מטריצות ומשוואות לינאריות

משוואות לינאריות הן התירוץ המושלם להתחיל לדבר על האובייקט שבאמת מעניין אותנו – כנראה האובייקט המרכזי באלגברה לינארית ובמתמטיקה בכלל: מטריצות. מטריצה היא רשימה דו-ממדית של איברים (בהקשר שלנו, מספרים) אבל היא יותר מזה: היא אובייקט אלגברי שאפשר לבצע עליו מניפולציות אלגבריות: אפשר לחבר שתי מטריצות, אפשר לכפול מטריצה במספר כלשהו, ואפשר לכפול גם שתי …

אז איך פותרים משוואות לינאריות?

לטעמי נקודת הפתיחה הטובה ביותר לדיון על אלגברה לינארית היא לתאר מערכות של משוואות לינאריות ואיך פותרים אותן. ראשית, כי זו בעיה קונקרטית ובסיסית במתמטיקה; שנית, כי יש לה פתרון מושלם; שלישית, כי מבחינה טכנית הרבה מאוד מהבעיות שצצות בהקשר הרחב יותר של אלגברה לינארית (מרחבים וקטוריים) מצטמצמות לבסוף לפתרון של מערכת משוואות לינארית, ולכן …

אז מה זו אלגברה לינארית?

סטודנטים להנדסה בסמסטר הראשון שלהם מתמודדים עם שני קורסים מתמטיים כבדים. האחד הוא חדו"א (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) הידוע לשמצה, והשני הוא אלגברה לינארית (הידועה לשמצה?). על החשיבות של חדו"א כבר דיברתי כאן ואני מקווה להמשיך לדבר בעתיד – אבל מדוע האלגברה הלינארית, שלא ממש נלמדת בתיכון (בניגוד לחדו"א שמושגי היסוד שלו מוצגים בתיכון) היא מקצוע …

משפט המטריצה-עץ של קירכהוף

אני רוצה לדבר הפעם על מה שלטעמי הוא משפט יפהפה ביותר, גם בשל מה שהוא אומר וגם בשל ההוכחה שלו, שלטעמי מייצגת את כל מה שטוב במתמטיקה – גם דורשת הבנה טכנית לא טריוויאלית, וגם מכילה תובנה עמוקה שמאפשרת לראות מדוע המשפט נכון. העולם מסכים איתי, וההוכחה הזו מככבת בספר "Proofs from THE BOOK"; אני …

בעיית וויל האנטינג

נקודת המוצא העלילתית של הסרט "סיפורו של וויל האנטינג" (וכאן אני עומד לגלות טיפה מפרטי העלילה – אבל לא משהו שלא מתגלה ממילא בעשר הדקות הראשונות של הסרט, ואיננו מהותי כל כך) היא חידה מתמטית שפרופסור ב-MIT נותן לסטודנטים בקורס מתקדם שלו, בתקווה שמישהו מהם יצליח לפתור אותה עד סוף הסמסטר ובכך יכנס להיכל התהילה. …

איך מוצאים את נוסחת פיבונאצ'י?

בדומה לפוסטים אחרים, גם המוטיבציה לפוסט הזה היא שאילתת חיפוש שראויה לתשובה רצינית ולא בת שתי שורות – במקרה הזה, "איך מוכיחים נוסחת פיבונאצ'י". איני בטוח אם הכוונה היא רק להוכחה שהנוסחה נכונה, או גם למציאת הנוסחה; לדעתי מציאת הנוסחה היא העיקר ואז ההוכחה (באינדוקציה, או באמצעות כלים כבדים מאלגברה לינארית שמטפלים במקרה כללי בהרבה) …

מדריך מקוצר לחשיבה ב-n מימדים

דוק בראון אומר למרטי "לחשוב במימד הרביעי". פיזיקאים מתעסקים בעולמות עם 26 מימדים, או 11, או 10. גם אנשי העידן החדש קופצים על מושגי המימדים הללו כמוצאי שלל רב וטוענים שמגוון חייזרים חיים בהם. אבל מה זה בעצם מימד, מבחינה מתמטית? יש הגדרות שונות לאותו מושג אינטואיטיבי, שמנסות להשיג מטרות שונות; בפוסט הזה אדבר על …

אז איך פותרים משוואה ריבועית?

אחת מהשאלות שהביאה נפשות תועות לבלוג הייתה "איך פותרים משוואה ריבועית". תכננתי לענות עליה במסגרת מדור "שאלות ותשובות", תשובה שהייתה בערך זו: "הפתרון של המשוואה $latex ax^2+bx+c=0$ הוא $latex x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$", אבל אז הבנתי שזו אולי תשובה נכונה ומדוייקת, אבל התחמקות גמורה מהשאלה. אנסה להסביר מדוע. לא מזמן ראיתי הרצאה של מתמטיקאי שעסקה בשאלת המבחנים האמריקאיים …