תחומי פריקות יחידה

מבוא בסדרת הפוסטים על חוגים עד כה האבטיפוס שלי לחוג היה המספרים השלמים, \(\mathbb{Z}\). במובן מסויים זו נקודת מבט צרה מדי, כי \(\mathbb{Z}\) הוא בעל שתי תכונות שממש לא נדרשות בחוגים כלליים – ראשית, הכפל שלו הוא קומוטטיבי; שנית, הוא תחום שלמות, כלומר אין בו מחלקי אפס. למרות שזו מראש התמקדות במחלקה צרה יחסית של …

חוגי שברים

הפוסט הקודם שלי על חוגים הציג בסופו "שיטה" ליצירת שדות (חוגים קומוטטיביים שבהם כל איבר שונה מאפס הוא הפיך) על ידי לקיחת חוג קומוטטיבי וחלוקה שלו באידאל מקסימלי. כאשר עושים את התעלול הזה עבור החוג \(\mathbb{Z}\), למשל, מקבלים את כל השדות מהצורה \(\mathbb{Z}_{p}\) של המספרים מ-0 עד \(p-1\) עם חיבור וכפל מודולו \(p\), עבור ראשוני …

מה הקשר בין חוגי פולינומים לאימות חומרה?

ביקשו ממני לכתוב פוסט שיתן שימוש כלשהו למה שדיברתי עליו על חוגים במדעי המחשב. ובכן, לא הצלחתי לחשוב על משהו מוחץ ממש. התחום השימושי ביותר הוא ככל הנראה תורת השדות, בפרט שדות סופיים, אבל אני לא מחשיב את התחום הזה כחלק מתורת החוגים אלא כתחום העומד בפני עצמו. האם אני יכול לשלוף מהשרוול דוגמא שמשתמשת …

הומומורפיזמים, חוגי מנה, ואידאלים

עכשיו, אחרי שהבנו מהם חוגים, אפשר להתחיל לחקור אותם באופן כללי כפי שעשינו עם חבורות, והצעד המתבקש הראשון הוא חוגי מנה. מכיוון שהרעיון הבסיסי הוא זה שהיה בחבורות, בואו נזכר מה קרה בחבורות (ומי שיאבדו אותי – שילכו לקרוא את הפוסט בחבורות!). שם הייתה לי חבורה \(G\), שהפעם אתאר את הפעולה שלה בתור חיבור ולא …

אז למה 1 אינו מספר ראשוני?

אחת מההגדרות המוכרות ביותר במתמטיקה היא זו של מספר ראשוני: "מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו". רק שעם ההגדרה הזו מגיעה לפעמים ההסתייגות ש"בכל זאת, 1 אינו נחשב ראשוני" (למרות שהוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו. כן, עצמו זה גם כן 1), ואז כמובן מגיעה התהיה המתבקשת – למה. למה ש-1 לא יהיה ראשוני? האם יש בכך …

חוגים – מבוא קצת יותר פורמלי

הגדרות בסיסיות אחרי פוסט המבוא שלי על חוגים, אני רוצה לתת פוסט קצת יותר פורמלי וקונקרטי, ועם קצת פחות נפנופי ידיים ויותר דוגמאות קונקרטיות. נתחיל מההגדרה הבסיסית: חוג (Ring) מורכב מקבוצה \(R\) ושתי פעולות בינאריות מעליה שאני מסמן ב-\(+\) וב-\(\cdot\) (את הכפל אני לרוב לא מסמן בכלל, כלומר במקום \(a\cdot b\) אני כותב \(ab\)). אנחנו …

אז מה זה בעצם חוג?

סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת התחילה עם המון פוסטים על חבורות. עכשיו סיימנו את הנושא הזה, פחות או יותר, ואנחנו עוברים אל הנושא המתבקש הבא: חוגים. אבל מה זה חוג? באופן שבו מלמדים את זה על פי רוב, חוג הוא "חבורה שהוסיפו לה עוד משהו". זו לא דרך התבוננות רעה; בפרט, היא מאפשרת לקחת …

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות (סוג של אפילוג)

אפשר לדבר על חבורות עוד ועוד ועוד ועוד וזה לעולם לא יסתיים. לרוב מפסיקים את הדיבור הבסיסי אחרי שמציגים מספיק דברים בסיסיים שאפשר להשתמש בהם בכל רחבי המתמטיקה, וזה גם מה שאני בוחר לעשות. כדי להצדיק את המקום שבו אני עוצר, אני רוצה להקדיש את פוסט הסיכום והנעילה הזה להמחשה עד כמה אפשר לדבר על …

בואו נמיין חבורות!

מבוא בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות היעד הצנוע שאני שואף אליו הוא להבין בדיוק איך נראות כל החבורות עד וכולל סדר 20. למה היעד השרירותי הזה? כי כדי להגיע אליו אנחנו זקוקים בדיוק לסט הכלים והמושגים הבסיסיים של תורת החבורות; מיון החבורות עד סדר 20 זה פשוט דרך לצאת "לשטח" ולראות איך זה בא …

קומוטטורים וחבורות פתירות

סדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות התחילה ברובה עם חבורות אבליות, כאלו שבהן \(ab=ba\). חבורות כאלו, הזהרתי מראש, הן פשוטות יחסית. בפוסטים האחרונים אנחנו לאט לאט נוגעים בכל מני חבורות לא אבליות מעניינות כמו חבורת התמורות והחבורה הדיהדרלית, ומדברים על מושגים שיש להם משמעות רק בהקשר של חבורות לא אבליות כמו מכפלה חצי ישרה. גם …

מכפלות חצי ישרות

מבוא במסגרת העיסוק שלנו בחבורות ראינו עוד ועוד דרכים לתאר חבורות ולבנות חבורות חדשות מחבורות קיימות. עכשיו הגיע הזמן לסגור את החור האחרון שאני רוצה לסגור כרגע (למרות שכמובן, זה רחוק מלהיות סוף הסיפור באופן כללי) ולהראות בניה כללית וחזקה למדי – בניה של מכפלה חצי ישרה, שהיא סוג של הכללה של המכפלה הישרה שהראיתי …

משפטי סילו

מבוא אחת מהתוצאות הבסיסיות על המבנה של חבורות שראינו הייתה משפט לגראנז': אם \(G\) חבורה סופית ו-\(H\) תת-חבורה שלה אז הסדר של \(H\) מחלק את הסדר של \(G\). המשפט הזה מייד העלה את השאלה אם גם הכיוון ההפוך נכון: אם \(G\) חבורה סופית מסדר \(n\) ו-\(k\) מחלק את \(n\), האם קיימת ל-\(G\) תת-חבורה מסדר \(k\)? …

פעולה של חבורה על קבוצה

מה זה בכלל בפוסט הקודם שלי דיברתי על סימטריות. סימטריה של צורה כלשהי הייתה פונקציה מהמישור לעצמו (הפיכה ומשמרת מרחקים) שכשהיא הופעלה על הצורה הזו החזירה כפלט את הצורה עצמה. אולי היא "ערבבה" את הנקודות שמרכיבות את הצורה, אבל קבוצת כל הנקודות של הצורה עברה לעצמה. סימטריות היו חבורה, ביחס לפעולה של הרכבת פונקציות; זו …

החבורה הדיהדרלית

פעם אחת, לפני שנים רבות רבות, לפני שעוד היו לפטופים ואולי בכלל לפני המצאת המחשב, נהגו להשתמש במשהו מוזר שנקרא "שקפים" כדי להראות מצגות. שקף, כשמו כן הוא, היה דף שעשוי מחומר שקוף שהאור עובר דרכו. על השקף היו כותבים או מדפיסים טקסט, תמונות וכדומה, ואז שמים אותו על "מקרן" שהיה מעביר דרכו אור ואז …

בואו נדבר על מכפלות של חבורות וחבורות אבליות

מכפלה של חבורות את סדרת הפוסטים על חבורות התחלנו בלהסביר מה זו חבורה, ואז לנסות להבין איך נראות החבורות הקטנות ביותר, להסתבך, להתייאש ולעבור לדברים אחרים, תיאורטיים וכלליים יותר. עכשיו אני רוצה לחזור לשאלת "אילו חבורות יש". כפי שכבר ראינו, חלק מהבעיה עם מענה לשאלה הזו היא שקשה לנו לתאר חבורות. לכתוב טבלת כפל זה …

חבורות של תמורות

מבוא עד כה בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות ראינו תוצאות אבסטרקטיות שנכונות לכל החבורות (או לכל החבורות הסופיות), ובתור דוגמא ראינו את חבורת השלמים. הבעיה היא שזו דוגמא פשוטה מדי: ראינו שהשלמים הם חבורה ציקלית, וגם החבורות שמוגדרות באמצעותה (תתי-החבורות וחבורות המנה שלה) הן ציקליות. חבורות ציקליות הן מאוד פשוטות וכבר הבנו את המבנה …

משפטי האיזומורפיזם של חבורות

בפוסט הקודם שלי דיברתי על משפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות שאמר ש-\(G/\ker f\cong\text{Im}f\) לכל הומומורפיזם \(f\) שמוגדר על \(G\) (או בניסוח אחר, אם \(G\to H\) הוא הומומורפיזם על, אז \(G/\ker f\cong H\)). המילה "הראשון" מרמזת שיש עוד משפטי איזומורפיזמים, ואני הולך להציג אותם בפוסט הזה. בדרך כלל מדברים על שלושה משפטי איזומורפיזם, אבל אני רוצה …

הומומורפיזמים של חבורות

בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות פיזרתי עד כה על ימין ועל שמאל הבטחות מסוג "שתי החבורות הללו הן בעצם אותו הדבר במובן מסויים כלשהו שאני לא אומר עליו כלום כרגע אבל בבקשה בבקשה תאמינו לי". הגיע הזמן להציג את המובן הזה, וגם לראות איך הוא מתקשר כמעט מאליו למושגים של תת-חבורה וחבורת מנה שהצגתי …

קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה

בפוסט הקודם של תורת החבורות דיברנו על תתי-חבורות והזכרתי את משפט לגראנז'. המשפט אומר שאם $latex G$ היא חבורה סופית, ו-$latex H$ היא תת-חבורה שלה, אז $latex \left|H\right||\left|G\right|$ – הסדר של $latex H$ מחלק את הסדר של $latex G$ ("סדר" של חבורה הוא מספר האיברים בה). כבר ראינו למשפט שני שימושים לא טריוויאליים – שכל חבורה …

תתי-חבורות וחבורות ציקליות

בפוסט הקודם הצגתי את המושג של חבורה. ראינו כמה דוגמאות, ואז ניסינו להבין מהן החבורות הפשוטות ביותר. הגענו עד גודל 5 לפני שהתייאשנו משיטת העבודה עם טבלת כפל והגענו למסקנה שצריך כלים יותר נוחים, אבל כבר הספקנו לראות תופעה מוזרה: הייתה רק חבורה בודדת לכל גודל מ-1 עד 3, בעוד שמגודל 4 היו כבר שתי חבורות …