המעשה המופלא בקבוע המסתורי 0x5f3759df (חלק ב' – הקשה)

בואו נמשיך את סיפור המעשה מהפוסט הקודם על קוד מסתורי שמחשב את \(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) בצורה יעילה עד להפתיע. אנחנו כבר כמעט מסוגלים להבין מה הקוד עושה באופן מלא, רק צריך קודם להבין את העניין הפעוט הזה של איך מספרים מיוצגים במחשב. פרק רביעי, ובו ביטים עושים דברים בגדול, אפשר לומר שחלק נכבד מהיקום כולל דברים שמורכבים …

המעשה המופלא בקבוע המסתורי 0x5f3759df (חלק א' – הקל)

למתמטיקאים יש את סיפורי המסתורין שלהם. המפורסם מביניהם הוא ככל הנראה הערה ששרבט פייר דה פרמה בשולי ספר ה"אריתמטיקה" של דיופנטוס שלו, שבה העיר שהכללה של טענה שהופיעה בספר היא שגויה תמיד וש"בידי הוכחה מופלאה למשפט אך שולי ספר זה צרים מלהכילה". הערת השוליים הזו לא פורסמה על ידי פרמה בימי חייו והיא התגלתה רק …

על יריעות ותבניות (מה משפט סטוקס אומר, בגדול)

מבוא כל סדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית עד כה תיארה פחות או יותר את מה שרואים בקורס הבסיס בנושא (שלרוב זוכה לשמות כמו "חדו"א 2" או "אינפי 3" או "חשבון אינפיניטסימלי במספר משתנים" וכדומה). ה"שיא" של קורסי הבסיס הוא משפטי גאוס וסטוקס. זה נושא יפה, מעניין ובעיקר שימושי ביותר; אבל כשאני סיימתי ללמוד אותו …

אינטגרל משטחי

בפוסט הקודם דיברנו על אינטגרל קווי, שהוא מה שמקבלים כשמנסים לבצע אינטגרציה על פונקציות שחיות ב-$latex \mathbb{R}^{n}$ אבל על תחום שהוא חד-ממדי. הצליח לנו יפה, וכמובן שאצל מתמטיקאים הגישה היא שאם משהו עובד יפה במימד אחד למה לא לנסות גם בשני מימדים. זה מוביל אותנו אל אינטגרל משטחי שהוא האנלוג המתאים. התוצאה? אסון טוטאלי. הכל יוצא …

אינטגרל קווי

בראשית בראו ניוטון ולייבניץ את אינטגרל רימן (רימן בא אחרי ניוטון ולייבניץ, אז מה זה השם הזה? לא נורא, בכל סיפור בריאה טובה צריך סתירות פנימיות). ויהא אינטגרל רימן אינטגרל של פונקציה $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ שמוגדר על קטע $latex \left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}$. ויהי ערב ויהי בוקר אינפי 1. ההתחלה הזו כל כך יפה ונקייה, ומייד אחריה מגיע תוהו …

החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – המשפט הכללי

אחרי פוסט המבוא בנושא, אנחנו רוצים להוכיח את משפט החלפת המשתנים הכללי בחדו"א, עבור אינטגרלים $latex n$-ממדיים. לפני הכל נתחיל בלהזכיר מה המשפט אומר: אם $latex g:A\to B$ היא דיפאומורפיזם של קבוצות פתוחות ב-$latex \mathbb{R}^{n}$ ו-$latex f:B\to\mathbb{R}$ רציפה, אז $latex f$ אינטגרבילית מעל $latex B$ אם ורק אם $latex \left(f\circ g\right)\left|\det Dg\right|$ אינטגרבילית מעל $latex …

מידת ז'ורדן ואינטגרלים מוכללים

הפוסט הזה יהיה קצת טכני ובהתחלה קיוויתי להימנע ממנו, אבל זה יכריח אותי לבצע קפיצות מהירות וגדולות מדי בפוסטים בהמשך, ואני חושב שהנושא הנוכחי מספיק מעניין בפני עצמו. מה שאנחנו רוצים לעשות הוא להבין קצת יותר טוב איך נראים אינטגרלים ב-$latex \mathbb{R}^{n}$ שמוגדרים לא על קוביות אלא על קבוצות מסובכות יותר – ומתי זה בכלל …

החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה")

היעד הנוכחי של סדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית הוא משפט כבד למדי – משפט החלפת המשתנים. אבל לפני שנצלול למעמקים הטכניים שלו, בואו נחזור לרגע לחדו"א של משתנה יחיד ונדבר על איך משפט החלפת המשתנים נראה שם, גם כי זה נותן לנו נקודת אחיזה למשפט הכללי והמסובך יותר, וגם כי מעולם לא כתבתי על …

אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים

בסדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית סיימנו לעת עתה לדבר על נגזרות, ואנחנו עוברים אל עמוד התווך השני של האנליזה – אינטגרלים. הדיון באינטגרלים מתחלק לשלושה שלבים: בשלב הראשון, שהוא מה שנעשה הפעם, אנחנו לוקחים את אינטגרל רימן התמים והנחמד מחדו"א בסיסית ורואים איך ההגדרות שלו מוכללות באופן טבעי ל-$latex \mathbb{R}^{d}$ לכל $latex d$ טבעי. …

משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות

פרק ראשון, ובו בקושי התחלנו וכבר אנחנו מעגלים פינות בואו נדבר על מעגל. מעגל הוא הצורה החביבה עלינו. אנחנו אוהבים את המעגל. מהו המעגל? עבורנו זה אוסף כל הנקודות ב-$latex \mathbb{R}^{2}$ שמרחקן מנקודה נתונה ("המרכז") הוא זהה (ונקרא "הרדיוס" של המעגל). איך אנחנו מודדים "מרחק"? אצלנו המרחק של $latex \left(x_{1},y_{1}\right)$ מ-$latex \left(x_{2},y_{2}\right)$ הוא $latex \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$. …

אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון

חלק ראשון, שבו אנו מוצאים ערכי קיצון מקומיים אחד מהשימושים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שאפשר להציג כבר בשלב מוקדם יחסית, כבר אחרי שראינו מהי נגזרת, הוא פתרון בעיות אופטימיזציה. למשל, מה הזווית הטובה ביותר שבה כדאי לזרוק כדור אם אנחנו רוצים למקסם את המרחק שהוא יגיע אליו. בבעיות כאלו יש לנו מערכת שההתנהגות שלה …

אנליזה וקטורית – תכונות בסיסיות של הנגזרת

אז הכרנו את הנגזרת של פונקציה $latex f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ וראינו איך אפשר לחשב אותה באמצעות נגזרות חלקיות. בואו נעבור עכשיו לכמה תוצאות תיאורטיות כלליות וקלות יחסית, כדי שנתרגל; עד סוף הפוסט נגיע להצגת תוצאה לא טריוויאלית ושימושית – משפט הפונקציה ההפוכה. אבל נתחיל מהבסיס. נתחיל בתכונה אחת שנובעת כמעט מייד מכך שפונקציה היא גזירה אבל טרם …

אנליזה וקטורית – נגזרת ונגזרת חלקית

אחרי פוסט המבוא שבו הבטחתי גדולות ונצורות, בואו נעבור לאקשן. כאמור, אני מניח ידע קודם אצל הקוראים, הן באינפי של פונקציות ממשיות והן באלגברה לינארית (עד וכולל מכפלות פנימיות) כך שלא אציג מחדש את המושגים הללו. אלא אם יש ערך מוסף כלשהו בלהציג אותם מחדש. כמו למשל עכשיו! אני רוצה שנדבר שוב על מהי נגזרת …

אנליזה וקטורית – מבוא

בזמנו כתבתי בבלוג סדרת פוסטים על חשבון אינפיניטסימלי. הצגתי בסדרה הזו את שלושת המושגים הבסיסיים שעליהם החשבון האינפיניטסימלי נשען – הגבול, הנגזרת והאינטגרל – אבל לא הלכתי יותר מדי רחוק אחר כך (אפילו לנושא כמו טורים לא הגעתי). בעקבות בקשה שהגיעה אלי, אני רוצה להתחיל להשלים חלק מהחורים שהשארתי. ספציפית, אני רוצה לטפל באנליזה וקטורית …

מיקסומיה – תורת הטבע השלמה

בשבועות האחרונים היה קשה להתעלם מפרסומת פייסבוק שחלחלה לה אט אט אל המעגלים שלי. בואו ניתן לה לדבר בעד עצמה: מי שילחץ על הלינק יגיע לאתר שכותרתו "מיקסומיה – תורת הטבע השלמה" ויש בו כל מני… דברים. הרושם המיידי שהתקבל אצלי הוא שמדובר על טרחן פיזיקלי. וזה מצער עבורי, כי פיזיקה היא לא התחום שלי. …

התמרת פורייה המהירה

בפוסט הקודם הצגתי את התמרת פורייה הבדידה, והבאתי דוגמה אחת לשימוש בה – כפל מהיר של פולינומים. אמרתי גם שכדי שהכפל באמת יהיה מהיר, עלינו לדעת לבצע את התמרת פורייה מהר; ואמרתי גם שהתמרת פורייה הבדידה מיוחדת בכך שהיא עוסקת בכמות סופית של מידע, ולכן אפשר לתכנת אותה במחשב בצורה פשוטה. כפי שאתם ודאי מנחשים …

התמרת פורייה הבדידה – מה זה בכלל?

עד עכשיו ראינו שני סוגים של התמרות פורייה: אחת עבור פונקציות מחזוריות מעל הממשיים, כלומר פונקציות שמוגדרות מעל הקטע $latex \left[-\pi,\pi\right]$ ואנחנו יכולים "להרחיב" אותן לכל $latex \mathbb{R}$ באופן מחזורי; ופונקציות שהוגדרו מראש על כל $latex \mathbb{R}$. להתמרה במקרה הראשון קראנו "טורי פורייה" כי התוצאה המתקבלת היא פירוק של הפונקציה לסכום – טור – של …

התמרת פורייה – מה זה בכלל?

בפוסט הקודם התחלנו לדבר על טורי פורייה. הצגתי אותם בתור הצגה של פונקציות ממשיות מחזוריות כסכום של סינוסים וקוסינוסים, אבל הדבר הראשון שאני רוצה לעשות עכשיו הוא להכליל את זה טיפה. כל הקטע הזה עם הפרדה בין הסינוסים והקוסינוסים, כך שיש לנו שני סטים שונים של מקדמים, הוא קצת מעייף ומאולץ. אפשר להציג את הטורים …

טורי פורייה – מה זה בכלל?

מתמטיקאים אוהבים לפרק דברים לגורמים. כל מספר טבעי קל יותר להבין אם מפרקים אותו למכפלה של ראשוניים. גם עם פונקציות ממשיות זה עובד כך – אחד מהדברים האהובים על מתמטיקאים הוא לקחת פונקציה ממשית $latex f\left(x\right)$ ולכתוב אותה בתור טור חזקות: $latex f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$. בצורה הזו הפונקציה נכתבת כסכום אינסופי של פונקציות פשוטות במיוחד – $latex …

על גבולות עליונים ותחתונים של קבוצות וממשיים

אחד הדברים הנחמדים במתמטיקה הוא שאם אנחנו נתקלים באותו מושג בשני הקשרים שונים, יש סיכוי טוב שיש מושג כללי יותר שעומד מאחורי שניהם ומסביר אותם. זו חוויה שבוודאי מוכרת מאוד לסטודנטים במתמטיקה; אני עצמי זוכר סמסטר אחד שלי שבו בכל קורס הופיעו טורי פורייה בצורה זו או אחרת. הפעם אני רוצה לדבר על מושג כזה …