פרדוקס בוחן הפתע

בסוף השיעור של יום חמישי חייך פרופסור גונוסובסקי חיוך זדוני, ואמר בעונג לתלמידיו "ובשבוע הבא אערוך בוחן פתע!" ויצא מהכיתה כרוח סערה. מייד קמה התלחשות אדירים בכיתה. "בוחן פתע?", "מותר לו לעשות את זה בכלל?", "מה זה אומר, שהוא יערוך מבחן בלי לומר מראש באיזה יום?", "אבל אם לא יודעים את היום איך נדע להתכונן …

מבחן טיורינג

אלן טיורינג, שהשנה חגגנו את יום הולדתו ה-100, היה מחשובי המדענים של המאה ה-20. במאמר מ-1936 הוא הניח את היסודות לתיאוריה של מדעי המחשב, ובאותה ההזדמנות גם נתן השראה לחלוצים שמבין בוני המחשבים הפיזיים. בשנות מלחמת העולם השניה הוא היה אחד מהבולטים שבמפצחי הצפנים של אנגליה בבלצ'לי פארק ובכך תרם תרומה חשובה לניצחון בעלות הברית …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ג' ואחרון)

תקציר הפרקים הקודמים: הראיתי את פרדוקס האוסדורף, או כפי שהעדפתי לקרוא לו, "פרדוקס כמעט בנך-טרסקי". פרדוקס האוסדורף אמר כי ניתן לקחת את ספירת היחידה במרחב התלת ממדי $latex S^{2}$ (פניו של כדור שרדיוסו 1), להעיף מתוכה קבוצה בת-מניה של נקודות $latex D$, והתוצאה $latex S^{2}\backslash D$ תהיה קבוצה פרדוקסלית, כלומר ניתן יהיה לפרק אותה לשתי …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ב')

הפוסט הקודם שלי על פרדוקס בנך-טרסקי עורר זעם רב בציבור הקוראים ואולי בעולם כולו – למרות שכבר בשורת הפתיחה של הפוסט הבהרתי בדיוק מהו פרדוקס בנך-טרסקי, הטענה הייתה שהפוסט בכלל לא התעסק בבנך-טרסקי אלא בכל מני שטויות לא קשורות. ובכן, לחלק מהשטויות הלא קשורות הייתה חשיבות בכך שבנך-טרסקי נבנה עליהן, והחלק האחר נועד לתת אינטואיציה …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק א')

פרדוקס בנך-טרסקי הוא אולי הדרך הטובה ביותר להמחיש להדיוטות כמה מוזרה המתמטיקה. בפשטות, הפרדוקס אומר את הדבר הבא: ניתן לקחת כדור, לחתוך אותו ל-5 חתיכות, להזיז אותן טיפה (ולסובב, ולשקף וכאלה) ולבנות מהן שני כדורים באותו הנפח של הכדור המקורי. רגע, מה? ברוכים הבאים למתמטיקה, העולם שבו קורים דברים מוזרים. מן הסתם אחרי תיאור הפרדוקס …

אז מה זה עניין P=NP, בעצם?

כפי שחששתי, החדשות על ההוכחה ש-P שונה מ-NP היו נכונות אך מוקדמות מדי. הקונצנזוס שהולך ומסתמן בבלוגים שעוסקים בעניין – לאחר שכמה מטובי מדעני המחשב והמתמטיקאים בעולם שיתפו פעולה בבחינת ההוכחה – הוא שבהוכחה יש בעיות שלא ניתנות לתיקון, ושככל הנראה גם לא יהיה ניתן להפיק ממנה דרך חדשה ומבטיחה להתמודדות עם הבעיה. בקיצור, מהומה …

הוכחה ש-P שונה מ-NP?

למרות שאני לא אוהב לכתוב פוסטים "חדשותיים", נראה לי שאין מנוס מכך הפעם. בימים האחרונים נוצר באזז עצום סביב הוכחה לכך ש-P שונה מ-NP (מה הבעיה הזו בכלל? על כך דיברתי כאן), וגם אני לא יכול להתעלם ממנו. למי שמעוניין לקרוא טיוטה של ההוכחה (שדלפה לרשת ואיננה הגרסה הרשמית של כותב ההוכחה אלא משהו שהוא …

אז מהי השערת רימן?

בנובמבר 1859, לפני קצת יותר ממאה וחמישים שנים, פרסם המתמטיקאי ברנרד רימן מאמר קצרצר, עשרה עמודים אורכו (או שמונה, תלוי את מי שואלים), שפחות או יותר בישר את לידת תורת המספרים האנליטית והכיל בתוכו, כמעט בדרך אגב, את מה שהפכה להיות הבעיה הפתוחה המפורסמת ביותר במתמטיקה – השערת רימן. לכבוד "יום ההולדת" של 150 שנים …

הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל

כשאומרים "נוסחת אוילר", לרוב מתכוונים לנוסחה $latex e^{\pi i}+1=0$, או לניסוח הכללי שלה, $latex e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. לעתים רחוקות יותר מדברים על הנוסחה $latex V-E+F=2$, וקצת חבל, כי זוהי נוסחה יפה כמעט באותה מידה – נוסחה שמצביעה על גישה שונה שנקט אוילר ביחס לבעיות שעסקו בהן כבר היוונים הקדמונים, ומצביעה על תובנה שחמקה מעיני המתמטיקה במשך אלפיים …

למה (בגדול, מאוד בגדול) לא ניתן לפתור משוואות ממעלה חמישית ומעלה, ומה זה בכלל אומר?

אחת מהצורות הפופולריות שבהן נתפסת המתמטיקה בציבור הרחב היא בתור העיסוק ב"פתרון משוואות". כמובן שזה תיאור מקומם של המתמטיקה, ואני מקווה שכבר סיפקתי בעבר דוגמאות אין ספור לכך שהמתמטיקה היא הרבה יותר מסתם עיסוק ב"פתרון משוואות", אך הפעם אני רוצה לדבר בדיוק על זה – משוואות. מהסוג שנלמד בבית הספר. אז בואו נתחיל מההתחלה. משוואות …

בניות בסרגל ומחוגה

בפוסט הקודם שלי הזכרתי את בעיית ריבוע העיגול בהקשר של פאי; כעת אני רוצה לעסוק בה בהקשר הרחב יותר שלה, של בעיות בניה בסרגל ומחוגה. אעשה זאת מנקודת מבט שהיא בעיקר פורמלית ולא היסטורית; אני מניח שההיסטוריה של בניות בסרגל ומחוגה היא נושא מרתק בפני עצמו, מכיוון שמדובר בתחום שקיים כבר אלפיים שנה. ובכן, מה …

לא ניתן להגדיר את ערכו האמיתי של פאי! (או לרבע את המעגל)

אתר Ynet עושה מלאכה טובה בהבאת כתבות מעיתוני מדע פופולרי ישראליים, ביניהם "אודיסאה". אודיסאה, בתמורה, עושה עבודה טובה בכתיבת כתבות מדע פופולרי; וכך זכתה כתבת מדע פופולרי על הקבוע המספרי פאי, שמציין את היחס שבין היקף המעגל לקוטרו ("פיי" בכתבה; אני בדרך כלל כותב "פאי" אבל אין לי מושג מהי הדרך ה"תקנית") להגיע למספר שניות …

אכילס והצב יוצרים דיכוטומיה בין המודלים האפשריים לתנועה

כמו בפרדוקס החץ של זנון, כך גם בפרדוקס הדיכוטומיה, אני מעדיף, כשאני מציג את ה"פתרון" שלי לפרדוקס, להתבסס על ניסוח שאינו שלי אלא של מישהו שסבור שהפרדוקסים לא נפתרו – דהיינו, זאב בכלר: "לו היה הקו רציף, הוא היה ניתן לחלוקה אינסופית… אך בהנחה זו, כיצד תיתכן התנועה? כדי להגיע לקצה הקו יש להגיע קודם …

הקרב נפתח ביריית חץ

בעבר נהגתי לתאר את הפרדוקסים של זנון לכל דורש בהתלהבות רבה. עם השנים (בפרט, ככל שלימודי המתמטיקה התקדמו) גיליתי שקשה לי יותר ויותר לתאר אותם, ואני נזהר יותר ויותר בניסוחים שלי. לבסוף הגעתי למצב שבו אני יכול אולי לומר איך אחרים מתארים את הפרדוקסים, אבל אני עצמי לא רואה בהם שום בעיה פרט לכך שהם …

טרטורי טורים

אכילס והצב (מי זה אכילס? גדול גיבורי יוון העתיקה; ומי זה הצב? נו, הצב!) החליטו להתחרות בריצה (נניח, 400 מטר). אכילס רץ במהירות 10 מטרים לשנייה (36 קמ"ש), הצב "רץ" במהירות של 1 מטר לשנייה (3.6 קמ"ש – הליכונים בדרך כלל נעלבים כשמבקשים מהם את המהירות הזו). מי מנצח? כמובן שאכילס, אלא שיש כאן טוויסט; …

על משוואות דיופנטיות ושאר בעיות שהשוליים הללו צרים מלהכיל

בפוסטים קודמים התייחסתי קצת לנושאים שנוגעים לתורת החישוביות, אבל עדיין לא נכנסתי לעיקר – מה זה בעצם חישוב, מה המודלים המתמטיים עבורו, למה הם קבילים, מה אי אפשר לחשב וכדומה. אחרי שני דיונים בנושאים הללו שהתפתחו בתגובות, נראה לי שכדאי להיכנס קצת לעובי הקורה – ובתקווה לא לאבד אף קורא תוך כדי, כי המתמטיקה שמאחורי …

הקיים הנעלם – הדוגמה הרמאית

השערת גולדבך היא אחת מהבעיות הבלתי פתורות המפורסמות ביותר במתמטיקה, בפרט לאחר מותה המצער (בשיבה טובה) של בעית המשפט האחרון של פרמה. בדומה למשפט פרמה (ולהבדיל, נניח, מהשערת רימן), גם השערת גולדבך ניחנה בתכונה החשובה כל כך של ניסוח פשוט, אפילו טריוויאלי: מספר ראשוני הוא מספר שמחלקיו הם הוא עצמו ו-1 בלבד (למשל, 13). השערת …