המעשה המופלא בלוח המסתורי פלימפטון 322

בדיוק סיימתי פוסט על אחת מהתעלומות הגדולות במדעי המחשב – תעלומה בקושי בת עשור וקצת. נראה לי די מתאים, אם כן, לעבור לדבר על תעלומה במתמטיקה שהמקור שלה הוא בן אלפי שנים (אם כי הפולמוס סביב אותו מקור הוא בן פחות ממאה שנה) – התעלומה של לוח החרס הבבלי שנקרא "פלימפטון 322" ואפשר לראות כאן: …

איך חישב ארטוסתנס את היקף כדור הארץ

יום אחד, לפני אלפיים ומשהו שנים, קם אדם בבוקר והחליט שהופס – היום הוא ימדוד את היקף כדור הארץ. הלך כמה צעדים, עמד בשמש, מדד איזה צל שהיה בסביבה, עשה עוד איזה חישוב – וסיים! הוא חישב את היקף כדור הארץ, ברמת דיוק טובה למדי. בלי לצאת למסע שמקיף את כל כדור הארץ. בלי תמונות …

בואו נוכיח שיש אינסוף ראשוניים!

אחת מהתוצאות המתמטיות הבסיסיות המפורסמות ביותר היא שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. זו תוצאה נפלאה, בגלל שכל כך קל לומר מה בדיוק היא אומרת, מאוד קל להוכיח אותה, והיא אומרת משהו לא מובן מאליו ובעל השלכות מעניינות. בפוסט הזה אני ארצה להציג במרוכז שלל הוכחות של התוצאה הזו ולומר עליהן כמה דברים נחמדים. אני אלך אחד-לאחד …

אמי נתר (או: על נשים ומתמטיקה וחוקי שימור טובים פחות וטובים יותר)

התירוץ שלי לכתוב את הפוסט הזה הוא הכתבה הזו ב"הארץ" על הכמות הדלה של רחובות בתל-אביב שנקראים על שם נשים, מכיוון שבכתבה הזו נזרק התירוץ של "אף אחד לא ממליץ". ובכן, אני חושב שאמי נתר היא המלצה מצויינת, ובהמשך הפוסט אני מניח שגם יתברר מדוע, אבל כדאי באופן כללי לדבר על נתר כי כדאי לדבר …

הפנטגרמה והפיתגוראים

על מה אתם חושבים כשאתם רואים את הסמל הבא? באופן מצער למדי, הסמל הזה – פנטגרמה – הפך בימינו למזוהה עם כת השטן והפך למעט מוקצה מחמת מיאוס (כמובן, הרבה פחות מאשר סמל אחר, ההוא שההודים משתמשים בו זה אלפי שנים). זה חבל הן מסיבות תרבותיות, שכן פנטגרמה מופיעה בשלל הקשרים תרבותיים אחרים שכלל אינם …

ההרצאות שלי בפסטיבל אייקון 2012

בשעה טובה עלו לאינטרנט סרטוני וידאו של ההרצאות שלי בפסטיבל אייקון, שהזכרתי כאן. שתי ההרצאות מיועדות לקהל הרחב, כלומר אינן מניחות שום ידע קודם במתמטיקה. אני מקווה שהן גם הצילחו לעמוד בייעוד הזה. מבין שתיהן, ההרצאה על הגיאומטריות הלא-אוקלידיות זכתה לתגובות טובות יותר. לי עצמי יש לא מעט ביקורת על רמת ההרצאות (בפרט, בזו של …

מבחן טיורינג

אלן טיורינג, שהשנה חגגנו את יום הולדתו ה-100, היה מחשובי המדענים של המאה ה-20. במאמר מ-1936 הוא הניח את היסודות לתיאוריה של מדעי המחשב, ובאותה ההזדמנות גם נתן השראה לחלוצים שמבין בוני המחשבים הפיזיים. בשנות מלחמת העולם השניה הוא היה אחד מהבולטים שבמפצחי הצפנים של אנגליה בבלצ'לי פארק ובכך תרם תרומה חשובה לניצחון בעלות הברית …

יום הולדת 100 לאלן טיורינג!

היום מלאו 100 שנים בדיוק להולדתו של אלן טיורינג, וזו הזדמנות מצויינת לכתוב עליו כמה מילים ולהבטיח סדרת פוסטים שאוטוטו באה. טיורינג היה מתמטיקאי בריטי שנולד בשנת 1912, הישר אל התקופה הסוערת של המתמטיקה של תחילת המאה ה-20. הייתה זו מתמטיקה שהשליכה מעליה את דרכי הביסוס הישנות שלה (גאומטריה, אנליזה) ובמובנים מסויימים "חיפשה את עצמה". …

קצר: הזמנה לתערוכה

סיפור ידוע על המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט מאוניברסיטת גטינגן מספר כי בשנת 1934 הוא מצא את עצמו יושב ליד שר החינוך הנאצי החדש ברנהרד רוסט בסעודת ערב. רוסט שאל אותו "ומה מצבה של המתמטיקה בגטינגן כעת, משטיהרנו אותה מההשפעה היהודית?", ולכך השיב הילברט "מתמטיקה בגטינגן? כבר אין כזו". דומני שהאנקדוטה הקטנה הזו מתארת היטב את …

אז מה הקטע עם המשפט האחרון של פרמה?

אחד מהנושאים שעד היום לא נגעתי בהם כמעט כלל בבלוג הוא המשפט האחרון של פרמה – כנראה התוצאה המתמטית המפורסמת ביותר. הבעיה העיקרית שבכתיבה עליה היא כפולה – ראשית, סיימון סינג כבר כתב עליה ספר מפורט ("המשפט האחרון של פרמה"); ושנית, אם רוצים לעשות משהו שונה ממה שסינג עשה צריך להיכנס יותר לעומק המתמטיקה של …

איך קנטור המציא את הסודרים?

לטעמי האישי אחת מהתוצאות המפתיעות והמרתקות ביותר במתמטיקה "אמיתית" היא גם אחת מהפשוטות והמיידיות ביותר בה, כזו שכל סטודנט בסמסטר הראשון יכול להבין: ההוכחה של גאורג קנטור לקיום גדלים שונים של אינסוף. אי אפשר שלא להעריך את קנטור – בתקופה שבה אינסוף היה מוקצה מחמת מיאוס במתמטיקה, בסופה של מאה שבה המתמטיקאים עמלו קשה כדי …

פרוייקט "תוצאות מפתיעות בסיבוכיות" יוצא לדרך!

בשלהי מהומת ה"הוכחה" ש-$latex \mbox{P}\ne\mbox{NP}$ בקיץ האחרון נתקלתי במצגת של סקוט אהרונסון שניסתה לדבר על בעיית $latex \mbox{P}\ne\mbox{NP}$ ומדוע היא כה קשה. אחד מהשקפים ניסה להמחיש עד כמה הוכחה שמתקיים דווקא $latex \mbox{P}=\mbox{NP}$ תהיה מפתיעה – הבאתי אותו בבלוג גם בעבר, והנה הוא שוב: מנקודת מבטו של מי שמכיר קצת את תורת הסיבוכיות השקף הזה …

לוגיקומיקס

לפני מספר חודשים שחר מ"תודעה כוזבת" ביקש להזמין אצלי פוסט, שיעסוק בקומיקס Logicomix, ואף הביא לי אותו פיזית. אז ראשית, תודה לשחר, ושנית, התנצלות: אף שסיימתי לקרוא את הקומיקס לפני זמן רב טרם כתבתי את הפוסט בעניין. התחלתי אותו, ואז הפסקתי כי הוא לא הלך לכיוון שרציתי ולא הצלחתי להחליט אם אני רוצה לתאר בו …

מהם המספרים הממשיים?

בהמשך לפוסט הקודם, אני מתחיל כעת בסדרת הפוסטים שתנסה לתאר בצורה פשוטה את יסודות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, ואנחנו חייבים להתחיל מלתאר את ה"עולם" שבו פועל החשבון הזה – עולם שכוכביו הראשיים הם מה שנקרא "המספרים הממשיים" (Real Numbers). כמו שקורה בדרך כלל במתמטיקה, קיימות הכללות רבות של החדו"א לעולמות אחרים, …

אז מה זה חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי?

אני ממשיך את הפוסטים שלי שבהם אני מנסה להציג נושאים בסיסיים במתמטיקה ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, והפעם אני רוצה לעסוק באחד מעמודי התווך המרכזיים של המתמטיקה – החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, או בקיצור החדו"א (ובשם אחר – החשבון האינפיניטסימלי, האינפי). על החדו"א נבנה הענף המתמטי הרחב שמכונה "אנליזה מתמטית", והחדו"א מופיעה בתחומים רבים נוספים במתמטיקה. …

מי הזיז את הטור שלי?

יותר מכל, המתמטיקה של זמננו זוכה לתדמית "מדוייקת", "פורמלית", אפילו צרת מוחין. טענה נפוצה בדיונים היא ש"החיים זה לא מתמטיקה" ואין טעם לבקש להכל הגדרות מדוייקות והסברים ברורים. אלא שהמתמטיקה הזו היא צעירה יחסית; אפילו המתמטיקה של המאה ה-19 לא הייתה כזו בדיוק. המתמטיקה ה"פורמלית" היא תוצר של תהליך בן אלפי שנים, שהתרחש שלא במקרה …

אז מהי השערת רימן?

בנובמבר 1859, לפני קצת יותר ממאה וחמישים שנים, פרסם המתמטיקאי ברנרד רימן מאמר קצרצר, עשרה עמודים אורכו (או שמונה, תלוי את מי שואלים), שפחות או יותר בישר את לידת תורת המספרים האנליטית והכיל בתוכו, כמעט בדרך אגב, את מה שהפכה להיות הבעיה הפתוחה המפורסמת ביותר במתמטיקה – השערת רימן. לכבוד "יום ההולדת" של 150 שנים …

הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל

כשאומרים "נוסחת אוילר", לרוב מתכוונים לנוסחה $latex e^{\pi i}+1=0$, או לניסוח הכללי שלה, $latex e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. לעתים רחוקות יותר מדברים על הנוסחה $latex V-E+F=2$, וקצת חבל, כי זוהי נוסחה יפה כמעט באותה מידה – נוסחה שמצביעה על גישה שונה שנקט אוילר ביחס לבעיות שעסקו בהן כבר היוונים הקדמונים, ומצביעה על תובנה שחמקה מעיני המתמטיקה במשך אלפיים …

אז איך פותרים משוואה ריבועית?

אחת מהשאלות שהביאה נפשות תועות לבלוג הייתה "איך פותרים משוואה ריבועית". תכננתי לענות עליה במסגרת מדור "שאלות ותשובות", תשובה שהייתה בערך זו: "הפתרון של המשוואה $latex ax^2+bx+c=0$ הוא $latex x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$", אבל אז הבנתי שזו אולי תשובה נכונה ומדוייקת, אבל התחמקות גמורה מהשאלה. אנסה להסביר מדוע. לא מזמן ראיתי הרצאה של מתמטיקאי שעסקה בשאלת המבחנים האמריקאיים …