פרדוקס המבחן האמריקאי

נתקלתי בדף הפייסבוק של מכון דוידסון בחידה הזו, שכבר ראיתי אינספור גלגולים שלה ברחבי האינטרנט: החידה מוצגת לפעמים בתור "פרדוקס" למרות שאני חושב שהיא אינה כזו; השם "פרדוקס המבחן האמריקאי" הוא המצאה שלי כדי שתהיה לפוסט כותרת מעניינת. ובכן, מה התשובה? מי שרוצה להיות ממש קטנוני כנראה יגיד ש"באופן אקראי" לא מגדיר חד משמעית באיזו …

פרדוקס האוטובוס הצפוף

אהוד אהרוני (שבנוסף למעלליו בפוסט הזה גם יוצר סרטוני וידאו די פנטסטיים למראה) פנה אלי עם סיפור שאותו המציא: ישנה עיירה ובה מפעל, ובכל יום הפועלים נוסעים למפעל באוטובוס. יש 30 פועלים ועומדים לרשותם 3 אוטובוסים שממתינים בחניה, וכל פועל בוחר באקראי לאיזה אוטובוס לעלות (כלומר, לכל אוטובוס יש את אותה הסתברות להיבחר על ידי …

מהי נוסחת סטירלינג ואיך היא מוכיחה את קיום מפלצת הספגטי המעופפת

דף הפייסבוק של "כנסיית מפלצת הספגטי המעופפת" פרסם את הסטטוס הבא: הרמתי היום מטבע, והתפללתי להוד איטריותה שבחצי מהזריקות אני אקבל עץ ובחצי השני אני אקבל פלי. בעזרת הדרכתה של אטרייתה הקדושה, המשאלה התגשמה. מה גדול כוחה, ונאמר ר'אמן. בהנחה שזה נכון (ואין סיבה שלא נאמין שזה נכון – זה נכתב בדף הפייסבוק של כנסיית …

חידת מטוסים ומושבים

שמעתי חידה חביבה מאוד, ונראה לי שווה להקדיש לה פוסט קצר שיתאר אותה, אבל יותר מכך – גם את האופן שבו ניגשים לפתור משהו דומה לה. החידה פשוטה: 100 אנשים עולים למטוס עם 100 מושבים. לכל אחד כרטיס עם מספר המושב שלו, אבל מי שנכנס ראשון למטוס הצליח לאבד את הכרטיס ולכן הוא פשוט מתיישב …

חוק המספרים הגדולים עושה אותך כזה קטן

הפנו אותי אל מאמר מתוך "דה-מרקר" שבתורו נלקח, לא פחות, מה"ניו-יורק טיימס". המאמר מתהדר בכותרת "סיבה לדאגה לאפל? "חוק המספרים הגדולים יוביל לנפילתה"" ובכותרת המשנה "החוק שהוכיח מתמטיקאי שווייצי בן המאה ה-17 עשוי לבשר על כך שגורלה של אפל יהיה זהה לזה של חברות ענק קודמות" – וזה, מה נאמר, כמו דם במים בשביל כריש. …

איך אלגברה לינארית מתקשרת לשרשראות מרקוב (ואיך כל זה קשור לגוגל)

שרשראות מרקוב סדרת הפוסטים על אלגברה לינארית הגיעה במזל טוב לנקודה שבה אפשר לעצור ולעשות סיכומי ביניים לפני שצוללים בחומר הכבד הבא (מכפלות פנימיות), ולכן אני רוצה לנצל את ההזדמנות ולהציג נושא שהזכרתי בחטף קודם ולא דורש ידע באלגברה לינארית שטרם הוצג – שרשראות מרקוב. זה נושא ששייך לתורת ההסתברות ולכן הצגה פורמלית עד הסוף …

מהמרים כושלים, שיכורים בביוב, ואלוהים

הטריגר לפוסט הזה הוא המאמר הבא ב-Ynet שמנסה לשכנע אותנו שיש אלוהים בגלל שיש אבולוציה. אבל נחכה עם החלק הלא מתמטי לסוף – הסיבה שאני כותב את הפוסט הזה היא שהוא מזכיר שם תוצאה מתמטית קטנה ונחמדה שהיא פתח לתחום מעניין או שניים ומזמן רציתי לכתוב עליה. התוצאה הזו נקראת לעתים "התרוששות המהמר" (Gambler's Ruin), …

תדהמתלוטו

תדהמה בישראל: בהגרלת הלוטו השבועית עלו בגורל אותם מספרים בדיוק (לא באותו סדר, אמנם) כמו בהגרלת הלוטו של לפני חודש. אתרי החדשות כמרקחה: "תדהמה" מכריז Ynet. "סטטיסטיקאים יגידו שהסיכוי שואף לאפס, קונספירטיבים יחשבו על כוונות זדוניות". פרופסור לסטטיסטיקה גויס כדי שיגיד שמדובר ב"מקרה נדיר כדבר שקורה אחת ל-10,000 שנה" ואף אומר כי "זה מדהים, זה …

דיון שאינו חסר תוחלת במשתנים מקריים

בואו נדבר על כסף. רולטה. נניח שאני מהמר בשיטת כך-וכך, בכמה אני זוכה? מכיוון שרולטה היא עסק הסתברותי ובכל משחק אני זוכה או מפסיד משהו שונה, עדיף לשאול שאלה יותר מדוייקת – בכמה בממוצע אני זוכה? נניח שאני משחק אלף סיבובים ומרוויח בסך הכל אלף ש"ח, אפשר לומר שבממוצע, זכיתי בש"ח אחד לסיבוב (אפילו אם …

בהינתן שאנחנו יודעים הסתברות בסיסית, כמה קל להבין הסתברות מותנית?

בפוסט הקודם התחלתי לדבר על הסתברות בסיסית והצגתי כמה רעיונות בסיסיים. אמרתי שאנחנו ממדלים סיטואציה הסתברותית עם מרחב הסתברות שכולל קבוצה $latex X$ (מרחב המדגם) של כל התוצאות האפשריות של הסיטואציה ההסתברותית, כך שלכל $latex a\in X$ (לכל תוצאה $latex a$ אפשרית ששייכת לקבוצה $latex X$) מותאם גם מספר $latex P\left(a\right)$ בין 0 ל-1 שאומר …

הסתברות בסיסית – אחד חלקי קומבינטוריקה

בפוסטים קודמים תיארתי כמה מושגי בסיס בקומבינטוריקה, וכעת אני רוצה להציג כמה שימושים שלהם; אלא שהמקום הטוב והמעניין ביותר לטעמי להצגת שימושים של המושגים הבסיסיים שהראיתי היא דווקא תורת ההסתברות – שהיא מה שנלמד כיום בבתי הספר, וגם מתקשרת חזק יותר לחיי היום יום שלנו. תורת ההסתברות היא זו שעונה על שאלות כגון "מה הסיכוי …

חידת מעטפות

לכבוד סוף השנה, חידה: אתם נמצאים בחדר שבו נמצאות שתי מעטפות, כל אחת עם סכום כסף שנבחר באקראי (לדקדקנים – נבחר מתוך התפלגות כלשהי על המספרים הממשיים – לא ידוע לכם איזו התפלגות). אתם בוחרים באקראי (כלומר, בהסתברות 50:50) את אחת המעטפות, פותחים אותה ורואים את הסכום שבפנים. כעת מאתגרים אתכם – החליטו אם להחליף …

ילדים (הסתברותיים) זה שמחה

תורת ההסתברות היא כר פורה לחידות שונות ומשונות שמעוררות ויכוחים מזוויעים, גם בקרב מתמטיקאים, מהטעם הפשוט שקיים פער גדול בין ניסוחים מתמטיים-פורמליים של בעיות, ובין ניסוחים מילוליים שלהם. הרבה פעמים המודל המילולי פשוט אינו מוגדר היטב וניתן למספר ניסוחים מתמטיים שונים ולא שקולים, והשאלה באיזה ניסוח מתמטי יש לבחור הופכת ל"פילוסופית" – ופילוסופיה (בפרט כשהיא …

דיון מקרי על אלגוריתמים הסתברותיים

אוהבים להגיד שהחיים האמיתיים זה לא כמו מתמטיקה. שבחיים האמיתיים לא הכל מדויק ודטרמיניסטי ויפה. אלא מה – אפילו במתמטיקה זה לא כך. ההסתברות פולשת לכל חלקה טובה של המתמטיקה ומזהמת אותה, וממש לא מסתפקת בדברים שעוסקים בהסתברות, כמו הסיכוי לזכיה בלוטו (אל תטרחו למלא) – גם בעיות "דטרמיניסטיות" למהדרין מותקפות מדי פעם באמצעות טכניקות …

אז איך מגרילים מספרים במחשב?

שפת התכנות הראשונה שהכרתי הייתה BASIC, ואחד מהמשחקים הראשונים שכתבתי היה משחק שבו המחשב מגריל מספר והשחקן צריך לנחש אותו. למרבה הצער, שמתי לב לתופעה מאוד מוזרה במשחק שלי – המחשב תמיד ניחש את אותו המספר. לעומת זאת, אם הגדלתי את טווח המספרים שהוא יכל לבחור, הוא פתאום ניחש תמיד מספר אחר. רק אחרי זמן …

מסתבר שלא

במקרה נתקלתי בחוברות של עיתון מתמטי שיצא לפני כעשור בפקולטה למתמטיקה בטכניון – "אתגר". בנוסף לחידות ולדיווחים על אולימפיאדות למתמטיקה, הן כוללות גם מאמרים פשוטים וקריאים על נושאים מתמטיים בסיסיים. מאמר מעניין אחד דן בהבדל שבין הממוצע והחציון, והמובנים השונים (והסותרים) שביחס אליהם הם אופטימליים – ייתכן שארחיב על כך בעתיד. הפעם אני רוצה לעסוק …

כיצד פרדוקס יום ההולדת מוליד חוב בבנק

לא מזמן נתתי כאן חידה ואחזור עליה שוב: כמה אנשים צריכים להיות במסיבה כדי שבהסתברות טובה, לשניים יהיה אותו יום הולדת – כלומר, אותו יום בשנה, לא בהכרח אותה שנה? כמובן שהשאלה בניסוח הזה מאוד לא מוגדרת היטב. הבה ונבהיר כמה נקודות עדינות. ראשית, אנו מניחים שימי ההולדת מתפלגים באופן אחיד, כלומר לכל יום בשנה …

פרדוקס המעטפות

ביום רביעי האחרון התמזל מזלי והייתי נוכח בהרצאה של פרופ' נוגה אלון על "חשיבה הסתברותית". אלון הוא מרצה בחסד עליון, וייתכן שזו (או אולי הפורום הספציפי שבו ניתנה ההרצאה) הסיבה לכך שהוא לא היסס להציג את הנושאים שעליהם הוא דיבר בצורה קצת יותר מורכבת מההצגה הסטנדרטית שלהם. הוא דיבר על הבעיה של מונטי הול, על …

הבעיה של מונטי הול

אתם משתתפים בתוכנית טלוויזיה. המנחה מציג בפניכם שלוש דלתות סגורות. מאחורי שתיים מהן יש עז, ומאחורי השלישית – מכונית. המשחק – אתם בוחרים דלת, וזוכים במה שמאחוריה. מן הסתם אתם רוצים לזכות במכונית. אתם מצביעים על אחת משלוש הדלתות, ואז מגיע הטוויסט: המנחה הולך ופותח דלת אחרת, מראה שמאחוריה יש עז, ושואל אם בא לכם …

הקיים הנעלם – הדוגמה ההסתברותית – האקשן

טוב, אז יש לנו פסוק לוגי שמורכב מ-$latex n$ פסוקיות, שבכל אחת שלושה מופעים של משתנים (או שלילתם). אנחנו רוצים להוכיח שקיימת השמה למשתנים שמספקת לפחות $latex \frac{7}{8}$ מהפסוקיות. מה עושים? ראשית, מגדירים את מרחב ההסתברות שלנו. המרחב מוגדר על ידי אוסף של אירועים "בסיסיים" וזרים זה לזה, שלכל אחד הסתברות מסויימת. כאן מה שנעשה …