על מספרים שאינם ניתנים למציאה בפיתוח העשרוני של 1/998001 ושברים דומים

המניע לפוסט הזה הוא וידאו של נמברפיל שאותו לא ראיתי וכרגיל בעניינים הללו אדבר כאן כאילו הוא לא קיים בכלל. הוא עוסק בקסם מתמטי נפלא, מהסוג שאפשר להסביר פחות או יותר לכולם (והפוסט הזה ינסה להיות נגיש לכולם, ואם אתם "כולם" ולא הבנתם אתם בהחלט מוזמנים להגיב בתגובות ואנסה לתקן). מה הקסם? בואו ניקח את …

על מטבעות, שיקויים ובסיסי ספירה

אני רוצה לתאר הפעם שתי חידות מפורסמות. הן לא קלות, אבל לשתיהן יש פתרון טריוויאלי וכמעט מיידי למי שמצויד בידע המתמטי הנכון, ולכן הן כל כך נחמדות. נתחיל מלהציג אותן; כתמיד, אני מזמין את כל מי שנקלע בטעות לפוסט הזה, אפילו אם הוא נטול ידע במתמטיקה לחלוטין, לנסות לפתור אותן – זה אפשרי גם בלי …

על משחקים ומספרים (חלק ב': מספרים. וקצת משחקים)

בפוסט הקודם התחלתי לבנות קבוצה של מספרים שהמוטיבציה אליהם הגיעה איכשהו מתוך משחקים קומבינטוריים. כזכור, הבניה הייתה פשוטה להפליא: כל מספר מיוצג על ידי אובייקט מהצורה $latex \left\{ L|R\right\} $ כאשר $latex L,R$ הן קבוצות, וכלל הבניה שלנו הוא ש"מספר" הוא אובייקט כזה כך ש-$latex L,R$ הן שתיהן קבוצות של מספרים וכל איבר של $latex …

על משחקים ומספרים (חלק א': משחקים. וקצת מספרים)

בראשית ימי הבלוג, חלק מהפוסטים הראשונים שפרסמתי עסקו או בתורת המשחקים, או בבנייה השיטתית של מערכות המספרים המרכזיות במתמטיקה (הטבעיים, השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים). אני רוצה עכשיו לחזור לנושאים הללו באופן שאיכשהו מצליח לחבר את שניהם, בהתבסס על שני ספרים שכתב המתמטיקאי ג'ון קונווי – הראשון, On Numbers and Games, והשני (שאותו כתב עם עוד …

חידת יום הולדת

עושה רושם שבימים האחרונים הרשת עוסקת בהתלהבות בחידה קטנה וחביבה. מבחינה מתמטית היא לא מתוחכמת יותר מדי, ולא שונה מהותית באופיה מחידת ה"עיניים כחולות" שכבר דיברתי עליה בבלוג, אבל העובדה שהיא זוכה לפופולריות שכזו מעידה על כך שמשהו בניסוח שלה עובד. אז למה לא לדבר עליה טיפה. מקור החידה הוא מתחרות מתמטיקה בסינגפור, והיא הועלתה …

פרדוקס המבחן האמריקאי

נתקלתי בדף הפייסבוק של מכון דוידסון בחידה הזו, שכבר ראיתי אינספור גלגולים שלה ברחבי האינטרנט: החידה מוצגת לפעמים בתור "פרדוקס" למרות שאני חושב שהיא אינה כזו; השם "פרדוקס המבחן האמריקאי" הוא המצאה שלי כדי שתהיה לפוסט כותרת מעניינת. ובכן, מה התשובה? מי שרוצה להיות ממש קטנוני כנראה יגיד ש"באופן אקראי" לא מגדיר חד משמעית באיזו …

בעיית המטבעות

אני רוצה להציג הפעם בעיה שמתאימה בול לבלוג: היא קלה לניסוח, מעניינת ובעלת פתרון שלא דורש מתמטיקה עמוקה בכלל, כך שהוא ניתן להבנה על ידי קוראים חסרי רקע במתמטיקה (אבל שכן מוכנים להשקיע מאמץ בנסיון להבין); מצד שני, ההצגה והפתרון שלה נותנים לנו הזדמנות להרגיש בדיוק מה קורה במתמטיקה – ברמת הניסוחים הפורמליים שמקלים עלינו, …

בניות בסרגל ומחוגה – המשחק!

בתור סטודנט למתמטיקה, נתקלתי לראשונה במושג של בניות בסרגל ומחוגה בקורס בתורת השדות. מה שעושים שם הוא להוכיח תוצאה שכיום היא כבר קלאסית לגמרי – ששלוש בעיות בניה מפורסמות אינן פתירות כלל. יש לי פוסט על התוצאה הנפלאה הזו, אבל זה לא מה שאני רוצה לדבר עליו עכשיו, אלא על מה שאנחנו "מפספסים" בכך שאנחנו …

המחט של בופון

היום חל "יום פאי", כלומר תאריך היום הוא ה-14/3, שבארצות פחות מתוקנות נכתב כ-3.14, כלומר כמו התחלת הפיתוח העשרוני של הקבוע $latex \pi$, פאי (היחס בין היקף מעגל לקוטרו בגאומטריה האוקלידית) – ומכאן, תירוץ לחגוג ולאכול פאי עם פאי. מבחינתי זה תירוץ לכתוב פוסט על משהו שבו מופיע $latex \pi$, ורצוי משהו קליל יחסית. דוגמה …

איך ייתכן ש …+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!

בימים האחרונים משוטט ברשת סרטון של Numberphile שמציג "הוכחה" לסכום הבלתי נתפס הבא: $latex 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}$. במילים: הסכום של כל המספרים הטבעיים הוא מינוס (מינוס!) אחד חלקי שתיים עשרה. זו כמובן תוצאה בלתי נתפסת. איך ייתכן שסכום של מספרים חיוביים יהיה משהו שלילי? איך ייתכן שסכום של מספרים שלמים יהיה שבר? איך ייתכן שסכום המספרים הטבעיים, …

פרדוקס האוטובוס הצפוף

אהוד אהרוני (שבנוסף למעלליו בפוסט הזה גם יוצר סרטוני וידאו די פנטסטיים למראה) פנה אלי עם סיפור שאותו המציא: ישנה עיירה ובה מפעל, ובכל יום הפועלים נוסעים למפעל באוטובוס. יש 30 פועלים ועומדים לרשותם 3 אוטובוסים שממתינים בחניה, וכל פועל בוחר באקראי לאיזה אוטובוס לעלות (כלומר, לכל אוטובוס יש את אותה הסתברות להיבחר על ידי …

קרוסקל את פרים – בוני מבוכים בע"מ

נתחיל מהשורה התחתונה – בפוסט הזה אני רוצה להסביר איך אפשר לכתוב תוכנית מחשב שמייצרת מבוכים כמו זה: אבל כרגיל, יש לי גם מטרה נסתרת זדונית; אני רוצה להשתמש במבוכים כתירוץ כדי להציג שלל אלגוריתמים בסיסיים בתורת הגרפים, יחד עם מימוש שלהם, ודיון על סיבוכיות זמן ריצה ומבני נתונים ועוד שלל דברים נפלאים. כך שהמבוכים …

איך אקסיומת הבחירה הופכת אותנו ל(כמעט) יודעי כל

הנה חידה: אליס ובוב משחקים במשחק. אליס בוחרת פונקציה ממשית $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ כלשהי. בוב בתורו בוחר איזה שהוא מספר $latex x\in\mathbb{R}$, ואז אליס מגלה לו את ערכי $latex f$ על כל מספר ממשי פרט ל-$latex x$, דהיינו מגלה לו את הקבוצה $latex \left\{ \left(y,f\left(y\right)\right)\ |\ y\ne x\right\} $. כעת בוב מנחש מהו $latex f\left(x\right)$, ומצליח …

מספרי עבגד

פרוייקט "התלמיד והמחשב" בעיצומו, ואני רוצה בפוסט הזה לדבר גם כן על תכנות, אבל על בעיה לא קשורה שאינה מופיעה בספר, אלא צצה לה בדיון בדף הפייסבוק של עבגד יבאור. הבעיה היא כזו: קחו את המספר האהוב עליכם, נאמר 42, וכתבו אותו בעברית: "ארבעים ושתיים". עכשיו, לזוג המילים "ארבעים ושתיים" יש ערך גימטרי, מהו? באופן …

המשחק נים – הגרסה האינטראקטיבית!

המשחק נים תמיד היה אחד מהמשחקים המתמטיים האהובים עלי, וכעת גם אתם יכולים ליהנות, ממש כאן בתוך הבלוג! חוקי המשחק: יש מספר כלשהו של שורות ובכל שורה מספר כלשהו של עצמים – פטריות, במקרה שלנו. בכל תור, עליכם לבחור עצם באחת (ורק אחת!) מהשורות ולסלק מהשורה אותו ואת כל מי שמשמאלו. לאחר מכן גם המחשב …

נוסחת טאפר – הנוסחה שמציירת את עצמה

בואו ניגש ללב העניין. התבוננו בנוסחה הבאה: $latex \frac{1}{2}<\left\lfloor \mbox{mod}\left(\left\lfloor \frac{y}{17}\right\rfloor 2^{-17\left\lfloor x\right\rfloor -\mbox{mod}\left(\left\lfloor y\right\rfloor ,17\right)},2\right)\right\rfloor $ בלי פאניקה! הכל יוסבר. ראשית, סימנים: $latex \left\lfloor a\right\rfloor $ מסמל את הערך השלם התחתון של המספר $latex a$, שמוגדר להיות המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-$latex a$. למשל, $latex \left\lfloor \frac{5}{3}\right\rfloor =1$ ואילו $latex \left\lfloor …

הקסם שבריבועי קסם

בואו נתחיל עם צפיה בקסם המרהיב שבסרטון בלינק הבא: http://vimeo.com/60852161 למי שלא יכול או לא רוצה לראות וידאו (למרות שכדאי, מכיוון שנתעמק בפרטיו אחר כך), מה שקורה פה הוא הדבר הבא: לקוסם יש חבילה של קלפים (לא קלפי משחק) עם מספרים שונים ומשונים עליהם – לא רק מספרים בין 2 ל-13 כמו בחפיסת קלפי משחק …

שיטת "הכפל היפני"

באינטרנט מסתובב לו לאחרונה להיט חדש: שיטת כפל שלכאורה נלמדת על ידי היפנים בבית הספר היסודי – מעכשיו אכנה אותה "כפל יפני", למרות שאין לי שום מושג (וזה גם לא ממש מעניין אותי) אם אכן השיטה נלמדת ביפן או לא. איך זה עובד? בואו נתחיל עם תמונה: והנה גם סרטון שמסביר את השיטה: אנסה להסביר …

מראה מראה שעל הקיר, למה את מבדילה בין ציר וציר?

הכירו את ונוס החתולה (אמיתית לגמרי, זה לא פוטושופ): כמו הלהיט הנוכחי Tard the Grumpy Cat (גגלו!) כך גם ונוס הפכה ללהיט אינטרנט אדיר אפילו ביחס לחתולה (חתולים הם שליטי האינטרנט הבלתי מעורערים) בשל הפנים המחולקות באופן מושלם שלה: צד ימין שלהן שחור, וצד שמאל כתום. בהתחלה רציתי לעשות את הפוסט הנוכחי עם דו-פרצוף של …

פרדוקס בוחן הפתע

בסוף השיעור של יום חמישי חייך פרופסור גונוסובסקי חיוך זדוני, ואמר בעונג לתלמידיו "ובשבוע הבא אערוך בוחן פתע!" ויצא מהכיתה כרוח סערה. מייד קמה התלחשות אדירים בכיתה. "בוחן פתע?", "מותר לו לעשות את זה בכלל?", "מה זה אומר, שהוא יערוך מבחן בלי לומר מראש באיזה יום?", "אבל אם לא יודעים את היום איך נדע להתכונן …