בסיסי ספירה

בואו נדבר על 12. מה זה 12? סביר להגיד שזה המספר שאחד מהשמות שלו הוא "תריסר" וזה גם נכון, אבל 12 יכול לומר עוד דברים, למשל שמונה-עשרה. או חמש. בפוסט הזה אני רוצה להסביר את ההגיון מאחורי זה, בצורה שאני מקווה שתהיה נגישה לכל קורא אפשרי. נתחיל מההתחלה. מה זה "תריסר"? זה השם שאנחנו נותנים …

משפטי סילו

מבוא אחת מהתוצאות הבסיסיות על המבנה של חבורות שראינו הייתה משפט לגראנז': אם \(G\) חבורה סופית ו-\(H\) תת-חבורה שלה אז הסדר של \(H\) מחלק את הסדר של \(G\). המשפט הזה מייד העלה את השאלה אם גם הכיוון ההפוך נכון: אם \(G\) חבורה סופית מסדר \(n\) ו-\(k\) מחלק את \(n\), האם קיימת ל-\(G\) תת-חבורה מסדר \(k\)? …

פעולה של חבורה על קבוצה

מה זה בכלל בפוסט הקודם שלי דיברתי על סימטריות. סימטריה של צורה כלשהי הייתה פונקציה מהמישור לעצמו (הפיכה ומשמרת מרחקים) שכשהיא הופעלה על הצורה הזו החזירה כפלט את הצורה עצמה. אולי היא "ערבבה" את הנקודות שמרכיבות את הצורה, אבל קבוצת כל הנקודות של הצורה עברה לעצמה. סימטריות היו חבורה, ביחס לפעולה של הרכבת פונקציות; זו …

החבורה הדיהדרלית

פעם אחת, לפני שנים רבות רבות, לפני שעוד היו לפטופים ואולי בכלל לפני המצאת המחשב, נהגו להשתמש במשהו מוזר שנקרא "שקפים" כדי להראות מצגות. שקף, כשמו כן הוא, היה דף שעשוי מחומר שקוף שהאור עובר דרכו. על השקף היו כותבים או מדפיסים טקסט, תמונות וכדומה, ואז שמים אותו על "מקרן" שהיה מעביר דרכו אור ואז …

בואו נדבר על מכפלות של חבורות וחבורות אבליות

מכפלה של חבורות את סדרת הפוסטים על חבורות התחלנו בלהסביר מה זו חבורה, ואז לנסות להבין איך נראות החבורות הקטנות ביותר, להסתבך, להתייאש ולעבור לדברים אחרים, תיאורטיים וכלליים יותר. עכשיו אני רוצה לחזור לשאלת "אילו חבורות יש". כפי שכבר ראינו, חלק מהבעיה עם מענה לשאלה הזו היא שקשה לנו לתאר חבורות. לכתוב טבלת כפל זה …

חבורות של תמורות

מבוא עד כה בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות ראינו תוצאות אבסטרקטיות שנכונות לכל החבורות (או לכל החבורות הסופיות), ובתור דוגמא ראינו את חבורת השלמים. הבעיה היא שזו דוגמא פשוטה מדי: ראינו שהשלמים הם חבורה ציקלית, וגם החבורות שמוגדרות באמצעותה (תתי-החבורות וחבורות המנה שלה) הן ציקליות. חבורות ציקליות הן מאוד פשוטות וכבר הבנו את המבנה …

משפטי האיזומורפיזם של חבורות

בפוסט הקודם שלי דיברתי על משפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות שאמר ש-\(G/\ker f\cong\text{Im}f\) לכל הומומורפיזם \(f\) שמוגדר על \(G\) (או בניסוח אחר, אם \(G\to H\) הוא הומומורפיזם על, אז \(G/\ker f\cong H\)). המילה "הראשון" מרמזת שיש עוד משפטי איזומורפיזמים, ואני הולך להציג אותם בפוסט הזה. בדרך כלל מדברים על שלושה משפטי איזומורפיזם, אבל אני רוצה …

הומומורפיזמים של חבורות

בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות פיזרתי עד כה על ימין ועל שמאל הבטחות מסוג "שתי החבורות הללו הן בעצם אותו הדבר במובן מסויים כלשהו שאני לא אומר עליו כלום כרגע אבל בבקשה בבקשה תאמינו לי". הגיע הזמן להציג את המובן הזה, וגם לראות איך הוא מתקשר כמעט מאליו למושגים של תת-חבורה וחבורת מנה שהצגתי …

קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה

בפוסט הקודם של תורת החבורות דיברנו על תתי-חבורות והזכרתי את משפט לגראנז'. המשפט אומר שאם $latex G$ היא חבורה סופית, ו-$latex H$ היא תת-חבורה שלה, אז $latex \left|H\right||\left|G\right|$ – הסדר של $latex H$ מחלק את הסדר של $latex G$ ("סדר" של חבורה הוא מספר האיברים בה). כבר ראינו למשפט שני שימושים לא טריוויאליים – שכל חבורה …

תתי-חבורות וחבורות ציקליות

בפוסט הקודם הצגתי את המושג של חבורה. ראינו כמה דוגמאות, ואז ניסינו להבין מהן החבורות הפשוטות ביותר. הגענו עד גודל 5 לפני שהתייאשנו משיטת העבודה עם טבלת כפל והגענו למסקנה שצריך כלים יותר נוחים, אבל כבר הספקנו לראות תופעה מוזרה: הייתה רק חבורה בודדת לכל גודל מ-1 עד 3, בעוד שמגודל 4 היו כבר שתי חבורות …

אז מה זו בעצם חבורה?

את סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת אני רוצה להתחיל עם המושג שבדרך כלל מתחילים ממנו ספרים באלגברה מופשטת – חבורה. זה לא המושג הראשון שסטודנטים נתקלים בו (לרוב הם פוגשים קודם שדות ומרחבים וקטוריים) וגם לא המושג הפשוט ביותר, אבל הוא פשוט דיו ושימושי דיו כדי להוות נקודת התחלה טובה. אז בואו ננסה להבין …

אז מה זו אלגברה מופשטת?

אני רוצה להתחיל סדרת פוסטים על נושא שאמנם הופיע לא מעט בבלוג בעבר, אבל תמיד בתפזורת שכזו ונותרו בו הרבה חורים, ולדעתי הגיע הזמן להציג אותו בצורה מסודרת יותר – אלגברה מופשטת. קשה להפריז בחשיבות התחום הזה – הוא ככל הנראה אחד מעמודי היסוד המרכזיים של המתמטיקה בימינו. לטעמי האישי הוא גם מהיפים והמעניינים שבהם, …

בואו נפתור את הבגרות במתמטיקה! (חלק ב')

אני ממשיך את מה שעשיתי בפוסט הקודם – פותר בחינת בגרות במתמטיקה, והפעם את חלק ב' שלה. והפעם, כבונוס, אני מתאר שתי טעויות מביכות במיוחד שהיו לי בפתרונות ולא שמתי לב אליהן בזמן אמת! הבגרות היא שאלון 317 של קיץ 2016. שאלה 1 אה, גאומטריה אנליטית. זה הולך להיות מעניין. מצד אחד, זה תחום חשוב …

בואו נפתור את הבגרות במתמטיקה! (חלק א')

בשנים האחרונות יש עיסוק הולך וגובר בבגרות במתמטיקה. טוב, על מי אני עובד, תמיד התעסקו בה. אבל בשנים האחרונות עניין 5 יחידות עלה לכותרות שוב ושוב. זה מעורר בי את התהיה – האם אני יודע לפתור את הבגרות במתמטיקה בימינו? את הבגרות שלי עשיתי אי-שם בשנת 2000, לפני שהתחלתי ללמוד מתמטיקה ברמה אוניברסיטאית. התחושה שלי …

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין – ועכשיו בגרסת המלון של הילברט!

אני הולך לעשות משהו שעדיין לא עשיתי בבלוג – לכתוב מחדש פוסט על נושא שכבר יש לי פוסט עליו בדיוק; במקרה הנוכחי, הוכחת משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין. כאילו שזה לא מעליב מספיק, אני אתן פה את אותה ההוכחה כמו בפוסט ההוא. אז למה לכתוב פוסט חדש? כי מאז הפוסט ההוא יצא לי להרצות כמה פעמים בקורסי תורת …

סדרות לוקאס ומבחני ראשוניות

בפוסט הקודם התעסקתי בראשוניי מרסן והקשר הקרוב שלהם למספרים מושלמים. זה עשה לי חשק לדבר על עוד סיבה שבגללה ראשוניי מרסן הם מעניינים, אולי הסיבה הבולטת ביותר למי שלא מתעסקים במתמטיקה ונתקלים מדי פעם בכותרות בעיתונים: יש מבחן לבדיקת ראשוניות של מספרי מרסן שהוא יעיל בצורה יוצאת דופן ובזכותו הצלחנו לגלות מספרים ראשוניים שהם גדולים …

מספרים מושלמים וראשוניי מרסן

לפני זמן מה פנה אלי מישהו בשאלה – הוא הסתכל על רשימת המספרים המושלמים (מה זה מספר מושלם? תכף נגיע לזה), שם לב לכך שכל המספרים בה מסתיימים ב-6 או ב-28 ורצה לדעת אם זה מקרי או לא. או אחת מהדרכים הנחמדות ביותר להציג נושא מתמטי – לשים לב לאיזו שהיא תופעה "אמפירית" ואז להתחיל …

צורת ז'ורדן והצורה הרציונלית – התיאוריה

הקדמה מרגשת הפוסט הזה מיועד לסגור את שרשרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית שעוסקים בנושא של צורות קנוניות – וככזה, כמובן שלא יהיה ניתן להבין ממנו כמעט כלום בלי לקרוא את הפוסטים הקודמים או בלי להכיר אלגברה לינארית. בכל זאת, בואו נתחיל עם מבוא ידידותי שמזכיר לנו מה בעצם אנחנו עושים כאן ולמה. אני עדיין …

על מספרים שאינם ניתנים למציאה בפיתוח העשרוני של 1/998001 ושברים דומים

המניע לפוסט הזה הוא וידאו של נמברפיל שאותו לא ראיתי וכרגיל בעניינים הללו אדבר כאן כאילו הוא לא קיים בכלל. הוא עוסק בקסם מתמטי נפלא, מהסוג שאפשר להסביר פחות או יותר לכולם (והפוסט הזה ינסה להיות נגיש לכולם, ואם אתם "כולם" ולא הבנתם אתם בהחלט מוזמנים להגיב בתגובות ואנסה לתקן). מה הקסם? בואו ניקח את …

משפט הפירוק הציקלי

חלק ראשון, שבו הרבה הגדרות והסערה היא רק הבטחה באופק בפוסט הקודם הצגתי את התכל'ס של צורת ז'ורדן, והבטחתי שאראה בהמשך גם את התיאוריה שמאחוריה. בפרט, למרות שהראיתי את השיטה למציאת צורת ז'ורדן, לא באמת הוכחתי שהיא קיימת או יחידה. בפוסט הזה נלך צעד אחד אחורה ונוכיח משפט שממנו אפשר לקבל יחסית בקלות הן את …