על משוואות בלי פתרון, ולמה זה לא רציונלי

בניית מערכת המספרים שלנו הגיעה בפעם הקודמת לנקודת שיא מסויימת – קיבלנו את השדה (ממציין 0…) הקטן ביותר – ולכן גם האובייקט הבסיסי בענף של תורת השדות. משמעות המילה "שדה" היא שקיבלנו סגירות לארבע פעולות החשבון הבסיסיות, ולכן גם את היכולת לפתור כל משוואה ממעלה ראשונה. אולם הצרות מתחילות כבר במשוואות ממעלה שנייה – ולמעשה, …

הדרך השלילית אל שדות הרציונליות

בפעם הקודמת ראינו כיצד מרחיבים את מערכת המספרים שלנו כדי שתכיל שברים. כעת נראה כיצד מרחיבים אותה כדי שתכיל מספרים שליליים. ההרחבה תתבצע באופן דומה להרחבה שכבר ראינו – נגדיר את מערכת המספרים שלנו באמצעות זוגות של מספרים מהמערכת הקודמת. מהבניה שלנו נקבל כי המספר $latex x=(a,b)$, שמשמעותו האינטואיטיבית היא "$latex a-b$", הוא המספר שמקיים …

נקודת השבר

בפוסט הקודם ראינו את המספרים הטבעיים ואת הצורה הפורמלית שבה מגדירים אותם. לאחר שקיבלנו אותם, מופיעה בצורה טבעית למדי המוטיבציה להרחיב את אוסף המספרים שלנו על ידי הכללת מספרים משני "סוגים" חדשים – שברים ומספרים שליליים. למרות שמדובר בשתי בניות שונות של מערכות מספרים שלכאורה אין בינן קשר של ממש, בשני המקרים המוטיבציה להרחבה דומה, …

תבוא טבעי

כל נסיון לדון במספרים צריך להתחיל מהמספרים הטבעיים. הן בגלל שהבניה של שאר המספרים מתבססת עליהם, והן בגלל שהם המספרים היחידים שאין עליהם (כמעט) שום מחלוקת. יש כאלו שמפקפקים (או לפחות פקפקו) במספרים שליליים; $latex \sqrt{2}$ עורר לא מעט מהומות בזמנו; ועל i אין מה לדבר. אבל על המספרים הטבעיים יש הסכמה כללית, פחות או …

איי!

לפני מספר שנים (ליתר דיוק: ב-11/10/2004) פורסמה בעיתון "הארץ" ידיעה שדיווחה על סקר שביצע המגזין "Physics World" במטרה לדרג את הנוסחאות האהובות על קוראיו. אפשר ללעוג מכאן ועד להודעה חדשה על תחרות יופי שכזו (לטעמי, יופי מתמטי או פיזיקלי מוצא את ביטויו ברעיונות, לא במשוואות) אך מכיוון שברור שהסקר לא לקח את עצמו ברצינות, אין …

דילמת הבלונדינית האלטרואיסטית

בפוסטים הקודמים הצגתי את שיווי משקל נאש. גם מי שלא שרד אותם יוכל להתעניין (ולהבין!) בדוגמה נוספת שלו, הפעם של הבעיה המפורסמת ביותר מהתחום (עד שזכתה שספר מדע פופולרי העוסק בו יקרא על שמה) – "דילמת האסיר". הבעיה לא הומצאה על ידי נאש אלא מספר שנים לאחר שהציע את מושג שיווי המשקל שלו, והיא מעניינת …

נפלאות אי התבונה (חלק ד')

משסיימנו לעסוק במשחקי סכום-אפס, נוכל סוף סוף להציג את המושג של שיווי משקל נאש. הרעיון הבסיסי שבהכללה של נאש מבוסס על אותו רעיון מנחה שקיים גם במשפט המינימקס: למצוא אסטרטגיות ש"לא משתלם" לשחקן להחליף בהינתן מה ששאר השחקנים עושים. "שיווי משקל נאש" הוא פשוט בחירה של אסטרטגיה לכל אחד מהשחקנים כך שלאף שחקן לא משתלם …

נפלאות אי התבונה (חלק ג')

לפני שנעבור לשיווי משקל נאש, השלמה קטנה-גדולה: בתיאור החפיפניקי שלי את משפט המינימקס השמטתי את הנקודה המרכזית והחשובה ביותר בו. כעת אנסה לתקן את המעוות, ולשם כך אגלוש ליותר פורמליזם מתמטי, שגם יסביר מהיכן צצה המילה "מינימקס". לצורך נוחות, מתארים את התוצאה של כל תרחיש במשחק (כלומר, מה שקורה אחרי שכל אחד משני השחקנים בחר …

נפלאות אי התבונה (חלק ב')

לפני שנעבור לדבר על שיווי משקל נאש כדאי לומר כמה מילים על מהו ה"משחק" שבו עוסקת תורת המשחקים ומהו "פתרון" עבורו, ולהתמקד במקרה פרטי מעניין שלהם. משחק, בצורה לא מדויקת, הוא סיטואציה שבה נמצאים כמה משתתפים, שלכל אחד מהם מספר דרכי פעולה ("אסטרטגיות") שונות ("אני אלך על הבלונדינית", "אני אלך על הברונטית"). לכל צירוף של …

נפלאות אי התבונה (חלק א')

הסרט "נפלאות התבונה" מבוסס בצורה כלשהי על חייו של המתמטיקאי ג'ון פורבס נאש, מחלוצי תורת המשחקים. הביקורת על הסרט מתמקדת בדרך כלל בצורה המאוד לא מדויקת שבה היא מציגה את החיים הללו (השאלה למה מתמטיקאים בדרך כלל מוצגים בקולנוע כחבורה של טרלהלהלה היא נושא לדיון בזמן אחר), אבל קשה לומר שאפשר היה לצפות למשהו אחר …

מה שהיה הוא שיהיה

כל מי שאוהב מתמטיקה מוצא את עצמו נאלץ להתגונן פה ושם מפני מבטים חקרניים ושפתיים רועדות ששואלות את השאלה המתבקשת: “למה"? וגם אני לא פטור מכך. מכיוון שלענות לשאלה זה קשה, ואולי גם בלתי אפשרי (איך אומרים "כי זה מה שאני אוהב" בצורה שתהווה שכנוע אובייקטיבי?) חשבתי לנסות ולתקוף את הבעיה מכיוון אחר – אולי …