צורת ז'ורדן, התכל'ס

מבוא ובו סיפור חיים מרגש ומטריצות, הרבה מטריצות בזמנו כתבתי סדרת פוסטים על אלגברה לינארית, ששיאה היה אמור להיות פוסט על צורת ז'ורדן. בפועל הגעתי עד למשפט הפירוק הפרימרי (גם זה סוג של שיא) ושם נתקעתי, כי את צורת ז'ורדן לא הצלחתי להציג בצורה משביעת רצון, אפילו לא לעצמי, ולמרות שזה נושא שכבר הכרתי מכמה …

על יריעות ותבניות (מה משפט סטוקס אומר, בגדול)

מבוא כל סדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית עד כה תיארה פחות או יותר את מה שרואים בקורס הבסיס בנושא (שלרוב זוכה לשמות כמו "חדו"א 2" או "אינפי 3" או "חשבון אינפיניטסימלי במספר משתנים" וכדומה). ה"שיא" של קורסי הבסיס הוא משפטי גאוס וסטוקס. זה נושא יפה, מעניין ובעיקר שימושי ביותר; אבל כשאני סיימתי ללמוד אותו …

איך חישב ארטוסתנס את היקף כדור הארץ

יום אחד, לפני אלפיים ומשהו שנים, קם אדם בבוקר והחליט שהופס – היום הוא ימדוד את היקף כדור הארץ. הלך כמה צעדים, עמד בשמש, מדד איזה צל שהיה בסביבה, עשה עוד איזה חישוב – וסיים! הוא חישב את היקף כדור הארץ, ברמת דיוק טובה למדי. בלי לצאת למסע שמקיף את כל כדור הארץ. בלי תמונות …

ההוכחה הארוכה ביותר בהיסטוריה! (או: איך פותרי SAT מתגברים על בעיות קומבינטוריות, אבל היי זה שם פחות מפוצץ)

לפני חודש וקצת הצליחה תוצאה מתמטית נחמדה להיכנס אל החדשות לא בשל הסיבות שבגללן היא טובה, אלא בעיקר אלו שבגללן היא בעייתית: ההוכחה שלה היא (לכאורה) בגודל מפלצתי של 200 טרה-בייט. כמה זה הרבה? נאמר, זה פי 40 יותר מידע מאשר היה בשרתי ויקיפדיה ב-2010, ויש עוד שלל המחשות. בקיצור, זה הרבה מאוד. הנתון הזה …

בואו נוכיח שיש אינסוף ראשוניים!

אחת מהתוצאות המתמטיות הבסיסיות המפורסמות ביותר היא שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. זו תוצאה נפלאה, בגלל שכל כך קל לומר מה בדיוק היא אומרת, מאוד קל להוכיח אותה, והיא אומרת משהו לא מובן מאליו ובעל השלכות מעניינות. בפוסט הזה אני ארצה להציג במרוכז שלל הוכחות של התוצאה הזו ולומר עליהן כמה דברים נחמדים. אני אלך אחד-לאחד …

על מטבעות, שיקויים ובסיסי ספירה

אני רוצה לתאר הפעם שתי חידות מפורסמות. הן לא קלות, אבל לשתיהן יש פתרון טריוויאלי וכמעט מיידי למי שמצויד בידע המתמטי הנכון, ולכן הן כל כך נחמדות. נתחיל מלהציג אותן; כתמיד, אני מזמין את כל מי שנקלע בטעות לפוסט הזה, אפילו אם הוא נטול ידע במתמטיקה לחלוטין, לנסות לפתור אותן – זה אפשרי גם בלי …

אינטגרל משטחי

בפוסט הקודם דיברנו על אינטגרל קווי, שהוא מה שמקבלים כשמנסים לבצע אינטגרציה על פונקציות שחיות ב-$latex \mathbb{R}^{n}$ אבל על תחום שהוא חד-ממדי. הצליח לנו יפה, וכמובן שאצל מתמטיקאים הגישה היא שאם משהו עובד יפה במימד אחד למה לא לנסות גם בשני מימדים. זה מוביל אותנו אל אינטגרל משטחי שהוא האנלוג המתאים. התוצאה? אסון טוטאלי. הכל יוצא …

האם סדרת פיבונאצ'י מסתתרת באלפבית העברי?

בסדרת הפוסטים שלי על דילוגי אותיות בתורה אמרתי פחות או יותר את כל מה שיש לי לומר על הנסיונות המוזרים לרתום את מה שנראה כמו צירופי מקרים בלתי אפשריים כדי "להוכיח" משהו שלא באמת יכולה להתקיים עבורו הוכחה. אבל זה לא אומר שלא מתחשק לי לפעמים לכתוב על נסיונות כאלו, בתנאי שהם נותנים לי תירוץ …

אינטגרל קווי

בראשית בראו ניוטון ולייבניץ את אינטגרל רימן (רימן בא אחרי ניוטון ולייבניץ, אז מה זה השם הזה? לא נורא, בכל סיפור בריאה טובה צריך סתירות פנימיות). ויהא אינטגרל רימן אינטגרל של פונקציה $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ שמוגדר על קטע $latex \left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}$. ויהי ערב ויהי בוקר אינפי 1. ההתחלה הזו כל כך יפה ונקייה, ומייד אחריה מגיע תוהו …

החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – המשפט הכללי

אחרי פוסט המבוא בנושא, אנחנו רוצים להוכיח את משפט החלפת המשתנים הכללי בחדו"א, עבור אינטגרלים $latex n$-ממדיים. לפני הכל נתחיל בלהזכיר מה המשפט אומר: אם $latex g:A\to B$ היא דיפאומורפיזם של קבוצות פתוחות ב-$latex \mathbb{R}^{n}$ ו-$latex f:B\to\mathbb{R}$ רציפה, אז $latex f$ אינטגרבילית מעל $latex B$ אם ורק אם $latex \left(f\circ g\right)\left|\det Dg\right|$ אינטגרבילית מעל $latex …

שני דברים מתפלגים אחיד: ראשוניים וטעויות בעיתונים (ואני לא בטוח בקשר לראשוניים)

  לא מזמן עלתה לכותרות בעיתונות תוצאה מתמטית חדשה שעוסקת במספרים ראשוניים. זה די הפתיע אותי כי התוצאה היא אמנם מעניינת, אבל למה שתעניין במיוחד אנשים שאינם מתעניינים במתמטיקה? אולי בגלל האופי שלה, שנראה על פניו "אמפירי" משהו; אולי בגלל שיש איזו הילה קסומה למספרים ראשוניים; ואולי פשוט בגלל שמישהו במחלקת יחסי הציבור הרלוונטית עשה …

האם תלמידה גילתה משפט חדש בגאומטריה אוקלידית? (לא, אבל זה עדיין נחמד)

הנה סיפור יפה על איך ראוי, לדעתי, ללמד וללמוד מתמטיקה בבית הספר התיכון: תמר ברבי, תלמידת כיתה י', הכינה שיעורי בית בגיאומטריה ושמה לב לכך שאפשר לפתור את אחד התרגילים בדרך נוספת. היא הציגה את הדרך הזו בכיתה והמורה העיר שמשפט שעליו היא הסתמכה בדרך הזו לא באמת קיים, ועודד אותה לנסות להוכיח את המשפט …

מידת ז'ורדן ואינטגרלים מוכללים

הפוסט הזה יהיה קצת טכני ובהתחלה קיוויתי להימנע ממנו, אבל זה יכריח אותי לבצע קפיצות מהירות וגדולות מדי בפוסטים בהמשך, ואני חושב שהנושא הנוכחי מספיק מעניין בפני עצמו. מה שאנחנו רוצים לעשות הוא להבין קצת יותר טוב איך נראים אינטגרלים ב-$latex \mathbb{R}^{n}$ שמוגדרים לא על קוביות אלא על קבוצות מסובכות יותר – ומתי זה בכלל …

על כדורים שטוחים וחצאי הרים

יש אנשים שאם מביאים להם כדור, נאמר כדור הארץ, מייד מתחילים להגיד שלא! זה שטוח! זה מישור! כי הנה, תראו, אני עומד על הכדור, ואני מסתכל לכל הכיוונים, ולכל אשר אני מסתכל, הכל שטוח! אז זה מישור! לא כדור! לאנשים הללו קוראים "מתמטיקאים" ומה שהם מתארים פה הוא את המושג של יריעה שהוא אחד המושגים …

החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה")

היעד הנוכחי של סדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית הוא משפט כבד למדי – משפט החלפת המשתנים. אבל לפני שנצלול למעמקים הטכניים שלו, בואו נחזור לרגע לחדו"א של משתנה יחיד ונדבר על איך משפט החלפת המשתנים נראה שם, גם כי זה נותן לנו נקודת אחיזה למשפט הכללי והמסובך יותר, וגם כי מעולם לא כתבתי על …

אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים

בסדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית סיימנו לעת עתה לדבר על נגזרות, ואנחנו עוברים אל עמוד התווך השני של האנליזה – אינטגרלים. הדיון באינטגרלים מתחלק לשלושה שלבים: בשלב הראשון, שהוא מה שנעשה הפעם, אנחנו לוקחים את אינטגרל רימן התמים והנחמד מחדו"א בסיסית ורואים איך ההגדרות שלו מוכללות באופן טבעי ל-$latex \mathbb{R}^{d}$ לכל $latex d$ טבעי. …

רקורסיה

הבדיחה הידועה אומרת שבמילון ההגדרה של רקורסיה היא "עיין ערך רקורסיה". אבל כנראה שזה לא מספיק טוב, כי ביקשו ממני פוסט על רקורסיות, וספציפית על רקורסיות במדעי המחשב. כך שהפוסט הזה הולך להיות עם מבוא כללי לא טכני, ואחר כך עם גלישה לפסים טכניים שיכולים להיות מאוד מעניינים עבור מי שמתעניין בדברים הללו ועוד לא …

משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות

פרק ראשון, ובו בקושי התחלנו וכבר אנחנו מעגלים פינות בואו נדבר על מעגל. מעגל הוא הצורה החביבה עלינו. אנחנו אוהבים את המעגל. מהו המעגל? עבורנו זה אוסף כל הנקודות ב-$latex \mathbb{R}^{2}$ שמרחקן מנקודה נתונה ("המרכז") הוא זהה (ונקרא "הרדיוס" של המעגל). איך אנחנו מודדים "מרחק"? אצלנו המרחק של $latex \left(x_{1},y_{1}\right)$ מ-$latex \left(x_{2},y_{2}\right)$ הוא $latex \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$. …

אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון

חלק ראשון, שבו אנו מוצאים ערכי קיצון מקומיים אחד מהשימושים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שאפשר להציג כבר בשלב מוקדם יחסית, כבר אחרי שראינו מהי נגזרת, הוא פתרון בעיות אופטימיזציה. למשל, מה הזווית הטובה ביותר שבה כדאי לזרוק כדור אם אנחנו רוצים למקסם את המרחק שהוא יגיע אליו. בבעיות כאלו יש לנו מערכת שההתנהגות שלה …

אז בנוגע למתמטיקה ובית הספר…

עד היום נמנעתי כמעט לגמרי מהתייחסויות בבלוג אל מה שהוא אולי הדבר החשוב ביותר למרבית הציבור בכל הנוגע למתמטיקה – האופן שבו נלמדת מתמטיקה בבתי הספר. האדם הממוצע הולך לפגוש את המתמטיקה כמעט אך ורק במסגרת הזו, והמסגרת היא זו שתקבע מה תהיה ההתרשמות שלו מהמתמטיקה. וכפי שכולנו יודעים, ההתרשמות הזו היא כמעט תמיד שלילית. …