אנליזה מרוכבת – זה הרגע לגלות את הנפשות הפועלות

אחרי שמציגים את המושגים הבסיסיים שקשורים למספרים מרוכבים, יש שתי דרכים להמשיך ולפתח את האנליזה המרוכבת. דרך אחת היא לקחת את ההגדרות המוכרות מחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של מספרים ממשיים, להכליל אותן ולהתחיל להוכיח משפטים; דרך אחרת היא קודם כל להציג כמה מהפונקציות העיקריות שבהן אנו מתענייינים באנליזה המרוכבת ולהסביר קצת על האופן שבו נהוג לתאר …

עקרון ההכלה וההפרדה, ואז הכללה והפחדה

אני רוצה לדבר הפעם על מושג חשוב בקומבינטוריקה ובחיים בכלל – עקרון ההכלה וההפרדה. הדובדבן שבקצפת יהיה להראות איך הוא קשור למשפט בתורת המספרים – נוסחת ההיפוך של מביוס, אבל עוד חזון למועד, בפוסט הבא. קודם כל נבין מהו עקרון ההכלה וההפרדה ואיך עושים איתו דברים מעניינים, ואז נבין מה הוא אומר באמת, כלומר נציג …

הדרך מהאקספוננט לטריגונומטריה רצופה משוואות דיפרנציאליות מסדר שני

בפוסט הקודם עסקתי באופן שבו פונקציית האקספוננט, $latex e^{x}$, "צצה באופן טבעי" בתור פתרון המשוואה הדיפרנציאלית $latex f^{\prime}=f$ עם תנאי ההתחלה $latex f\left(0\right)=1$. כעת אני רוצה להרחיב קצת יותר על פתרון משוואות דיפרנציאליות, כשהיעד הסופי הוא הגעה למשוואות שפתרונן דורש סינוסים וקוסינוסים (כפי שנראה, משוואות כאלו קשורות בקשר הדוק לפונקצית האקספוננט), ובכך לקבל מוטיבציה לא …

נעים להכיר – אקספוננט

בפוסט הזה אני רוצה לדבר על אחת הפונקציות החשובות והמרכזיות במתמטיקה – פונקצית האקספוננט, או כפי שבדרך כלל מכירים אותה בימינו, $latex e^{x}$. בראש ובראשונה זו תהיה גם היכרות עם הקבוע $latex e$ שב"בסיס" הפונקציה, וגם הסבר מדוע היא מצורה זו בכלל. כמו שקורה רבות במתמטיקה, הפונקציה צצה בהקשרים רבים ושונים, ובהתאם לכך יש לה …