משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין – ועכשיו בגרסת המלון של הילברט!

אני הולך לעשות משהו שעדיין לא עשיתי בבלוג – לכתוב מחדש פוסט על נושא שכבר יש לי פוסט עליו בדיוק; במקרה הנוכחי, הוכחת משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין. כאילו שזה לא מעליב מספיק, אני אתן פה את אותה ההוכחה כמו בפוסט ההוא. אז למה לכתוב פוסט חדש? כי מאז הפוסט ההוא יצא לי להרצות כמה פעמים בקורסי תורת …

איור: המלון של הילברט

(איור: תמר עקביה. לחצו על התמונה לאיור בגודל מלא) אני בסך הכל רציתי איור קטן עבור הדף למתחילים (הפיצו לחבריכם!), אבל תמר עקביה החליטה להשקיע מעל ומעבר. תודה, תמר! מה רואים כאן? את המלון של הילברט והאופן שבו משכנים בו אוטובוס עם אינסוף אורחים – מקפיצים (מילולית, אצל תמר) כל אורח קיים לחדר שמספרו פי …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ג' ואחרון)

תקציר הפרקים הקודמים: הראיתי את פרדוקס האוסדורף, או כפי שהעדפתי לקרוא לו, "פרדוקס כמעט בנך-טרסקי". פרדוקס האוסדורף אמר כי ניתן לקחת את ספירת היחידה במרחב התלת ממדי $latex S^{2}$ (פניו של כדור שרדיוסו 1), להעיף מתוכה קבוצה בת-מניה של נקודות $latex D$, והתוצאה $latex S^{2}\backslash D$ תהיה קבוצה פרדוקסלית, כלומר ניתן יהיה לפרק אותה לשתי …

המלון של הילברט, או – מדוע יש גדלים שונים של אינסוף

אחת מהתוצאות היפות-ועם-זאת-נגישות במתמטיקה היא קיומם של אינסוף גדלים שונים של "אינסוף". כבר סיפרתי עליה בראשית ימי הבלוג, אבל נראה לי כדאי לתת לה פוסט חדש, שינסה גם להיות נגיש יותר מקודמו; אני מקווה שאת הפוסט הזה יוכלו להבין גם אנשים חסרי כל ידע במתמטיקה, כל עוד יש להם סבלנות ורצון ללמוד. צריך להתחיל מהשאלה …