פרוייקט "התלמיד והמחשב", בעיה 25

סוף סוף הגענו אל בעיה עם בשר אמיתי, וכזו שתיתן לנו תירוץ להזכיר קצת מתמטיקה, ברמה יותר גבוהה מזו שהוזכרה בספר. נתחיל מהבעיה עצמה, שהיא פשוטה למדי לניסוח ולמרבה הצער, מנוסחת בלשון צבאית: בפלוגה כלשהי יש לנו 100 חיילים. מהם חלק הם טוראים, חלק הם סמלים וחלק הם קצינים. משכורתו של טוראי היא 1 ש"ח, …

הבעיה העשירית של הילברט – מבוא

בראשית ימי הבלוג הזכרתי בפוסט את הבעיה העשירית של הילברט, שהיא אחד מהנושאים המתמטיים החביבים עלי אישית, ומאז לא חזרתי לשם. הסיבה המרכזית הייתה שהתיאור המלא של פתרון הבעיה דורש גלישה לפרטים טכניים לא פשוטים כלל והעדפתי להימנע מזה (במילים אחרות – עצלנות); עם זאת, אני חושב שהגיע הזמן לנסות ולהתמודד עם האתגר הלא פשוט …

אז מהו שדה המספרים ה-p-אדיים?

בפוסט הקודם דיברתי על משוואות דיופנטיות, והפעם אגש ישר לעניין. נניח שמבקשים מאיתנו לפתור את המשוואה $latex x^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7\right)$. אפשר לשאול למה בכלל ידוע שיש למשוואה הזו פתרון, ואפשר לדבר על דרכים כלליות לפתור אותה, אבל לא אכנס לכך כרגע – רק אעיר שבגלל ש-$latex 7$ ראשוני, יש דרכים שיטתיות לעשות זאת – אריתמטיקה מודולרית …

משוואות דיופנטיות, ולמה בגללן אנחנו מתעניינים במספרים p-אדיים?

לפעמים מתקבל הרושם השגוי שמה שהמתמטיקאים עוסקים בו הוא "פתרון משוואות". לכן מחשבים אנושיים שמסוגלים לומר מהו השורש השביעי של 5434245346 תוך חלקיק שניה נחשבים מייד לעילויי מתמטיקה. כמובן שהמתמטיקה ה"אמיתית" אינה כזו, ועם זאת העיסוק במשוואות הוא עדיין מרכזי מאוד במתמטיקה – אך באיזה מובן? מה שהמתמטיקאי עושה איננו לפתור משוואות ספציפיות על ידי …