הבעיה העשירית של הילברט – איך משוואת פל קשורה לכל העניין?

בואו נחזור לדבר על הבעיה העשירית של הילברט שעזבתי בשיא המתח – בדיוק לפני החלק הטכני ביותר, שנתחיל לטפל בו הפעם. תזכורת קטנה למי שאין לו כוח לקרוא את הפוסטים הקודמים: המטרה שלנו היא להוכיח שהפונקציה $latex f\left(n,k\right)=n^{k}$ – "הפונקציה האקספוננציאלית" – היא דיופנטית. כלומר, שקיימת מערכת של משוואות פולינומיות בשלמים עם המון משתנים ששלושה …

משוואת פל

אני רוצה לדבר הפעם על משוואת פל ואיך פותרים אותה. ממבט ראשון, משוואת פל היא בסך הכל איזו משוואה מוזרה שלא ברור מה טוב בה ומה מעניין בה ומה יפה בה, אבל אחרי שמתעמקים בה קצת ורואים דוגמאות, היופי שבעניין מתחיל לצוץ. זה לפחות היה התהליך שעבר עלי, ואני חושב שזה תהליך שמתרחש בתחומים רבים …

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק א' – מה זה חוג שלמים?

בפוסט הקודם על המשפט האחרון של פרמה הזכרתי קצת את התרומה של קומר; קומר הוכיח את המשפט עבור מחלקה גדולה למדי של מקרים (פורמלית, עבור ראשוניים שמקיימים תכונה מסויימת; לא ידוע אם יש אינסוף ראשוניים שמקיימים אותה אך מאמינים שיותר מחצי מהראשוניים אכן מקיימים אותה) תוך שהוא מתבסס על מושג מוזר של "מספרים אידאליים" שבא …

משוואות דיופנטיות, ולמה בגללן אנחנו מתעניינים במספרים p-אדיים?

לפעמים מתקבל הרושם השגוי שמה שהמתמטיקאים עוסקים בו הוא "פתרון משוואות". לכן מחשבים אנושיים שמסוגלים לומר מהו השורש השביעי של 5434245346 תוך חלקיק שניה נחשבים מייד לעילויי מתמטיקה. כמובן שהמתמטיקה ה"אמיתית" אינה כזו, ועם זאת העיסוק במשוואות הוא עדיין מרכזי מאוד במתמטיקה – אך באיזה מובן? מה שהמתמטיקאי עושה איננו לפתור משוואות ספציפיות על ידי …