מספרי ברנולי – ההוכחות

בפוסט הקודם הצגתי כמה תוצאות יפות שקשורות למספרי ברנולי, אבל לא הוכחתי כלום. הפעם אני רוצה לדבר על החלק המעניין – איך מוכיחים את מקצת הדברים הללו. המטרה שלי כאן היא כפולה – לא רק להראות לכם איך מוכיחים תוצאות ספציפיות, אלא בעיקר להראות לכם למה זה בכלל מעניין לראות הוכחות. הסיבות שלי פשוטות: לראות …

מספרי ברנולי

זה לא מכבר הזכרתי את חוק המספרים הגדולים של יעקב ברנולי. הפעם אני רוצה לדבר על מושג נוסף שברנולי אחראי לגילויו – מספרי ברנולי. אנסה ללכת בפוסט מהקל אל הכבד – אתחיל בלהסביר מה זה ולתת תוצאות לא מנומקות, ואחר כך (בפוסט הבא) נעבור להוכחות (שהן, לטעמי, החלק הכי מעניין כאן). נתחיל מהנוסחה הפשוטה $latex …

ההסתברות של מספרים זרים ואיך פאי נכנס לתמונה

באחת מהתגובות בבלוג שאלו אותי שאלה פשוטה – נניח שאנחנו מגרילים באקראי שני מספרים טבעיים, מה ההסתברות שהם יהיו זרים, כלומר שלא יהיה מספר טבעי גדול מ-1 שמחלק את שניהם גם יחד? התשובה היא $latex \frac{6}{\pi^{2}}$, מה שנראה מוזר מאוד במבט ראשון – מה פאי עושה כאן, הרחק מכל מעגל אפשרי? ותיקי הבלוג אולי מזהים …

אז מהי השערת רימן?

בנובמבר 1859, לפני קצת יותר ממאה וחמישים שנים, פרסם המתמטיקאי ברנרד רימן מאמר קצרצר, עשרה עמודים אורכו (או שמונה, תלוי את מי שואלים), שפחות או יותר בישר את לידת תורת המספרים האנליטית והכיל בתוכו, כמעט בדרך אגב, את מה שהפכה להיות הבעיה הפתוחה המפורסמת ביותר במתמטיקה – השערת רימן. לכבוד "יום ההולדת" של 150 שנים …

משפט דיריכילה על סדרות חשבוניות

פרט להיותו מעניין (ואפילו שימושי) לכשעצמו, משפט דיריכלה יכול להיחשב לתוצאה המשמעותית הראשונה של תורת המספרים האנליטית – אולי אפילו לתוצאה שפתחה את התחום והראתה שאפשר להוכיח דברים לא טריוויאליים, שהניסוח שלהם הוא אלגברי למהדרין, בעזרת שיטות אנליטיות, וזאת כשלא ידועות על שיטות אלגבריות פשוטות יותר (בכך הוא שונה מהוכחת אוילר על קיום אינסוף ראשוניים, …

הוכחת אוילר לקיום אינסוף ראשוניים

אני עוזב לבינתיים את העיסוק במשפטי גדל על מנת לקרוא עוד כמה ספרים בנושא, ולכן כתחליף החלטתי להציג נושא שונה לגמרי – תורת המספרים האנליטית. הרעיון הבסיסי של תורת המספרים הוא חקר תכונותיהם של המספרים הטבעיים; ה"אנליטית" עוסק בשיטות שמשתמשים בהן למחקר הזה – שימוש בכלים מתחום האנליזה המתמטית כמו גבולות, טורים והתכנסויות. זה תחום …