המחט של בופון

היום חל "יום פאי", כלומר תאריך היום הוא ה-14/3, שבארצות פחות מתוקנות נכתב כ-3.14, כלומר כמו התחלת הפיתוח העשרוני של הקבוע $latex \pi$, פאי (היחס בין היקף מעגל לקוטרו בגאומטריה האוקלידית) – ומכאן, תירוץ לחגוג ולאכול פאי עם פאי. מבחינתי זה תירוץ לכתוב פוסט על משהו שבו מופיע $latex \pi$, ורצוי משהו קליל יחסית. דוגמה …

איך ייתכן ש …+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!

בימים האחרונים משוטט ברשת סרטון של Numberphile שמציג "הוכחה" לסכום הבלתי נתפס הבא: $latex 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}$. במילים: הסכום של כל המספרים הטבעיים הוא מינוס (מינוס!) אחד חלקי שתיים עשרה. זו כמובן תוצאה בלתי נתפסת. איך ייתכן שסכום של מספרים חיוביים יהיה משהו שלילי? איך ייתכן שסכום של מספרים שלמים יהיה שבר? איך ייתכן שסכום המספרים הטבעיים, …

פרדוקס האוטובוס הצפוף

אהוד אהרוני (שבנוסף למעלליו בפוסט הזה גם יוצר סרטוני וידאו די פנטסטיים למראה) פנה אלי עם סיפור שאותו המציא: ישנה עיירה ובה מפעל, ובכל יום הפועלים נוסעים למפעל באוטובוס. יש 30 פועלים ועומדים לרשותם 3 אוטובוסים שממתינים בחניה, וכל פועל בוחר באקראי לאיזה אוטובוס לעלות (כלומר, לכל אוטובוס יש את אותה הסתברות להיבחר על ידי …

איך אקסיומת הבחירה הופכת אותנו ל(כמעט) יודעי כל

הנה חידה: אליס ובוב משחקים במשחק. אליס בוחרת פונקציה ממשית $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ כלשהי. בוב בתורו בוחר איזה שהוא מספר $latex x\in\mathbb{R}$, ואז אליס מגלה לו את ערכי $latex f$ על כל מספר ממשי פרט ל-$latex x$, דהיינו מגלה לו את הקבוצה $latex \left\{ \left(y,f\left(y\right)\right)\ |\ y\ne x\right\} $. כעת בוב מנחש מהו $latex f\left(x\right)$, ומצליח …

מראה מראה שעל הקיר, למה את מבדילה בין ציר וציר?

הכירו את ונוס החתולה (אמיתית לגמרי, זה לא פוטושופ): כמו הלהיט הנוכחי Tard the Grumpy Cat (גגלו!) כך גם ונוס הפכה ללהיט אינטרנט אדיר אפילו ביחס לחתולה (חתולים הם שליטי האינטרנט הבלתי מעורערים) בשל הפנים המחולקות באופן מושלם שלה: צד ימין שלהן שחור, וצד שמאל כתום. בהתחלה רציתי לעשות את הפוסט הנוכחי עם דו-פרצוף של …

פרדוקס בוחן הפתע

בסוף השיעור של יום חמישי חייך פרופסור גונוסובסקי חיוך זדוני, ואמר בעונג לתלמידיו "ובשבוע הבא אערוך בוחן פתע!" ויצא מהכיתה כרוח סערה. מייד קמה התלחשות אדירים בכיתה. "בוחן פתע?", "מותר לו לעשות את זה בכלל?", "מה זה אומר, שהוא יערוך מבחן בלי לומר מראש באיזה יום?", "אבל אם לא יודעים את היום איך נדע להתכונן …

מהי נוסחת סטירלינג ואיך היא מוכיחה את קיום מפלצת הספגטי המעופפת

דף הפייסבוק של "כנסיית מפלצת הספגטי המעופפת" פרסם את הסטטוס הבא: הרמתי היום מטבע, והתפללתי להוד איטריותה שבחצי מהזריקות אני אקבל עץ ובחצי השני אני אקבל פלי. בעזרת הדרכתה של אטרייתה הקדושה, המשאלה התגשמה. מה גדול כוחה, ונאמר ר'אמן. בהנחה שזה נכון (ואין סיבה שלא נאמין שזה נכון – זה נכתב בדף הפייסבוק של כנסיית …

אקסיומת הבחירה, עקרון הסדר הטוב, הלמה של צורן – מי יודע?

"אקסיומת הבחירה בבירור נכונה, עקרון הסדר הטוב בבירור שגוי, ובנוגע ללמה של צורן, מי יודע?" אמר המתמטיקאי ג'רי בונה. העוקץ פה הוא בכך שאקסיומת הבחירה, הלמה של צורן ועקרון הסדר הטוב כולם שקולים, אבל מה הם? אני רוצה להקדיש את הפוסט הזה לתיאור שלהם והוכחה (לא פורמלית עד הסוף) לשקילות. הרקע שלנו הוא תורת הקבוצות; …

מהמרים כושלים, שיכורים בביוב, ואלוהים

הטריגר לפוסט הזה הוא המאמר הבא ב-Ynet שמנסה לשכנע אותנו שיש אלוהים בגלל שיש אבולוציה. אבל נחכה עם החלק הלא מתמטי לסוף – הסיבה שאני כותב את הפוסט הזה היא שהוא מזכיר שם תוצאה מתמטית קטנה ונחמדה שהיא פתח לתחום מעניין או שניים ומזמן רציתי לכתוב עליה. התוצאה הזו נקראת לעתים "התרוששות המהמר" (Gambler's Ruin), …

NL=coNL ("משפט אימרמן") – מי, מה, כמה ולמה

בשעה טובה אנו עוברים לתיאור התוצאה השניה ב"תוצאות מפתיעות בסיבוכיות" – הטענה $latex \mbox{NL=coNL}$, או בשמה הקליט יותר, משפט אימרמן-סזלפסני (Immerman–Szelepcsényi – אין לי מושג איך לתעתק נכון), ומכאן ואילך – משפט אימרמן. אז על מה מדובר בכלל? ראשית כל תזכורת כללית למה אנחנו עושים בתורת הסיבוכיות. המטרה היא לסווג בעיות לפי כמות המשאבים הנדרשת …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ג' ואחרון)

תקציר הפרקים הקודמים: הראיתי את פרדוקס האוסדורף, או כפי שהעדפתי לקרוא לו, "פרדוקס כמעט בנך-טרסקי". פרדוקס האוסדורף אמר כי ניתן לקחת את ספירת היחידה במרחב התלת ממדי $latex S^{2}$ (פניו של כדור שרדיוסו 1), להעיף מתוכה קבוצה בת-מניה של נקודות $latex D$, והתוצאה $latex S^{2}\backslash D$ תהיה קבוצה פרדוקסלית, כלומר ניתן יהיה לפרק אותה לשתי …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ב')

הפוסט הקודם שלי על פרדוקס בנך-טרסקי עורר זעם רב בציבור הקוראים ואולי בעולם כולו – למרות שכבר בשורת הפתיחה של הפוסט הבהרתי בדיוק מהו פרדוקס בנך-טרסקי, הטענה הייתה שהפוסט בכלל לא התעסק בבנך-טרסקי אלא בכל מני שטויות לא קשורות. ובכן, לחלק מהשטויות הלא קשורות הייתה חשיבות בכך שבנך-טרסקי נבנה עליהן, והחלק האחר נועד לתת אינטואיציה …

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק א')

פרדוקס בנך-טרסקי הוא אולי הדרך הטובה ביותר להמחיש להדיוטות כמה מוזרה המתמטיקה. בפשטות, הפרדוקס אומר את הדבר הבא: ניתן לקחת כדור, לחתוך אותו ל-5 חתיכות, להזיז אותן טיפה (ולסובב, ולשקף וכאלה) ולבנות מהן שני כדורים באותו הנפח של הכדור המקורי. רגע, מה? ברוכים הבאים למתמטיקה, העולם שבו קורים דברים מוזרים. מן הסתם אחרי תיאור הפרדוקס …

פרדוקס ברס ומנהרות הכרמל

כמו כל תושבי חיפה גם אני עוקב בעיון אחר הליך בנייתן של מנהרות הכרמל, שכעת עומדות על סף פתיחה. תקציר ללא-עוקבים: חיפה נמצאת על צ'ופצ'יק במישור החוף שבולט אל הים, והדרך עבור המגיעים מכביש החוף אל הקריות היא דרך חתחתים – או לנסוע לאורך החוף במלוא עיקולו של הצ'ופצ'יק, דרך מה שמכונה "העיר התחתית", ולהיקלע …

קבוצת קנטור, ואיך לכל הרוחות המימד שלה הוא בערך 0.63?

מהו מימד? זו שאלה שכבר התייחסתי אליה בעבר, ואז אמרתי כי "יש הגדרות שונות לאותו מושג אינטואיטיבי, שמנסות להשיג מטרות שונות". אז עסקתי בהגדרה הנאיבית והפשוטה ביותר של מימד, ואילו הפעם אני רוצה לדבר על הגדרה מסובכת יותר, שנוטה לגרום לאנשים לחוש תחושת "מה לעזאזל" כשהם שומעים לראשונה על תוצאותיה – מימד פרקטלי. ומדוע "מה …

מי הזיז את הטור שלי?

יותר מכל, המתמטיקה של זמננו זוכה לתדמית "מדוייקת", "פורמלית", אפילו צרת מוחין. טענה נפוצה בדיונים היא ש"החיים זה לא מתמטיקה" ואין טעם לבקש להכל הגדרות מדוייקות והסברים ברורים. אלא שהמתמטיקה הזו היא צעירה יחסית; אפילו המתמטיקה של המאה ה-19 לא הייתה כזו בדיוק. המתמטיקה ה"פורמלית" היא תוצר של תהליך בן אלפי שנים, שהתרחש שלא במקרה …

למה אין מידה על כל הישר הממשי

בפוסט הקודם דיברתי על מושג המידה. מידה היא הכללה של מושג האורך-שטח-נפח לקבוצות "מסובכות" ככל הניתן; בפוסט הזה אני רוצה להראות שיש להכללה הזו גבולות. כמו בפוסט הקודם כך גם כאן לא אציג הגדרה מדוייקת של מידה, אלא אתאר כמה תכונות "רצויות" שהיינו מצפים שמידה תקיים, ואז אראה שאם כולן מתקיימות אז יש לנו בעיה …

חידת מעטפות

לכבוד סוף השנה, חידה: אתם נמצאים בחדר שבו נמצאות שתי מעטפות, כל אחת עם סכום כסף שנבחר באקראי (לדקדקנים – נבחר מתוך התפלגות כלשהי על המספרים הממשיים – לא ידוע לכם איזו התפלגות). אתם בוחרים באקראי (כלומר, בהסתברות 50:50) את אחת המעטפות, פותחים אותה ורואים את הסכום שבפנים. כעת מאתגרים אתכם – החליטו אם להחליף …

איך לחזות את מזג האוויר בלי להסתכל בשמיים? (משפט המינימקס)

נניח שאתם רואים תחזית מזג אוויר, והחזאי אומר "יש סיכוי של חמישים אחוז לגשם מחר". מה אתם עושים? תיקחו מטריה, או לא? הרי גשם סביר באותה מידה כמו לא-גשם. אם כן, מה הועילה התחזית? באותה המידה יכל החזאי לומר "או שמחר ירד גשם, או שמחר לא ירד גשם". מגוחך, לא? ועם זאת, יש חזאים שאכן …

ילדים (הסתברותיים) זה שמחה

תורת ההסתברות היא כר פורה לחידות שונות ומשונות שמעוררות ויכוחים מזוויעים, גם בקרב מתמטיקאים, מהטעם הפשוט שקיים פער גדול בין ניסוחים מתמטיים-פורמליים של בעיות, ובין ניסוחים מילוליים שלהם. הרבה פעמים המודל המילולי פשוט אינו מוגדר היטב וניתן למספר ניסוחים מתמטיים שונים ולא שקולים, והשאלה באיזה ניסוח מתמטי יש לבחור הופכת ל"פילוסופית" – ופילוסופיה (בפרט כשהיא …