איי!

לפני מספר שנים (ליתר דיוק: ב-11/10/2004) פורסמה בעיתון “הארץ” ידיעה שדיווחה על סקר שביצע המגזין “Physics World" במטרה לדרג את הנוסחאות האהובות על קוראיו. אפשר ללעוג מכאן ועד להודעה חדשה על תחרות יופי שכזו (לטעמי, יופי מתמטי או פיזיקלי מוצא את ביטויו ברעיונות, לא במשוואות) אך מכיוון שברור שהסקר לא לקח את עצמו ברצינות, אין טעם לעשות זאת.

המשוואות הזוכות היו משוואות מקסוול הפיזיקליות (שעליהן לא ארחיב כאן), ונוסחת אוילר המתמטית. את נוסחת אוילר ניתן לכתוב בפשטות רבה, כך:

\( e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \)

זוהי משוואה חשובה ומרכזית בכל הקשור לאנליזה מרוכבת, והיא גם חוסכת הרבה עבודת כתיבה עבור מי שרוצה לתאר מספר מרוכב בצורה פשוטה, אך המשוואה הפכה למפורסמת עוד יותר בשל קוריוז; אם מציבים בה \( x=\pi \) מקבלים, אחרי העברת אגפים, את הזהות הבאה:

\( e^{i\pi}+1=0 \)

הניחוש שלי, על סמך הכתבה ב”הארץ”, הוא שזהות ספציפית זו (ולא המשוואה הכללית) היא שזכתה במקום הראשון, שכן (על פי “הארץ”) “היא מכילה בנוסחה אחת את כל המרכיבים הבסיסיים של המתמטיקה".

לא אכנס כאן לשאלה מדוע הנוסחה נכונה; את זה עושים בכל קורס בסיסי באנליזה מרוכבת, וההוכחה היא טכנית למדי (למעשה, לפעמים כלל לא מוכיחים את הזהות, אלא מגדירים באמצעותה את המשמעות של העלאת e בחזקה מרוכבת) ומסתמכת על הצבת i בתוך טור הטיילור של אקספוננט ופירוקו לשני טורים, אחד של סינוס ואחד של קוסינוס. אם כל זה נשמע לכם כמו ג’יבריש, אל חשש, לא בכך אני רוצה לעסוק.

מה שמעניין אותי בנוסחה הוא אכן חמשת המרכיבים שלה: \( e,i,\pi,1,0 \) , שהם אכן הקבועים המוכרים והנפוצים ביותר במתמטיקה. ניתן להתווכח רבות על השאלה האם 1 ו-0 ראויים לתואר “קבועים” יותר מאשר, נניח, 42, ולדעתי הם אכן ראויים יותר, בשל התפקיד המיוחד שהם משחקים במערכת המספרים שלנו בתור איברים “נייטרליים” (אם מחברים מספר כלשהו עם אפס, המספר אינו משתנה; אם כופלים מספר כלשהו ב-1, המספר אינו משתנה).

שלושת הקבועים האחרים, לעומת זאת, מוכרים הרבה פחות לקורא ההדיוט, ואולי בגלל זה מיהר “הארץ” לפרסם כתבת “פרשנות”, מספר ימים לאחר מכן, שתציג את מרכיבי הנוסחה ותסביר אותם. הכתבה התהדרה בשם הלא ברור “מטרנסצנדנטלי יוצא ריאלי” ולא עלה בידה לחמוק מאי הדיוקים הבלתי נמנעים שנובעים מכך שכותב הכתבה אינו מתמטיקאי, ולעיתון אין (ככל הנראה) עורך מתמטי. כך למשל נאמר בכתבה ש”במתמטיקה מספר כזה [שבכתיבתו כמספר עם שבר עשרוני אין לו שיעור] קרוי טרנסצנדנטלי.” (לא נכון - הוא קרוי אירציונלי. טרנסצנדנטלי הוא מספר שאינו פתרון של אף משוואה פולינומית במקדמים רציונליים), או שפאי הוא “היחס בין הקוטר להיקף המעגל” (בדיוק להפך). לא נורא. אף קורא לא ייפגע מקריאת הכתבה הזו, והדבר החשוב באמת הוא הכוונה הטובה שמאחוריה והרצון הכן להביא את היופי המתמטי לידיעת הציבור.

האמנם?

מה שגרם לפקיעת סבלנותי היה חלקה האחרון של הכתבה, שעסק במספר המדומה i. וכך נאמר שם:

“i הוא בכלל יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע, ועל כן קרוי "מספר דמיוני", מושג שכבר הוצע על ידי דקארט במאה השבע עשרה. ומהו מספר זה? לימדו אותנו בעמל ויגע שכאשר מעלים מספר בריבוע התוצאה תמיד חיובית, אבל אמר מי שאמר: למה? הבה נגדיר את השורש של 1- ונקרא לו i. לא מבינים? לא צריך. ככה זה.”

גם בפסקה הבודדת הזו, פחות משהשגיאות העובדתיות מפריעות לי (i לא הומצא בידי דקארט; למעשה, דקארט היה ממתנגדיו החריפים והטביע בו לדראון עולם את השם המזלזל “מספר דמיוני”) מפריעה לי הנימה הכללית. גישת ה”לא מבינים? לא צריך. ככה זה” היא אכן, למרבה צערי, הגישה שבה נתקלים תלמידי בית הספר בארץ - אבל זו אינה גישת המתמטיקה, אלא גישת המורים למתמטיקה בתיכון. באוניברסיטה כבר שומע כל סטודנט הפוגש במרוכבים זמירות אחרות, וניתן היה לקוות שגם כותב הכתבה ידע זאת.

i אינו “יצור מוזר בתכלית” כי אם מספר הגיוני ולגיטימי לא פחות (ואולי אף יותר) מאשר ידידו פאי. הוא אינו פרי “דמיון מתמטי פרוע” אלא תוצאה של חקירה מקיפה של בעיה מתמטית בסיסית - פתרון משוואות ממעלה שלישית. i הוא הדוגמה הקלאסית למושג מתמטי רחב יותר ומרתק בפני עצמו, של הרחבת שדות, ויש מספר דרכים שונות לבנות אותו בצורה פורמלית מדוייקת. מעל הכל, הוא ממש לא קיים על תקן של “לא מבינים? לא צריך”. כן צריך להבין, שכן מי שלא מבין יתקשה להתנער מהתחושה ש”מרמים” אותו, וש-i אינו יותר מאשר משחק בחול של כמה מתמטיקאים מטורפים עם יותר מדי זמן פנוי.

בפוסטים הבאים אנסה להביא מספר דברי סנגוריה לזכותו של i, אך לטעמי הדרך הטובה ביותר לעשות כן היא להתחיל מההתחלה - לבחון את הבניה של מערכות המספרים המוכרות לנו - מהטבעיים, דרך השלמים והרציונליים, עבור בממשיים וכלה במרוכבים - ולראות כיצד כל צעד בסדרת הבניות הארוכה הזו נובע מאותם רעיונות. בתקווה אצליח להראות מדוע החלק הבעייתי והשנוי במחלוקת ביותר בסדרה הוא דווקא המעבר מהרציונליים לממשיים, ולמה דווקא ההוספה של i למערכת סוגרת את השרשרת ונותנת לנו מערכת מספרים שהיא במובנים מסויימים עדיפה על זו שהיא מרחיבה.

ואז, אני מקווה, נוסחת אוילר תהיה מרתיעה פחות, ויפה עוד יותר.