תבוא טבעי

כל נסיון לדון במספרים צריך להתחיל מהמספרים הטבעיים. הן בגלל שהבניה של שאר המספרים מתבססת עליהם, והן בגלל שהם המספרים היחידים שאין עליהם (כמעט) שום מחלוקת. יש כאלו שמפקפקים (או לפחות פקפקו) במספרים שליליים; \( \sqrt{2} \) עורר לא מעט מהומות בזמנו; ועל i אין מה לדבר. אבל על המספרים הטבעיים יש הסכמה כללית, פחות או יותר.

מהם המספרים הטבעיים? אלו הם המספרים 1,2,3 וכן הלאה - המספרים שבהם אנו משתמשים לייצוג כמויות “בדידות” של דברים: שני ילדים, חמישה תפוחים וכן הלאה. אבל כבר במושג הפשוט לכאורה הזה מתחבא הרעיון הבסיסי והעמוק ביותר במתמטיקה - ההפשטה. להבין מהו מספר טבעי פירושו להבין שיש תכונה משותפת לילדים ולתפוחים, ושניתן לדון בה מבלי להתייחס למהות האובייקט שעליו מדברים, אלא רק על כמותו.

Howard Eves מביא בספרו An Introduction to the History of Mathematics דוגמה נאה לכך שההפשטה הזו אינה מובנת מאליה. באנגלית, המילה “שתיים”, שאנו מכירים כ-two, מופיעה גם בצורות שונות בהתאם לעצם שאליו היא מתייחסת, וכך מדברים על “span” של סוסים, על “yoke” של שוורים וכדומה. אשמח לשמוע על דוגמאות דומות לעניין בעברית.

אם כן, להבנה של-span of horses ול-yoke of oxen יש את אותה תכונה, שהיא כי כמות העצמים בקבוצה היא 2 יש חשיבות גדולה, והיא מצביעה על התפתחות - אולי אפילו קפיצת דרך - באינטליגנציה האנושית. מכאן עולה שכדי לעשות תרגילים מסובכים - למשל, לחלק ארבעים תפוחים לשמונה ילדים - מספיק לחשוב על הבעיה בצורה מופשטת בתור משחק במספרים (או בחרוזי חשבוניה, למשל). כלומר, אנו לומדים לבצע רדוקציה מבעיה מורכבת לבעיה פשוטה יותר, על ידי התעלמות מהפרטים הטפלים. זהו אחד מהרעיונות המתמטיים הבסיסיים ביותר.

כאמור, אף אחד לא חולק על קיומם של המספרים הטבעיים, אבל אין הסכמה ברורה לגבי מהו ה”קיום” הזה. האם 3 קיים? האם אנו רואים 3 הולך ברחוב? לא, אנחנו רואים רק שלושה אנשים הולכים ברחוב, שלושה רמזורים בצומת, שלושה צבעים ברמזור, וכדומה. לכן הקיום של 3 אינו פיזי, אלא רעיוני; וכאן מתחיל הויכוח בין אלו שמצדדים בגישה האפלטונית, על פיה יש לאידאות המתמטיות “קיום” במישור שאינו תלוי באדם, ובין הגישה הפורמליסטית שעל פיה 3 קיים רק כמושג משותף בין בני האדם. קשה לגרד אפילו את קצה הקרחון של הויכוח הזה כאן, ולא אנסה לעשות זאת.

ויכוח אחר שנוגע למספרים הטבעיים ונמשך עד היום ללא הכרעה הוא האם 0 נחשב למספר טבעי או לא. בימינו מדובר בעיקר על עניין של הגדרה, ובהגדרות הפורמליות (כולל זו שאציג) 0 הוא אכן אחד מהמספרים הטבעיים. עם זאת, המין האנושי נזקק לאלפי שנים כדי לקבל את 0 כמספר לגיטימי, כך שהדבר אינו מובן מאליו. גם למהומה הזו לא אכנס עכשיו. למרות שהמספרים הטבעיים מלווים את האדם משחר ההיסטוריה, ניסוח אקסיומטי מסודר שלהם בוצע רק לקראת סוף המאה ה-19, אפילו לאחר הבניות הפורמליות של המספרים הממשיים. זה אולי נראה מפתיע במבט ראשון, אבל דווקא הפשטות של המספרים הטבעיים הופכת את הדבר למתבקש: ככל שדברים היו יותר מתקבלים על הדעת, כך הצורך לבנות ולהגדיר אותם במדוייק היה קטן יותר.

לניסוח האקסיומטי הזה קוראים “אריתמטיקת פאנו” (Peano Arithmetic) , והוא מבוסס על חמש אקסיומות:

1. קיים מספר טבעי שמסומן ב-0.
2. לכל מספר טבעי \( a \) קיים מספר טבעי עוקב, שמסומן ב-\( S(a) \).
3. 0 אינו העוקב של אף מספר.
4. אם לשני מספרים אותו עוקב, הם שווים זה לזה. כלומר, \( S(a)=S(b) \) גורר \( a=b \).
5. (אינדוקציה) אם קבוצה S של מספרים מכילה את 0 ומקיימת שלכל איבר ב-S גם העוקב שלו ב-S, אז היא מכילה את כל המספרים הטבעיים.

האקסיומה הראשונה מספקת לנו את הבסיס שממנו ניתן לבנות את כל המספרים הטבעיים, והשנייה מספקת את כלל הבניה: כך למשל מגדירים את 1 בתור \( S(0) \), את 2 בתור \( S(1)=S(S(0)) \) וכן הלאה.

שלוש האקסיומות הבאות מבטיחות שהמבנה של המספרים הטבעיים יהיה זה שאנחנו מצפים לו: השלישית והרביעית מבטיחות שלא יהיה מספר סופי של טבעיים שחוזרים על עצמם בצורה “מעגלית”, והחמישית מאפשרת לנו לומר דברים על כל המספרים בו זמנית - למעשה, לא קשה לראות שזו התכונה שמאפשרת את האינדוקציה המתמטית ה”סטנדרטית” במתמטיקה: פשוט חושבים על S בתור קבוצת כל המספרים שמקיימים תכונה כלשהי. ללא אקסיומת האינדוקציה, לא היינו מסוגלים אפילו לומר טענה בסיסית כמו “המספר היחיד שאינו עוקב של אף מספר אחר הוא 0” - נסו לראות מדוע האקסיומה החמישית מוכיחה זאת, והאחרות לא.

האקסיומות הראשונה והשנייה עשויות להיראות שרירותיות למדי; מה פירוש “קיים”? למה שיהיה קיים? ולכן נהוג בימינו לבסס את המספרים הטבעיים על אקסיומות בסיסיות עוד יותר, הנוגעות לתורת הקבוצות, ולחשוב על אקסיומות פאנו בתור תיאור של המספרים הטבעיים (לא ניכנס למובן הפורמלי של “תיאור”), ואילו על גישת תורת הקבוצות כעל “בניה” של קבוצת עצמים שמתאימה לתיאור. כמובן שגם הגישה של תורת הקבוצות נתקעת בשאלת “למה קיים?” הסטנדרטית, אך מכיוון שקבוצות הן מושג יותר בסיסי ממספרים, זהו צעד בכיוון הנכון.

ואיך מגדירים את המספרים הטבעים בעזרת קבוצות? חושבים על הקבוצה הריקה, \( \emptyset \) בתור 0, ומגדירים את העוקב בצורה הבאה: אם \( a \) היא קבוצה שמתארת מספר, אז מגדירים \( S(a)=a\cup\{a\} \) - כלומר, העוקב הוא הקבוצה שמכילה את כל האיברים שיש ב-a, וגם את a עצמו בתור איבר. כך למשל נקבל כי \( 3=\{0,1,2\} \).

על כל הדברים הללו ניתן להגדיר חיבור וכפל (לא ניכנס להגדרה המדוייקת שהיא טכנית; די בכך שהיא “עובדת”) וגם יחס סדר (“עבור כל שני מספרים a,b או ש-a<b, או ש-a=b, או ש-a>b”) נובע בצורה די טבעית (a<b אם ניתן להגיע מ-a אל b באמצעות סדרת מספרים שכל אחד הוא עוקב של הקודם לו).

הבעיה מתחילה כשמגדירים את הפעולות ההפוכות לחיבור וכפל - חיסור וחילוק. כאן פתאום המערכת מתחילה “להישבר”, ובשביל לתקן אותה ממציאים את המספרים השליליים ואת המספרים הרציונליים. על כך - בהמשך.