נקודת השבר

בפוסט הקודם ראינו את המספרים הטבעיים ואת הצורה הפורמלית שבה מגדירים אותם. לאחר שקיבלנו אותם, מופיעה בצורה טבעית למדי המוטיבציה להרחיב את אוסף המספרים שלנו על ידי הכללת מספרים משני “סוגים” חדשים - שברים ומספרים שליליים. למרות שמדובר בשתי בניות שונות של מערכות מספרים שלכאורה אין בינן קשר של ממש, בשני המקרים המוטיבציה להרחבה דומה, ובשני המקרים הבניה הבסיסית שממנה מקבלים את ההרחבה דומה. בהמשך נראה שהמבחינה הפורמלית-צורנית, ההרחבה של הממשיים כדי לקבל את המרוכבים מאוד דומה לשתי ההרחבות הללו - ולכן, מבחינה פורמלית, אין “בעייתיות” גדולה יותר במרוכבים מאשר יש בשברים או במספרים שליליים.

אבל האם אין בעייתיות בשברים או במספרים השליליים? כאן מגיע ההבדל העמוק והגדול ביניהם. השברים נחשבו מספרים לגיטימיים מאז ומעולם, והפיתגוראיים אפילו ביססו עליהם את הפילוסופיה שלהם. לעומת זאת, המספרים השליליים נתקלו בעוינות והתנגדות במשך אלפי שנים, כולל המאה ה-19. בימינו הם נחשבים לגיטימיים לחלוטין, ומלמדים אותם עוד מהכיתות הנמוכות של בית הספר היסודי בתור דבר מה אלמנטרי, מובן מאליו, שאין סיבה לפקפק בו. ייתכן שזו הסיבה להבדל החריף בין השליליים ובין המספרים המרוכבים, שבהם התלמידים לא פוגשים אלא עד לכיתות הגבוהות ביותר של התיכון, וזאת לאחר ששיננו במשך שנים רבות ש”הריבוע של כל מספר הוא גדול או שווה לאפס”.

אחד ההסברים האפשריים לקושי שעוררו המספרים השליליים נובע מהצורה שבה נתפס המושג “מספר” בתקופות שונות, והדוגמה הבולטת היא יוון העתיקה. היוונים לא עסקו במספרים - הם עסקו בגאומטריה, וה”מספרים” שלהם יוצגו על ידי אורכי קטעים. הבסיס היה קטע באורך שרירותי שסומן כ”יחידה”, ואת כל שאר הקטעים היה ניתן למדוד על פיו. קטע שה”יחידה” נכנסת בו פעמיים היה באורך 2; קטע שנכנס פעמיים ב”יחידה” היה באורך חצי. קטע באורך 3/4 היה קטע שנכנס 4 פעמים בקטע באורך 3, וכן הלאה. זו גישה נאה ואלגנטית למושג המספר, שמעניקה לו משמעות גאומטרית, אך משאירה בחוץ הן את 0 (מישהו ראה פעם קטע באורך 0?) והן את המספרים השליליים. אפשר לחשוב על “חיסור” של קטע קצר מקטע ארוך, וגם ניתן להציג בניה גאומטרית שתאפשר לנו לבצע אותו (כלומר, לסמן נקודה על הקטע הארוך כך שהחלק שלפני הנקודה יהיה באורך הקטע הקצר - ולכן החלק שאחרי הנקודה יהיה תוצאת החיסור) אך אין משמעות לחיסור של קטע ארוך מקטע קצר.

כאשר עוסקים במספרים בצורה אלגברית טהורה - כלומר, כזו שרואה במספרים סמלים שמייצגים משמעות מופשטת, אך לא כובלת אותם למושג גאומטרי ספציפי - נתקלים בדיוק באותה בעיה, אך בשינוי אדרת: אנו מתקשים בפתרון משוואות מסויימות. הקושי הזה הוא שיתן את המוטיבציה לכל ההרחבות שנבצע - שליליים, רציונליים, ממשיים ומרוכבים.

המשוואות הפשוטות ביותר הן משוואות פולינומיות בנעלם אחד - משוואות שבהן מופיע נעלם x בחזקות שונות, כשלפניו יש לפעמים “מקדמים” - מספרים מתוך המערכת שכבר יש לנו, ותו לא. לא מעורבות בהן פונקציות מורכבות יותר, כמו סינוסים, לוגריתמים, פונקציות מעריכיות (כאלו שבהן x הוא המעריך של החזקה ולא רק הבסיס שלה, למשל \( 2^x=x \)) וכדומה. אלו גם המשוואות שבהן אנו נתקלים כל הזמן בחיי היום יום שלנו. די ברצון לפתור אותן כדי להניח את היסודות לתורה מתמטית עשירה ביותר.

כזכור, הגדרנו עבור המספרים הטבעיים את פעולות החיבור והכפל, ומכאן נבעו בצורה טבעית הפעולות ההפוכות - חיסור וחילוק. את המשמעות של \( x=a-b \) אנו מבינים בתור “x הוא המספר שמקיים \( a=b+x \)”, ואילו את המשמעות של \( x=a/b \) אנו מבינים בתור “x הוא המספר שמקיים \( a=b\cdot x \). הבעיה היא שלא לכל a,b אכן קיים x שכזה.

נתחיל בשברים, למרות שבבנייה פורמלית של מערכות המספרים נהוג להתחיל מהשליליים, שכן קל יותר להמחיש את הרעיונות שלו באמצעות שברים. אנו “נתקעים” כבר בנסיון לפתור את המשוואה \( x\cdot 2=1 \), שכן אף מספר טבעי לא שווה ל-1 אחרי שמכפילים אותו ב-2. מכיוון שין מספר טבעי שמהווה פתרון למשוואה הזו, אנו “ממציאים” מספר שכזה, ומסמנים אותו בתור \( 1/2 \). מייד קופצים המתנגדים וצועקים, מה זאת אומרת “המצאנו”, למה שנשתף פעולה עם התועבה הזו? מאיפה היצור הזה צץ? למה שנאמין שהוא קיים במציאות?

על כן, מה שעושים הוא להסתמך על מה שקיים במציאות. מספרים טבעיים קיימים? קיימים. זוגות של מספרים טבעיים קיימים? קיימים. מותר לי להגדיר עליהם פעולות איך שבא לי? מותר, השאלה היא האם התוצאה תהיה מעניינת (למעשה, ה”מותר” הזה הוא בסיס לויכוח לא קטן בפני עצמו, שאולי כדאי לנהל בתגובות).

לכן מגדירים את מערכת המספרים החדשה שלנו בתור אוסף של זוגות של מספרים טבעיים. ה”מספר” \( x=(a,b) \) הוא מה שאנו רוצים לחשוב עליו בתור פתרון המשוואה \( x\cdot b=a \). במילים אחרות, אנו חושבים עליו בתור המספר שאנו מכירים מבית הספר היסודי בתור \( a/b \). לא קשה “לעכל” את הרעיון הזה מכיוון שאנו רגילים לראות מספרים רציונליים מוצגים באמצעות שני מספרים טבעיים - מונה (a) ומכנה (b). הצגה של המספר בתור זוג איברים בסוגריים במקום זוג מספרים המופרדים על ידי קו שבר היא אמנם פורמלית ו”נוקשה” יותר, אבל אין הבדל עקרוני בינה ובין ההצגה הסטנדרטית.

את פעולות החיבור והכפל מגדירים כך שיתקיימו הכללים שאנו מצפים שיתקיימו: כלומר, מגדירים \( (a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c,b\cdot d) \). כלומר, אנו מגדירים את פעולת הכפל במספרים החדשים שלנו באמצעות פעולת הכפל שכבר קיימת עבור הטבעיים. בדומה, חיבור מוגדר באמצעות “מכנה משותף” בצורה הבאה: \( (a,b)+(c,d)=(a\cdot d+b\cdot c,b\cdot d) \).

המערכת שקיבלנו “מכילה” את המספרים הטבעיים: המספר הטבעי a מיוצג, למשל, באמצעות \( (a,1) \) ונכתב בקיצור בתור a ולא בתור a/1, ופעולות החיבור והכפל על הטבעיים נותנות את אותן התוצאות כמו פעולתן על האיברים בתוך המערכת החדשה שאנו מזהים בתור המספרים הטבעיים (בניסוח מתמטי, זהו איזומורפיזם).

ישנה רק נקודה עדינה אחת שיש להתייחס אליה. במערכת שלנו, לאותו מספר קיימים ייצוגים שונים. כך למשל \( (1,2)=(2,4) \). זוהי תופעה שמוכרת לנו היטב כבר מבית הספר היסודי ולכן כנראה שאינה גורמת לנו לתחושת אי נוחות גדולה במיוחד. כדי להתמודד איתה פורמלית, בוחרים להגדיר את המספרים החדשים שלנו בתור קבוצות של זוגות מספרים, ה”שקולים” זה לזה במובן מסויים. הכלל הוא ששני מספרים כאלו \( (a,b),(c,d) \) יהיו שקולים אם ורק אם \( a\cdot d=b\cdot c \) - השוויון נובע ישירות מכך שאנו רוצים שיתקיים \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) ולכן אנו כופלים את שני האגפים ב-b וב-d. כעת, על כל מספר במערכת שלנו ניתן לחשוב בתור מחלקת שקילות של זוגות מספרים. כך למשל המספר שמקיים \( x\cdot 2=1 \) מיוצג על ידי המחלקה שבה נמצא הזוג \( (1,2) \) וכל הזוגות השקולים לו, כדוגמת \( (2,4),(15,30),(21,42) \) וכדומה.

כרגיל, כדי להקל עלינו את הסימון, איננו מסמנים מספרים בתור הקבוצה כולה, אלא מסתפקים בהצגה של איבר מהקבוצה. לעתים נוח לבחור איבר “קנוני”, ואז בוחרים את מה שמכונה שבר מצומצם: זוג \( (a,b) \) כך שאין מספר הגדול מ-1 ומחלק גם את a וגם את b (אם יש כזה, מצמצמים בו - מחלקים בו הן את המונה והן את המכנה).

ומה קורה עם המספרים השליליים? ומה מקבלים אחרי שמוסיפים הן את השברים והן את השליליים? אנסה לעסוק בזאת בפעם הבאה.