הדרך השלילית אל שדות הרציונליות

בפעם הקודמת ראינו כיצד מרחיבים את מערכת המספרים שלנו כדי שתכיל שברים. כעת נראה כיצד מרחיבים אותה כדי שתכיל מספרים שליליים. ההרחבה תתבצע באופן דומה להרחבה שכבר ראינו - נגדיר את מערכת המספרים שלנו באמצעות זוגות של מספרים מהמערכת הקודמת.

מהבניה שלנו נקבל כי המספר \( x=(a,b) \), שמשמעותו האינטואיטיבית היא “\( a-b \)”, הוא המספר שמקיים \( x+b=a \). מכיוון שלמשוואה זו אין תמיד פתרון כבר במספרים טבעיים (למשל, ל-\( x+2=1 \) אין פתרון טבעי), נקבל שוב הרחבה של מערכת המספרים כך שתכיל משהו שלא היה בו קודם.

אם כן, פעולות החיבור והכפל עבור המספרים שלנו יוגדרו בצורה הבאה: \( (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \) (להבדיל מהחיבור של השברים שהיה מסובך, כאן החיבור טבעי מאוד - “לפי קוארדינטה”) ו-\( (a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c+b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c) \). כדי להמחיש מדוע פעולת הכפל צריכה להיות מוגדרת כך, ניזכר במשמעות שאנו מייחסים למספרים: \( (a,b)\cdot (c,d) \) משמעותו \( (a-b)\cdot (c-d) \), ופתיחת הסוגריים מובילה אותנו לתוצאה הבאה:

\( (a-b)\cdot (c-d)=a\cdot c-a\cdot d-b\cdot c+b\cdot d=(a\cdot c+b\cdot d)-(b\cdot c+a\cdot d) \)

כמו במקרה של השברים, גם כאן אנו מקבלים ייצוגים שונים לאותו מספר - המספרים \( (1,2), (0,1) \) שניהם מייצגים את מינוס 1, ולכן המספרים החדשים שלנו הם מחלקות השקילות של זוגות המספרים הישנים (זוג \( (a,b),(c,d) \) נחשב שקול כאשר מתקיים \( a+d=b+c \) - נסו לחשוב מדוע). עם זאת, בניגוד למקרה של השברים, כאן לא נהוג לכתוב את המספרים באמצעות זוגות: המספר שמוגדר באמצעות המחלקה שמכילה את \( (x,0) \) נכתב בתור “\( x \)” ואילו המספר שמוגדר באמצעות המחלקה שמכילה את \( (0,x) \) נכתב בתור “\( -x \)”. כל מספר מוגדר באמצעות מחלקה שמכילה מספר מאחת משתי הצורות הללו (נסו להוכיח זאת) ולכן לא נותרים מספרים שלא ברור כיצד לייצג.

כפי שכבר הזכרתי, מבחינה היסטורית השברים קדמו למספרים השליליים, ולטעמי גם קל יותר להבין את אופן הבנייה שלהם על פני אופן הבניה של השלמים (שכן את הרעיונות העמוקים העיקריים שבבנייה - ייצוג מספר “שברי” באמצעות זוג מספרים טבעיים, והעובדה שלאותו מספר “שברי” יש מספר רב של ייצוגים - כבר מכיר כל מי שמכיר שברים). עם זאת, בדרך כלל הבנייה מתבצעת בסדר ההפוך: קודם כל מרחיבים את המספרים הטבעיים על מנת לקבל גם את המספרים השלמים השליליים, ולמערכת המתקבלת קוראים “המספרים השלמים” (Integers). לאחר מכן מרחיבים את המספרים השלמים על ידי הוספת שברים ומקבלים את המערכת הנקראת “המספרים הרציונליים” (Rationals).

הסיבה לבחירה בסדר הזה היא החשיבות הנפרדת שיש לשלמים בפני עצמם, חשיבות שנובעת בין היתר מהמבנה שלהם: יש בהם פעולות חיבור וכפל, איבר נייטרלי לחיבור (0) ופעולת החיבור היא הפיכה (כלומר, קיימת גם פעולת חיסור). הכפל והחיבור גם מקיימים תכונות “נאות” מסויימות: חוק החילוף (\( a+b=b+a \)) , חוק הקיבוץ (\( a+(b+c)=(a+b)+c \)), וחוק הפילוג (\( a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c \)).

מתברר שדי בתכונות הללו כדי לקבל מבנים מעניינים מאוד, ובשל כך חוקרים במסגרת האלגברה קבוצות כלליות של איברים עם פעולות שמקיימות את התכונות הללו - קבוצות אלו נקראות חוגים (Rings). למעשה, לא דורשים את כל התכונות - פעולה אחת (“הכפל”) נדרשת לקיים רק את חוק הפילוג, ואם היא מקיימת תכונות נוספות, נובעים מכך תת-סוגים של חוגים.

מהן ה”תכונות הנאות” שמתקיימות בכל חוג? למשל, כפל ב-0 תמיד מחזיר 0. ההוכחה לכך פשוטה למדי:

\( x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0+x\cdot 0 \)

אחרי העברת אגפים מתקבל \( x\cdot 0=0 \) . בהוכחה הזו השתמשנו רק בתכונות החוג: בכך ש-\( 0+0=0 \) (כי 0 נייטרלי לחיבור), בחוק הפילוג ובכך שניתן להעביר אגפים (מה שנובע מכך שלכל איבר יש הופכי חיבורי).

השלמים מהווים מקרה פרטי למדי של חוג - למשל, אם מתקיים בהם \( x\cdot y=0 \) נובע מכך שאחד משני האיברים במכפלה הוא 0, דבר שאינו נכון בחוג כללי (למשל, בחוגי מטריצות הדבר לא מתקיים). לאיברים בחוג שמכפלתם היא 0 למרות ששניהם שונים מאפס קוראים מחלקי אפס.

אם בחוג קיים גם איבר נייטרלי ביחס לכפל (כמו 1 עבור השלמים), ניתן לדבר גם על הופכי כפלי: ההופכי הכפלי של \( x \) הוא האיבר \( y \) שמקיים \( x\cdot y=1 \). לאפס לא יכול להיות הופכי, מכיוון שמכפלה של כל איבר באפס היא אפס (ומכאן גם שאם מתקיים 1=0 בחוג, אז 0 הוא האיבר היחיד בו - מדוע?). בדומה, גם למחלקי אפס לא יכולים להיות הופכיים (שוב - מדוע?) התהליך שבו הפכנו את השלמים לרציונליים התבסס על הוספת הופכי כפלי לכל מספר שלם פרט ל-0. את אותו תהליך ניתן להפעיל גם על חוגים כלליים יותר - ניתן להוסיף הופכיים כפליים לאברי החוג שאינם מחלקי אפס (אם כי לא ניתן בהכרח להוסיף לאיברים בודדים, אלא רק לקבוצות מסויימות בו זמנית), והתהליך מכונה “בניית חוג שברים”.

הרציונליים, שמתקבלים מבניית חוג השברים עבור השלמים, הם מקרה מיוחד של חוג: גם פעולת הכפל מקיימת את חוקי החילוף והקיבוץ, ולכל איבר פרט ל-0 יש הופכי כפלי. חוג שכזה נקרא שדה (Field). גם שאר מערכות המספרים שנעסוק בהן מעתה - הממשיים והמרוכבים - יהיו שדות. במובן מסויים ניתן לחשוב על שדה כעל המערכת הבסיסית ביותר שבה מתקיימים כללי החשבון המוכרים לנו - מוגדרות ארבעת פעולות החשבון - חיבור, חיסור, כפל וחילוק (פרט לחלוקה באפס, שכאמור אינה אפשרית כי אין לאפס הופכי) ומתקיימים חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג.

מבין כל השדות, שמור לרציונליים מקום מיוחד. הם מהווים במובן מסויים את השדה “הקטן ביותר” - כל שדה אחר מכיל אותם. הסיבה לכך פשוטה: כל שדה מכיל, מהגדרתו את המספרים 0 ו-1, ולכן גם כל מספר שמתקיים על ידי חיבור 1 לעצמו מספר כלשהו של פעמים (ולכן את הטבעיים), וגם את ההופכיים שלהם ביחס לחיבור (ולכן את השלמים) וגם את ההופכיים שלהם ביחס לכפל (ולכן את הרציונליים). הדבר מעיד הן על החשיבות הגדולה של הרציונליים כשדה העומד בפני עצמו, והן על כך שהעיסוק במספרים, באופן כללי, אינו רק עיסוק בכמויות - הוא גם עיסוק כללי במבנים אלגבריים.

רק תיקון קטן לשקר ששיקרתי בפסקה הקודמת: אפשר לחשוב על שדות שבהם אם מחברים את 1 לעצמו מספר מסויים של פעמים מקבלים 0 (דוגמה נפוצה היא השעות שעל שעון: אם נחבר את 1 עם עצמו 12 פעמים נחזור לתחילת השעון, כלומר ל-0). אם k הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0, אומרים שהשדה שבו הדבר מתקיים הוא “ממציין k” (ובאנגלית Characteristic). תרגיל נחמד הוא להוכיח ש-k חייב להיות מספר ראשוני. על שדה שבו לא קיים k שכזה (כמו הרציונליים) אומרים שהוא ממציין 0. הטענה של הפסקה הקודמת, כשהיא מנוסחת בצורה מדוייקת, היא “כל שדה ממציין 0 מכיל את הרציונליים כתת-שדה”.

אם כן, ראינו כיצד מרחיבים את המספרים הטבעיים עד אשר מתקבל שדה המספרים הרציונליים. כאן מייד אנחנו נתקלים במשוואה פולינומית נוספת שאין לה פתרון: \( x^2=2 \), אולם הצורה שבה אנו מתגברים על הקושי - בניית המספרים הממשיים - היא ללא ספק השלב הבעייתי והמורכב ביותר מכל אלו שאציג כאן. למעשה, כפי שניווכח, בניית הממשיים היא במובן מסויים Overkill - אין בה צורך כדי לפתור את המשוואה שלעיל - היא הראשונה שמכניסה את מושג ה”אינסוף” אל המספרים בצורה חזקה, וקיימות לה אלטרנטיבות מעניינות בזכות עצמן. אנסה להרחיב על כך בפעם הבאה.