מטרנסצנדנטלי יוצא אלגברי?

בפעם הקודמת ראינו את המספרים האי רציונליים - או יותר נכון, ראינו מספר אי רציונלי אחד, שאת אי הרציונליות שלו היה קל להוכיח. בצורה דומה לזו שבה הוכחנו ששורש שתיים אינו רציונלי (אך מעט יותר מתוחכמת) אפשר להוכיח שהשורש הריבועי של כל מספר שלם חיובי שהשורש שלו אינו שלם הוא אי רציונלי (עבור 9, למשל, ההוכחה לא תעבוד, כי השורש הריבועי של 9 הוא המספר השלם 3).

המספרים הרציונליים והאי רציונליים יחד מכונים “המספרים הממשיים”, אולם לפני שאפנה לעסוק במספרים הממשיים כמכלול, אציג כאן קבוצה נוספת של מספרים, שמכילה ממש את המספרים הרציונליים אבל לא מקיפה את כל המספרים הממשיים - בדיוק הקבוצה שהיינו מקבלים אם היינו מעוניינים “רק” בהבטחת קיום פתרון לכל המשוואות הפולינומיות.

הרעיון הבסיסי הוא שניתן להגדיר מספרים באמצעות המשוואות הפולינומיות שהם פותרים. למשל, המשוואה \( x^7+4x^5-100x^3=0 \): לחלוטין לא ברור כיצד ניתן לכתוב בצורה אלגברית מפורשת פתרון למשוואה (“צורה אלגברית מפורשת” פירושה הצגה של הפתרון כמספר סופי של פעולות חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאות שורש מסדר כלשהו, שמבוצעות על מספרים רציונליים) ואפילו לא ברור אם זה אפשרי (הוכח שלמשוואות ממעלה חמישית ומעלה אין דרך פתרון כללית, כפי שיש למשוואות ממעלה שנייה, שלישית ואפילו רביעית - אך זה עניין לפוסט נפרד), ובכל זאת אפשר לדבר על “המספרים שפותרים את המשוואה הזו”.

המספרים הללו עלולים להיות מרוכבים - כלומר, להכיל את i, היצור שכשמועלה בריבוע נותן מינוס 1 - אבל לרוב מובטח שיש גם פתרון שאינו מרוכב למשוואה (כשהמשוואה היא ממעלה אי זוגית ומקדמיה אינם מרוכבים, כמו המקרה שלפנינו, מובטח שקיים פתרון שאינו מרוכב למשוואה - לא מיידי להבין מדוע, שכן גם ההוכחה הפשוטה ביותר שאני מכיר לטענה זו משתמשת בחשבון אינפיניטסימלי בסיסי).

ובכן, מספרים שפותרים משוואות פולינומיות במקדמים רציונליים - בין אם הם מרוכבים ובין אם לאו - נקראים “מספרים אלגבריים”. יש בין המספרים האלגבריים כאלו שהם רציונליים, אך גם, כפי שכבר ראינו, כאלו שאינם רציונליים. איך מוכיחים עבור מספר אלגברי כללי שהוא אינו רציונלי? אין לי מושג, אם כי ייתכן שיש טכניקה פשוטה שאיני מכיר.

שדה שבו לכל משוואה פולינומית עם מקדמים מתוכו יש פתרון מכונה שדה “סגור אלגברית”, והיעד שלנו הוא אכן שדה שכזה. דרך אפשרית אחת לקבל אותו היא פשוט להוסיף לכל משוואה פולינומית את הפתרונות שלה, ו”לסגור” את השדה ביחס לאיברים שהוספנו. למשל, אם נוסיף את שורש שתיים למספרים הרציונליים, כדי שנקבל שדה אנחנו צריכים להתחשב בכך שגם \( 3\cdot\sqrt{2},5+\sqrt{2} \) וכדומה הם מספרים לגיטימיים בשדה שנקבל.

הפעולה הזו נראית מלאכותית להחריד. מה זאת אומרת, “נוסיף את שורש שתיים”? הרי לא הראינו שהוא קיים! זו בדיוק הבעיה שבה אנו נתקלים כאשר אנו מבקשים להוסיף את i למערכת המספרים שלנו. הפתרון לבעיה הזו היא לבנות את השדה בצורה פורמלית יותר, כפי שעשינו במקרה של השלמים והרציונליים - אך זה מסובך יותר, ונדחה את הדיון בכך להמשך.

אלא שהצרות לא נגמרות כאן. אנו צריכים להוסיף לשדה שלנו לא רק את שורש 2, אלא את כל הפתרונות של משוואות במקדמים רציונליים. ואז, כדי לוודא שהשדה סגור אלגברית, צריך להוסיף גם את כל הפתרונות של משוואות במקדמים ששייכים לשדה שקיבלנו לאחר השלב הראשון (כלומר, משוואות שהמקדמים שלהן יכולים להיות גם שורש 2, שורש 3 וכו’), וכן הלאה וכן הלאה. הצורה הפורמלית שבה נבנה היצור הזה אינה פשוטה ולא ארחיב עליה כאן, אלא רק אעיר שהדבר אפשרי, והתוצאה שמתקבלת בסוף היא שדה סגור אלגברית שאינו מכיל את כל המספרים הממשיים (מצד שני, הוא גם לא מוכל בהם, כי יש בו, למשל, את i).

שכן, וזו נקודה חשובה, לא כל מספר ממשי הוא בהכרח פתרון של משוואה פולינומית במקדמים רציונליים. הדוגמה הבולטת והחשובה ביותר למספר שכזה הוא \( \pi \) - היחס בין היקף המעגל וקוטרו, אחד מחמשת הכוכבים של משוואת אוילר שהתחילה את כל המהומה הזו. גם e (שעל משמעותו אני מקווה להרחיב בעתיד) הוא מספר שכזה, אך פאי חשוב ממנו בשל האינטואיציה הגאומטרית החזקה שלו: אם נצייר מעגל שקוטרו באורך 1, אז אורך המעגל יהיה בדיוק פאי (הגדרה פורמלית של “אורך מעגל” היא מסובכת למדי; אבל מבחינה אינטואיטיבית, פשוט “גוזרים” את החוט של המעגל במקום כלשהו, מותחים, ומקבלים קטע ישר, שאותו קל למדוד…). יש לפאי גם משמעות של שטח: אם נצייר מעגל שרדיוסו באורך 1, אז שטח המעגל יהיה פאי. בקיצור - פאי איתנו כדי להישאר, ולא יעלה על הדעת שנוותר עליו רק כי אין משוואה פולינומית עם מקדמים רציונליים שפותרת אותו.

למספרים מעצבנים שכאלו, שאין משוואה וגו’, קוראים “מספרים טרנסצנדנטיים”. קשה למצוא ולהצביע על כאלו - ההוכחה לכך שפאי ו-e הם כאלו היא מסובכת למדי, ונדרש זמן רב עד שהגיעו אליה. עם זאת, מבחינה מסויימת (שאני מקווה להסביר בעתיד, אם אדבר על מושג ה”גודל” של קבוצות אינסופיות), מרביתם המוחצת של המספרים הם טרנסצנדטיים.

אם כן, אפילו הוספת פתרון לכל המשוואות הפולינומיות לא תציל את הרציונליים מכך שחסר בהם אורך גאומטרי בסיסי. לכן הפתרון צריך לבוא מכיוון אחר. למעשה, שתי הבניות הקלאסיות של המספרים הממשיים באו כל אחת לפתור בעיה אחרת, ושני הפתרונות התגלו כשקולים - ולכן גם הבעיות, במובן מסויים, הן שקולות. את שתיהן ניתן לנסח בצורה מאוד לא מדוייקת באמירה “ציר המספרים מלא חורים”. מה שבניית הממשיים מנסה לעשות הוא למלא את כל החורים הללו, כך שהציר יהיה “רציף”. על כך - בפעם הבאה.