ללא גבולות

\( \pi \) (ובעברית פאי), הוא מספר קסום. לך תייצג אותו. אין משוואה פולינומית עם מקדמים שאנחנו יודעים לייצג שהוא פתרון שלה, והוא בטח ובטח לא מנה של שני מספרים שלמים או משהו דומה. אין קץ לספרות בפיתוח העשרוני שלו, ואין בהן שום מחזוריות. הקשר היחיד שלנו אליו הוא הקונספט (המילה הלועזית הזו נראית לי מתאימה משום מה) שמאחוריו: יחס בין היקף המעגל לקוטרו. כמובן שזה לא עוזר לנו, אלא ההפך: אומר שאם את קוטר המעגל אנחנו מסוגלים לייצג בצורה נוחה, לא נצליח לעשות דבר דומה להיקף, ולהפך.

אז מה עושים? מקרבים.

תעשיית קירוב פאי היא נושא לפוסט בפני עצמו. בדרך כלל כשמציגים את פאי, כותבים משהו כמו \( \pi=3.14159265\dots \) - כאן שלוש הנקודות הן חשובות מאוד, שכן הן אומרות “כאן זה לא נגמר - זה נמשך עד אין קץ”. כמות הספרות שבהצגה הזו מספיקה לרוב הצרכים המעשיים שלנו - אם נחליף את פאי במספר \( 3.14159265 \) (הפעם בלי שלוש נקודות), לא נרגיש בהבדל אלא אם אנו עוסקים בחישובים מאוד רגישים (ובואו נודה בזה - קרוב לודאי שאנחנו לא), אולם מסתבר שהרצון לחישוב פאי כלל לא מונע ממניעים תועלתניים בזויים שכאלו.

שיטה לחישוב פאי הומצאה כבר בימי יוון העתיקה בידי ארכימדס (שמצא שיטה לקירוב שטח המעגל - שהוא כידוע פאי כפול הרדיוס בריבוע - ואם בוחרים רדיוס שקל למדוד, קל לגלות את פאי בעזרת ידיעת שטח המעגל) ומאז הומצאו עוד עשרות - אם לא מאות - שיטות אחרות. אני מודה שאין לי מושג מה השיטה שבה משתמשים מחשבים כרגע, אולם היא כנראה לא רעה שכן חושבו כבר ביליון ספרות של פאי, או משהו בסגנון. כדי לומר משהו על רמת המופרכות של חישוב שכזה אעיר שעל פי חישוב מהיר (ושגוי?) שביצעתי, כדי לשמור את כל הספרות הללו בזכרון מחשב (בהנחה שצריך 4 ביטים כדי לשמור ספרה עשרונית), יש צורך ב-3725.3 ג’יגהבייט.

פרט לכך הפולקלור של פאי עשיר - יש “יום קירוב פאי” (3/14), יש סרט קולנוע בשם “פאי” שמנסה להציג מתמטיקאי כמטורף גדול עוד יותר מאשר “נפלאות התבונה”, יש שיר בשם “פאי” של קייט בוש, שבו היא שרה, בין היתר, את מאה הספרות הראשונות של פאי (עם קפיצה כלשהי באמצע), יש ויכוח ארוך על מידת הדיוק של מופע פאי בתנ”ך (פשוטו של הכתוב הוא שפאי שווה 3; בפועל, התחכמויות מצליחות להעלות את רמת הדיוק בצורה מפתיעה) ויש אגדה אורבנית על חוק שהועבר במדינה אמריקאית נחשלת שמטרתו היה לקבוע אחת ולתמיד שפאי שווה 3 (האמת קצת פחות משעשעת אבל עדיין מעניינת). על כל אלו אני מקווה לכתוב פוסט נפרד מתישהו.

מה ניסיתי לומר כאן? שקירוב הוא דבר טוב. כל מה שדיברתי עליו לעיל עוסק בקירובים שונים ומשונים של פאי. מהי בעצם מהותו של קירוב שכזה?

בשפת היום-יום, קירוב למספר \( A \) הוא מספר \( B \) ש”קרוב” אליו. אוזניים תצילנה! מה זה “קרוב”? למופע של מרכאות בטקסט מתמטי אותו אפקט כשל הופעת נוסחה בספר מדע פופולרי (שמצמצמת את מספר הקוראים בחצי, אם להאמין למה שכתב סטיבן הוקינג בהקדמה ל”קיצור תולדות הזמן”). הבעיה היא שלא ניתן לתת פרשנות מניחה את הדעת למושג זה. נניח שבעיני “קרוב” פירושו “ההפרש בין \( A \) ובין \( B \) הוא אלפית” - את מי זה מעניין? יבוא המהנדס שצריך להנחית חללית על הירח ויגיד שבעיניו קירוב טוב הוא שההבדל ביניהם הוא מיליונית, וכן הלאה.

לכן עדיף לחשוב על קירובים בתור סדרה של מספרים “קרובים”, כשבמקרה הזה “קרובים” פירושו “קרובים עד כמה שאתה רוצה”. רוצה משהו שקרוב עד כדי מיליארדית? בבקשה, לך לאיבר ה-1,000 בסדרה, הוא קרוב מספיק. רוצה טריליונית? לך לאיבר ה-1,002, הוא קרוב מספיק - וכו’, וכו’.

במתמטיקה הומצא פורמליזם שיגדיר במדוייק את הכוונה האינטואיטיבית שעליה אנו חושבים כאן (זה לא קרה מייד - בין הצורך ובין ההמצאה עברו למעלה ממאה שנים, שבמהלכן השתמשו במתמטיקה במושגים מעורפלים וזכו לקיתונות של בוז - וזאת למרות שהתוצאות שהושגו בעזרתם היו מרשימות ביותר) . הפורמליזם הזה נקרא “גבול” (במקרה שלנו, של סדרה). לא אתאר אותו במדוייק, שכן ההגדרה הפורמלית קשה לעיכול, ומהווה את אחד המכשולים המרכזיים שאיתם צריכים סטודנטים שנה א’ למתמטיקה להתמודד. די אם אעיר שה”קרוב עד כמה שאתה רוצה” מחודד עוד יותר - מובטח שהסדרה גם לא מסוגלת להתרחק יותר מדי מהמספר שהיא “מקרבת”.

סדרה שמקרבת את פאי יכולה להיראות כך, למשל: \( 3, 3.1, 3.14, 3.141,3.1415\dots \). שלוש הנקודות כאן מציינות שהסדרה היא אינסופית, אבל כבר הבנתם את הרעיון - בכל איבר בסדרה אנו מגבירים את הדיוק על ידי הוספת ספרה אחת נוספת. וכל אחד מהאיברים בסדרה הזו הוא מספר רציונלי, ולכן “פשוט” יחסית: למשל, המספר \( 3.141 \) הוא פשוט המספר \( \frac{3141}{1000} \) בתחפושת עשרונית.

בדומה, ניתן לקרב באמצעות סדרה של מספרים רציונליים כל מספר ממשי, וכאן גם לב הבעיה שנתנה מוטיבציה לאחת מהגדרות המספרים הממשיים: קיימות סדרות של מספרים רציונליים שמתנהגות כאילו הן “רוצות להתכנס”, אבל אין מספר שהן מתכנסות אליו בתוך מערכת המספרים הקיימת שלנו.

מה פירוש “רוצות להתכנס”? לסדרות מתכנסות יש תכונה (שנובעת מהפורמליזם המתמטי שאליו כאמור איננו נכנסים) שאבריהן הולכים ומתקרבים זה לזה ככל שהסדרה מתקדמת (“הסדרה מתקדמת” פירושו “אנחנו מסתכלים על איברים בעלי אינדקסים גדולים יותר ויותר”). סדרות שמקיימות תכונת “התקרבות” כזו מכונות “סדרות קושי”, על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי, מחלוצי הפורמליזם של התחום הזה ומתמטיקאי פורה בצורה בלתי רגילה (שמו מוזכר כמעט בכל קורס לתואר ראשון בפקולטה למתמטיקה).

והנה, שוד ושבר, יש סדרות קושי שאין מספר רציונלי שהן מתכנסות אליו - למשל, סדרת המספרים שמתכנסת אל פאי שהצגתי לעיל היא כזו. היא אמנם מתקרבת אל פאי, אבל בדרך היא מתרחקת מכל מספר רציונלי שהיא עוברת - ופאי, כאמור, אינו רציונלי. לכן בצורה ציורית ניתן לומר שיש לנו “חור” בציר המספרים

כדי לפתור את הבעיה הזו, עושים משהו שעל פניו נראה, כרגיל, כמו רמאות: מוסיפים מספרים למערכת המספרים שלנו שמתאימים לכל סדרת קושי שאינה מתכנסת לגבול שכבר במערכת. בפועל, יש פורמליזם מתמטי מוצק גם מאחורי הבניה הזו, ואף ניתן להכליל אותה לעולמות מתמטיים מורכבים יותר, אך לא אכביר פרטים כאן. רק אומר שהרעיון הבסיסי, שהוצע בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1872, הוא להגדיר את המספרים עצמם בתור סדרות. קודם, כשבנינו את הרציונליים, הגדרנו אותם בתור זוגות של מספרים שלמים; כעת, בבנייה של הממשיים, אנחנו מגדירים כל מספר ממשי בתור סדרה אינסופית של מספרים רציונליים (למעשה, שוב יש לנו בעיית ייצוגים - יש כמה סדרות שמתכנסות לאותו מספר - ולכן שוב חושבים על כולן כמייצגות את אותו הדבר ובוחרים “נציג מוסכם”). כאן טמונה הבעייתיות העצומה שבמספרים הממשיים, להבדיל מכל שאר הבניות (ובפרט, מהמספרים המרוכבים שאליהם טרם הגענו) - הבניה שלהם משתמשת בצורה חזקה מאוד במושג האינסוף: אנחנו בונים עצמים שהתיאור של כל אחד מהם הוא אינסופי!

קשה להדגיש את חשיבות העובדה הזו. אני מקווה להראות בעתיד שנובע ממנה, למשל, שאת רובם המוחץ של המספרים הממשיים אין שום דרך לחשב (את פאי, לעומת זאת, כן אפשר לחשב - כאמור, לא חסרות שיטות לקרב אותו עד לכל ספרה אפשרית, כל עוד יש לנו מספיק זמן וזכרון מחשב). בשל העובדה הזו, לטעמי הבנייה המוטלת ביותר בספק, הבעייתית ביותר והמטרידה ביותר היא זו של המספרים ה”ממשיים”.

\( \pi \) הוא יצור מוזר בתכלית. לא \( i \).