ללא חסם

בפוסט הקודם תיארתי את אחת מהבעיות שבמספרים הרציונליים: קיימות בהן סדרות קושי (סדרות ש”מתנהגות כמו סדרות מתכנסות”) שאין מספר רציונלי אליו הן מתכנסות (למשל, סדרות שמתכנסות לפאי). תיארתי גם את הפתרון: הגדרת המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי שכאלו של מספרים רציונליים. היו מספר נקודות עדינות שהתעלמתי מהן לחלוטין - למשל, איך נמדדת קרבה בין מספרים, ואיך מגדירים את פעולות החשבון על הסדרות הללו וייתכן שארחיב על כך בהמשך, שכן יש בהן עניין רב לכשעצמן (לדוגמה, מתברר ששינוי הצורה שבה אנו מבינים את מושג ה”מרחק” הזה, והפעלת אותו תהליך בדיוק, יוצרת את מה שמכונה “המספרים ה-p-אדיים”), אך כעת אני רוצה לעבור אל המוטיבציה השניה להגדרת הממשיים, וההגדרה השונה (אך השקולה) שאליה היא הובילה.

בשביל לעשות כן, צריך להכניס לתמונה מושג חדש, שעד כה התעלמתי ממנו: סדר.

ברמה הבסיסית ביותר, סדר הוא היכולת להביט על שני איברים \( x,y \) של קבוצה כלשהי, ולהגיד “\( x \) בא קודם”. אם זה קורה, מסמנים \( x<y \) - כלומר, משתמשים בסימן שמוכר לנו בתור “קטן מ-“. זה לא מקרי, שכן הדוגמה הפשוטה ביותר לסדר היא אכן “\( x \) בא לפני \( y \) אם ערכו המספרי קטן יותר”.

אלא שזה לא מחוייב המציאות; במתמטיקה מגדירים בתור סדר כל יכולת השוואה בין איברים שמקיימת את התכונות הבסיסיות להן אנו אפשר לצפות מסדר: אם \( x<y \) וגם \( y<z \) אז \( x<z \) (תכונה זו מכונה טרנזיטיביות), ולא ייתכן שיתקיים גם \( x<y \) וגם \( y<x \). ברמה הכללית ביותר אפילו אין דורשים שכל שני איברים יהיו ניתנים להשוואה.

דוגמה לסדר נוסף שאנו משתמשים בו בחיי היום-יום שלנו הוא הסדר הלקסיקוגרפי שנמצא במילונים: קודם מוגדר סדר על אותיות בצורה הטבעית (א’ בא לפני ב’, וכן הלאה) ואז, בהינתן שתי מילים, עוברים עליהן אות אות, עד שמגיעים לאות הראשונה ששונה וקובעים את הסדר על פיה. כך למשל “ממותה” יבוא לפני “ממשי”, שכן שתי האותיות הראשונות זהות ובאות השלישית ה-ו’ של הממותה באה לפני ה-ש’ של ממשי. אם יש לנו סיטואציה כמו של “כמו” ו”כמובן”, שבה אחת המילים נגמרת והשנייה ממשיכה מבלי שהגענו לאות שונה (כלומר, אחת המילים היא ההתחלה של המילה השנייה - ובלשון יותר מהודרת, היא רישא שלה) לרוב מחליטים שהמילה הקצרה יותר באה קודם.

חזרה למספרים. על המספרים הטבעיים קל להגדיר סדר, גם כשהם מוגדרים בצורה פורמלית: ייתכן שאתם זוכרים שהגדרנו את הטבעיים בתור קבוצות, כך שלמשל\( 5=\{0,1,2,3,4\} \). אם כן, המספר \( x \) יהיה קטן מהמספר \( y \) אם הוא איבר בקבוצה שמגדירה את \( y \). יש עוד דרכים להגדיר את הסדר על הטבעיים שלא ניכנס אליהן.

הרחבת ההגדרה על השלמים היא קלה גם כן: \( (a,b)(c,d) \) (אנחנו מסתכלים על השלמים כעל זוגות טבעיים) כאשר \( a+d<c+b \), כשכאן “\( < \)” הוא במשמעותו עבור מספרים טבעיים (שימו לב ששני האגפים מכילים רק מספרים טבעיים.

בשלב הבא מגדירים עבור רציונליים: \( (a,b)<(c,d) \) (הפעם מדובר על זוגות של מספרים שלמים) כאשר \( ad<bc \) (ושוב, משמעות סימן אי השוויון היא זו שהוגדרה עבור שלמים). נסו להבהיר לעצמכם למה שתי ההגדרות הללו “טובות” ומתאימות לאינטואיציה שלנו - זה לא קשה.

והנה, ברציונליים פתאום צצה ומופיעה תכונה מעניינת, שנכנה “צפיפות” - לכל זוג רציונליים \( x<y \) קיים רציונלי שלישי \( z \) כך ש-\( x<z<y \). זה לא נכון עבור שלמים או טבעיים: למשל, עבור \( 1<2 \) אין מספר שלם שלישי שנמצא בין \( 1 \) ו-\( 2 \) ולא שווה לאף אחד מהם.

זו תכונה מאוד מעניינת, כי היא יוצרת אינטואיציה שנוגדת את הטענה הישנה שלי, ש”ציר המספרים מלא חורים”. איך יכולים להיות חורים, שמתבטאים לכאורה בפער בין שני מספרים ש”אין בו כלום”, אם בין כל שני מספרים יש משהו?

בואו נביט על שתי קבוצות של מספרים רציונליים: \( A=\{x|x<0 \vee x^2<2\}, B=\{x|x>0 \wedge x^2\ge 2\} \), ובמילים: \( A \) היא קבוצת כל המספרים הרציונליים שהריבוע שלהם קטן מ-2, ובנוסף כל השליליים, ואילו \( B \) היא קבוצת כל המספרים הרציונליים החיוביים שהריבוע שלהם גדול או שווה ל-2.

מייד אפשר לראות כמה תכונות ברורות של זוג הקבוצות הללו: כל מספר רציונלי שייך לאחת משתיהן (כי הריבוע של כל מספר רציונלי הוא או קטן מ-2, או גדול/שווה ל-2) . כל איבר ב-\( A \) קטן מכל איבר ב-\( B \) (כי אם ריבוע של מספר חיובי אחד קטן מריבוע של מספר חיובי שני, המספר הראשון קטן מהמספר השני, ובנוסף דרשנו באופן ישיר שכל השליליים יהיו ב-A), וב-\( A \) אין איבר מקסימלי, כלומר איבר \( x \) שכל איבר אחר ב-\( A \) קטן ממנו. התכונה השלישית היא הקשה ביותר להוכחה, אבל גם ההוכחה שלה היא בסך הכל טכנית ומבוססת על כך שאם יש לנו מספר שהריבוע שלו קטן מ-2, אז אפשר להגדיל אותו עוד “טיפה” (כשגודל ה”טיפה” תלוי בגודל המספר), ועדיין שהריבוע שלנו לא יעבור את 2.

לזוג קבוצות שמקיים את שלוש התכונות הללו קוראים חתך רציונלי. הסיבה שאני מתעכב על המושג היא שהוא יעזור הן בהבהרת הבעיה, והן בפתרונה. המילה “חתך” מגיעה מכך שאפשר לחשוב על זוג הקבוצות כאילו התקבל מ”חיתוך” של קבוצת המספרים הרציונליים (המסודרת על ציר המספרים) לשתיים. היכן מתחילה הבעיה? בתוך נקודת החיתוך עצמה.

אינטואיטיבית, אם “חיתוך” שכזה מבוצע על ידי חיתוך של ציר המספרים במקום שרירותי, הרי שאם ציר המספרים הוא רציף ולא מכיל חורים, היינו מצפים שנקודת החיתוך עצמה תהיה מספר רציונלי. אלא שכאן מגיעה המכה - זה לא בהכרח נכון. בדוגמה שהבאתי, נקודת החיתוך היא \( \sqrt{2} \), שכבר ראינו שאינו מספר רציונלי.

אבל רגע, מה זו בכלל “נקודת חיתוך”? איך נגדיר אותה באופן פורמלי? ובכן, הגדרה סבירה היא זו: \( z \) היא נקודת החיתוך בחתך \( (A,B) \) אם \( z \) גדולה או שווה לכל איבר ב-\( A \), וקטנה או שווה לכל איבר ב-\( B \). הגיוני, לא? \( z \) היא פשוט הנקודה שבה מתבצעת הפרדה בין \( A \) ובין \( B \).

מתברר שיש שם אחר לאותו המושג. במתמטיקה, אם יש לנו קבוצה \( A \) ואיבר \( z \) כך ש-\( x\le z \) לכל איבר \( x \) ב-\( A \), אז \( z \) נקרא “חסם מלמעלה של \( A \)” (או בשם אחר: “חסם מלעיל”). מבין כל החסמים מלמעלה של \( A \), אפשר להגדיר אחד שיהיה “מעניין ביותר” במובן מסויים - החסם מלמעלה הקטן ביותר של \( A \), כלומר חסם מלמעלה שכל שאר החסמים מלמעלה גדולים או שווים לו. לחסם המיוחד הזה קוראים “חסם עליון”, או “סופרמום”.

כעת אפשר להגדיר את הנקודה המפרידה בחתך בצורה יותר פשוטה: היא החסם העליון של \( A \). נסו להבהיר לעצמכם מדוע זה נכון.

אם כן, ניתן לנסח את הבעיה שלנו עם ציר המספרים, שקודם נוסחה בצורה מדוייקת כ”יש סדרות קושי שאין להן גבול” גם בשם מדוייק אחר: “קיימות קבוצות חסומות שאין להן חסם עליון”.

זו הבעיה. מה הוא פתרונה? כפי שקודם הבעיה נפתרה באמצעות האובייקט שהדגים את הבעיה (בחרנו לייצג את הנקודות החסרות בתור סדרות קושי), כך גם במקרה הזה: אנחנו נגדיר את המספרים הממשיים בתור קבוצת החתכים הרציונליים. החתך שהצגתי לעיל ייצג את \( \sqrt{2} \), ובאופן כללי חתך ייצג את “נקודת החיתוך” שלו.

כמובן שכאן הכיף רק מתחיל; צריך להגדיר פעולות של חיבור וכפל, לראות שהן עדיין “עובדות”, ושיחס הסדר עדיין עובד, ושהכל מתאים למה שאנחנו רוצים. לא אכנס לזה מכיוון שזה מכניס לתמונה רמות חדשות של מורכבות (לא התייחסתי עדיין כלל לשאלה איך אמור יחס סדר באופן כללי “להתנהג” כשיש פעולות חיבור וכפל), ורק אעיר שזה עובד, ועובד טוב. זה עובד כל כך טוב עד שבשיעור הראשון בקורס חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כשמציגים את הממשיים, מספרים על תכונה שלהם שנקראת “אקסיומת השלמות” ואומרת “לכל קבוצה חסומה יש חסם עליון”. העובדה שמציגים אותה כאקסיומה באה להתחמק מהצורך לבנות את הממשיים בצורה פורמלית כפי שראינו כעת - פשוט אומרים “נניח שהתכונה הזו מתקיימת ונראה מה קורה”. את הפחד שלנו מפני הנחות לא מבוססת הבניה הפורמלית מפיסה, אבל אין צורך להעיק בה על סטודנטים שזה עתה התחילו ללמוד.

אבל גם בבנייה הזו לא חמקנו מהבעייתיות שהייתה בבניה הקודמת - האינסוף. קודם הממשיים הוגדרו באמצעות סדרות אינסופית של מספרים רציונליים. כעת הם מוגדרים בידי קבוצות אינסופיות של מספרים רציונליים - הבעיה נותרה בעינה: בעוד שעד עתה, כל מספר היה ניתן לייצוג בידי מספר סופי של סימנים, כאן אבדה לנו היכולת הזו. התיאור הפורמלי של כל מספר ממשי הוא אינסופי. האינסופיות הזו היא מה שהופך את הקפיצה מרציונליים לממשיים לקפיצת הדרך הגדולה ביותר שאנו עוברים בכל שלבי המסע שלנו.

עוד הערה אחת: בניית הממשיים באמצעות חתכים הומצאה בידי ריכארד דדקינד, בשנת 1872 (אותה שנה שבה קנטור הציג את הבנייה שלו), ולכן החתכים הללו מכונים “חתכי דדקינד”. בערך מאה שנים לאחר מכן הכליל המתמטיקאי ג’ון קונווי את הרעיון, ויצר את מה שמכונה “מספרים סוריאליסטיים” - מערכת מספרים שמכילה את הממשיים (לא את המרוכבים, למרות שגם אותם אפשר להוסיף לקלחת) אבל גם מאפשר לדבר על מספרים “אינסופיים”. לא ניכנס לנושא כאן, אבל מי שמעוניין יכול לקרוא את ספרו (הטכני והלא קל, למרות סגנונו הידידותי) של קונווי “On Numbers and Games”.

מה הלאה? מילאנו את החורים שבציר המספרים, ותוך כדי גם פתרנו את המשוואה \( x^2-2=0 \), אבל אנחנו עדיין לא מסוגלים להתגבר על משוואות טריוויאליות כמו \( x^2+1=0 \). הלאה, למספרים המרוכבים!