אם תרצו, אין זה דמיון

מערכת המספרים הממשיים היא מערכת טובה. היא סגורה לארבע פעולות החשבון, היא שלמה במובן שלפיו כל סדרה שמצפים ממנה להתכנס, אכן מתכנסת. לכל קבוצה חסומה בה יש חסם עליון, וכתוצאה מכך יש לנו סגירות לפעולות מעניינות רבות ונוספות - למשל, אפשר להגיד “העלאה בחזקת \( \pi \)” של מספר (איך? בפעם אחרת). אלא שכאן מתחילות הצרימות - אי אפשר לעשות את זה לכל מספר, אלא רק למספרים החיוביים. השליליים נותרים קרקע שלא ניתן להתקרב אליה.

כך המצב גם במקרים אחרים - למשל, פונקצית הלוגריתם אף היא אינה מוגדרת למספרים שליליים. אבל הבעיה המרכזית מתחילה, כפי שכבר ידוע לנו, הרבה יותר מוקדם - לא ניתן להוציא שורש למספרים שליליים, ובפרט, לא קיים מספר ממשי \( a \) כך ש-\( a^2=-1 \).

מתברר שהבעיה הקטנה הזו היא המקור לכל שאר הבעיות, ומרגע שנפתור אותה, כולן ייפתרו.

הפתרון, כפי שפתרנו בעבר את הבעיות שגרמו ליצירת המספרים השלמים והרציונליים, מבוסס על הגדרה של מערכת מספרים חדשה על בסיס הקודמת. כמקודם, ההגדרה תתבצע באמצעות הגדרת כל מספר חדש בתור זוג של מספרים ישנים, והגדרה מתאימה של פעולות הכפל והחיבור. לפני שנעשה את זה בצורה פורמלית, ננסה לגלות את המוטיבציה להגדרות.

ובכן, נניח (נניח! טרם הוכחנו או בנינו כלום) שהצלחנו בדרך פלא להרחיב את מערכת המספרים שלנו, כך שהיא כוללת הן את כל המספרים הממשיים שאנחנו מכירים, והן מספר חדש שריבועו הוא מינוס 1. יש דרכים רבות לסמן את המספר הזה, והבחירה ההיסטורית הייתה באות i, ולכן כך יהיה: המערכת שלנו מכילה מספר נוסף שמקיים \( i^2=-1 \). כעת, מה נובע מכך?

אנו מעוניינים שהמערכת שלנו תהיה סגורה לפעולות החשבון. סגירות לכפל פירושה שגם כל מספר מהצורה \( b\cdot i \) שייך למערכת שלנו, וסגירות לחיבור גוררת שכל מספר מהצורה \( a+bi \) שייך למערכת שלנו (נסו לחשוב למה לא נובעות דרישות חזקות יותר). סגירות לחיסור לא מציבה קושי, שכן \( i+(-i)=0 \), כלומר קל למצוא איבר נגדי ל-\( i \). סגירות לחילוק דורשת שיהיה מספר “הופכי” שכאשר כופלים אותו ב-\( i \) מקבלים 1 (ואז פירוש חלוקה ב-\( i \) היא כפל בהופכי הזה). במקרה שלנו קל למצוא אותו: \( i\cdot(-i)=-i^2=1 \). שימו לב לתכונה מעניינת: ההופכי והנגדי שניהם אותו מספר.

אם כן, מערכת המספרים שלנו תהיה מורכבת מאיברים שהם מהצורה \( a+bi \), כאשר \( a,b \) שניהם מספרים ממשיים. זה מעניין, שכן זה אומר שעל מנת לתאר מספר מתוך המערכת, די להכיר את שני המקדמים הללו - כלומר, אפשר לתאר כל מספר מהמערכת כזוג מספרים ממשיים.

נותר לבדוק איך ייראו פעולות הכפל והחיבור בין היצורים הללו. אנו מקווים שכללי החיבור והכפל הרגילים נשמרים, פועלים על פיהם, ומקבלים:

\( (a+bi)+(c+di)=a+c+bi+di=(a+c)+(b+d)i \)

\( (a+bi)(c+di)=ac+bic+dia+bdi^2=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i \)

ומכאן אנו שואבים את ההגדרות ה”פורמליות” למספרים המרוכבים:

כל מספר מרוכב יהיה זוג של מספרים ממשיים \( (a,b) \). פעולת החיבור על המרוכבים תוגדר כחיבור “על פי קוארדינטות” (כמו בשלמים): \( (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \). פעולת הכפל תוגדר בצורה מחוכמת יותר, שנובעת מהחישוב שלנו לעיל: \( (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad) \). אני מקווה שההגדרה לא נראית שרירותית אלא ברור מהיכן הגיעה.

חישוב מהיר מראה כי במערכת הזו מתקיים \( (0,1)(0,1)=(-1,0) \) - כלומר, יש לנו שורש למינוס 1. לצורכי נוחות אנו לא משתמשים בסימון \( (a,b) \) כדי לציין מספר מרוכב אלא בסימון \( a+bi \), אבל זוכרים שזה סימון בלבד (כשם שהשתמשנו בסימן המינוס כדי לציין מספר שלילי, אבל זכרנו שבפועל מדובר בזוג מספרים טבעיים).

זוהי כל הבנייה. מכאן מגיעים היצורים המוזרים בתכלית. מבנייה שאין הבדל עקרוני בינה לבין בניית השלמים או הרציונליים, ובוודאי שהיא פשוטה יותר מבניית הממשיים. למה זה נכון? לא “ככה”, אלא כי בנינו בצורה מסודרת את אוסף המספרים הזה, ווידאנו שעדיין מתקיימות בו התכונות שמעניינות אותנו.

אבל האם זה נכון? לא לגמרי. כשמכניסים את המרוכבים למשחק, מאבדים את הסדר שהוגדר על הממשיים. להשוות שני מספרים ממשיים לפי גודל זה קל, אבל להשוות זוגות של מספרים ממשיים זה יותר בעייתי. נכון, יש כמה וכמה דרכים להגדיר את ההשוואה (למשל, לפי סדר לקסיקוגרפי), אבל אף אחת מהן לא מועילה כמו שמועיל הסדר הקיים על הממשיים. כתוצאה מכך לממשיים יש מקום של כבוד גם בתוך המרוכבים; כשמדברים על “אורך” של מספר מרוכב, למשל, או על מרחק בין שני מרוכבים, תמיד מדובר על מספר ממשי, כך שהשוואת אורכים ומרחקים היא קלה.

פרט לחיסרון הזה, רוב מה שאנו נתקלים בו במרוכבים הוא יתרונות: אפשר להרחיב את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי למספרים המרוכבים, והתוצאות אשר מתקבלות שם הן במובנים מסויימים יותר “שלמות” (קשה להביא דוגמאות, אבל הנה אחת שולית - וטכנית - בכל זאת: הטור שמייצג את הפונקציה \( \frac{1}{1+x^2} \) לא מתכנס בנקודה \( x=1 \) למרות שלכאורה אין בה כל בעייתיות; כשעוברים למרוכבים רואים שכן קיימת בעייתיות בנקודה \( x=i \), מה שתוחם את רדיוס ההתכנסות של הטור). אפשר להגדיר את הלוגריתם למספרים שליליים. אפשר להגדיר חזקה כלשהי לכל מספר (כולל חזקה מרוכבת למספר מרוכב).

ולכל משוואה פולינומית יש פתרון.

זה היה “הגביע הקדוש” שלנו, למרות שכזכור, יכלנו להשיג אותו, בדרך שונה, כבר לפני המעבר לממשיים. מכיוון שהמשפט שאומר זאת מכונה “המשפט היסודי של האלגברה”, כנראה שלפחות בזמן המצאת שמו התוצאה הזו נראתה חשובה מאוד, ולכן גם אני ארחיב עליו קצת.

ניסוחו המדוייק של המשפט הוא “לכל פולינום ממעלה \( n \) מעל המרוכבים יש בדיוק \( n \) שורשים”. (“שורש” הוא פתרון של המשוואה הפולינומית \( f(x)=0 \)). ממבט ראשון הניסוח לא כל כך ברור. מה עם הפולינום \( x^2-2x+1 \)? לא קשה לראות (פתרון משוואה ריבועית) שיש לו רק שורש אחד, \( 1 \), למרות שמעלת הפולינום היא \( 2 \).

כאן נכנס לתמונה מושג הריבוי של שורש. באופן כללי, אם \( a \) הוא שורש של פולינום \( f \), אז אפשר לפרק את \( f \) בצורה הבאה: \( f(x)=g(x)\cdot(x-a) \), כאשר \( g(x) \) גם הוא פולינום (ממעלה קטנה ב-1 מזו של \( f \)). אם \( a \) הוא שורש של \( g \) ניתן להמשיך בפירוק, וכן הלאה וכן הלאה. בסוף מקבלים ש-\( f(x)=h(x)\cdot(x-a)^k \), כאשר \( h \) הוא פולינום ש-\( a \) אינו שורש שלו, ואז אומרים שהריבוי של השורש \( a \) הוא \( k \). אם כן, ניסוח יותר מדוייק למשפט היסודי הוא “סכום הריבויים של שורשי הפולינום שווה לדרגת הפולינום”.

מכאן גם אפשר לראות מדוע הניסוח של “לכל משוואה פולינומית יש שורש” שקול לניסוח המקורי של המשפט: ניקח פולינום \( f \) מדרגה \( n \) ונרצה להראות שיש לו \( n \) שורשים. נשתמש בטענת “לכל פולינום יש שורש” כדי למצוא שורש \( a \) עבור \( f \), נפרק את \( f \) ל-\( f(x)=g(x)\cdot(x-a) \), ונמשיך באינדוקציה על \( g \).

המשפט הוכח לראשונה (בצורה שמשכה מספיק תשומת לב; היו נסיונות הוכחה קודמים) בידי קרל פרידריך גאוס, הנחשב לאחד מ”שלושת הגדולים” של המתמטיקה יחד עם ניוטון וארכימדס. מאז התפרסמו הוכחות רבות נוספות. אלא שבימינו ירדה מעט קרנו של המשפט. לא חסרים מתמטיקאים שמלגלגים על שמו ה”מפוצץ”, טוענים שבאלגברה המודרנית בקושי משתמשים בו, ושהוא בכלל משפט באנליזה ולא באלגברה שכן ההוכחה שלו מתבססת על אנליזה (ההוכחה הפשוטה ביותר, זו שנלמדת על ידי כל סטודנט תואר ראשון למתמטיקה, מבוססת על ההכללה של החשבון האינפיניסטימלי למספרים מרוכבים, והיא אכן אינה מסובכת לאחר שנבנו מספיק יסודות).

קטונתי מלהתייחס לשתי הטענות הראשונות, אבל הטענה השלישית אינה מדוייקת לחלוטין, שכן קיימת הוכחה למשפט היסודי שמסתמכת כמעט לגמרי רק על שיקולים אלגבריים. השימוש היחיד באנליזה הוא במשפט המכונה “משפט ערך הביניים” (שנלמד כבר בקורס החשבון האינפיניטסימלי הבסיסי ביותר), וגם בו משתמשים רק כדי להראות שלפולינום ממעלה אי זוגית קיים שורש (ממשי, במקרה זה). איני מתיימר להבין בתחום, אך לא ברור לי כיצד ניתן להמנע אפילו מהטענה הזו - המשפט היסודי מסתמך על כך שהישר הממשי הוא רציף (אחרת, היו פולינומים שלא היה להם שורש, כמו \( x^2-2 \) המפורסם), ומכיוון שהמספרים הממשיים נבנו בעזרת מושגים אנליטיים (סדרות מתכנסות או חסמים עליונים), לא ניתן לחמוק מהם לחלוטין. אם אני טועה וניתן לחמוק זו תהיה תגלית מעניינת מאוד בשבילי.

המספרים המרוכבים הם סוף המסע אל המספרים, למרות שקיימים המשכים אפשריים שונים. המפורסם בהמשכים הללו הוא כנראה חוג הקווטרניונים, שדומה למספרים המרוכבים אך עם שלושה “מספרים מדומים” שונים: \( i,j,k \), שמקיימים תכונות כפל מסויימות בינם לבין עצמם. אני אומר חוג ולא שדה שכן הקווטרניונים מאבדים את אחת מהתכונות של שדה: חוק החילוף (\( a\cdot b=b\cdot a \)) לא מתקיים בהם. לכן לרוב מסתפקים במספרים המרוכבים ובתורה העשירה והמעניינת לכשעצמה שהם מציעים.

רק עוד הערה לסיום: הבניה של המספרים המרוכבים שהצגתי היא בכל זאת ולמרות הכל שרירותית למדי. קיימת בנייה מחוכמת יותר, שמשיגה את אותה התוצאה בדיוק אך עושה זאת מתוך גישה כללית יותר. הנושא הזה נלמד כחלק מהתחום של “הרחבת שדות”, אך מכיוון שהוא מסובך למדי אני מעדיף לא להיכנס אליו כלל בשלב הזה. רק אעיר שמאותו תחום עצמו ומאותם רעיונות בדיוק (לאחר פיתוח והרחבה נוספים) מגיעים הפתרונות לכמה מהבעיות המרתקות ביותר של המתמטיקה: ההוכחה שבעיות ריבוע העיגול, שילוש הזווית והכפלת נפח הקוביה הן בלתי אפשריות לביצוע באמצעות סרגל ומחוגה, והעובדה שאין פתרון אלגברי (שמבוסס על ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש) כללי למשוואות ממעלה חמישית ומעלה. אני מקווה להרחיב על הנושאים הללו בעתיד.