(צ)חוק פאי

גם למתמטיקה האגדות האורבניות שלה. אגדה אחת (שאולי נתנה השראה ליוצרי הסרט “סיפורו של ויל האנטינג”) מספרת על סטודנט למתמטיקה שהגיע באיחור להרצאה לאחר שהתרוקנה הכיתה, ראה על הלוח מספר שאלות שנראו לו כתרגיל הבית הראשון, בא למרצה למחרת ואמר שהצליח רק שתיים מבין חמש השאלות, והמרצה המתפלץ סיפר לו שכתב את כל השאלות על הלוח כדוגמה לבעיות קשות במתמטיקה שטרם נפתרו.

לסיפור הזה, מסתבר, יש בסיס שקל לאתר בחיפוש מהיר באינטרנט. גם לאגדות נוספות יש בסיס עובדתי, אך לרוב האמת מסובכת הרבה יותר מהגרעין העובדתי שבבסיס הסיפור - וכך גם במקרה שעליו אני רוצה לדבר הפעם, של “חוק” פאי.

האגדה פשוטה - מסופר כי מדינה כלשהי - ככל הנראה בארה”ב - העבירה חוק שקבע את ערכו של פאי להיות X, כאשר X הוא לרוב 3, אבל לא תמיד (כמובן שהוא תמיד מספר “פשוט” ששונה מערכו האמיתי של פאי). גם הסיבות מגוונות - החל ברצון לעשות את החיים קלים יותר לתלמידים בבית הספר וכלה בכניעה ללחצי כפיה דתית.

מבוא קצר: פאי הוא קבוע מתמטי, מספר שבא לציין את היחס בין היקף מעגל לקוטרו (זה לא מובן מאליו שהיחס הזה קבוע לכל מעגל, אך זה המצב בגאומטריה הסטנדרטית, האוקלידית; ומכל מקום, אפשר להסתפק בלהגדיר את פאי עבור מעגל שרדיוסו באורך 1, מה שנקרא “מעגל היחידה”). כשכותבים את פאי כמספר עשרוני, הוא שווה בערך ל-3.14159 - ואני אומר “בערך” כי פאי הוא מה שמכונה מספר אי רציונלי - אי אפשר להציג אותו בצורות פשוטות כמו שבר (מנה של שני מספרים שלמים), או בהצגה עשרונית שנגמרת מתישהו או לפחות מתחילה לחזור על עצמה. הדבר הוכח במאה ה-18, אם כי פאי עצמו היה בסביבה כבר מימי יוון העתיקה (וארכמידס חישב אותו בדיוק נאה למדי באמצעות שיטת קירוב מבריקה).

אם כן, פאי הוא לא משהו שאפשר לשלוט עליו. אפשר להחליף את ההתחכמות האתאיסטית של “האם אלוהים יכול ליצור אבן שהוא לא יכול להרים” בשאלה הפשוטה יותר, האם אלוהים יכול לשנות את ערכו של פאי (התשובה: לא נראה לי). לכן זה אווילי למדי לנסות לקבוע את ערכו בחוק. מה שכן אולי אפשר לנסות לקבוע זה קירוב “מוסכם” שלו, מעין תקן. כאן זה לא מופרך לגמרי; נניח שנותנים במבחן בבית ספר שאלה בעלת תשובה מספרית שמחייבת שימוש בפאי. אם בבית ספר אחד התלמידים “מתרגלים” להשתמש בשלוש ספרות קירוב, ובבדיקת המבחן מחליט פתאום משרד החינוך לבדוק בחמש ספרות קירוב ולפסול מבחנים של תלמידים, יש לנו בעיה. כמובן שנשמע מופרך שמשרד החינוך ישנה את דעתו בלי להודיע למורים - אבל נו באמת, דברים גרועים מכך כבר קרו.

אלא מה, לקבוע את ערכו של פאי ל-3 בתור “קירוב מוסכם” זה כבר מגוחך. זה יניב תוצאות עקומות לחלוטין בחישובים. פיזיקאים רבים נוהגים להתלוצץ על כך ש”בקורס שלי פאי שווה 3” כדי להראות עד כמה הם מסתמכים על קירובים, אבל אפילו הם מבינים שתוצאות שניתנות בעזרת קירוב כזה יכולות להיות בעייתיות במקרים רבים. אם כבר בוחרים קירוב מוסכם, עדיף לבחור קירוב מדוייק יותר. כמובן ששורש הרוע האמיתי בכל זה הוא העובדה שמבחנים עשויים לדרוש תוצאות סופיות מספריות - מה שמעיד על כמה הם רחוקים מלהיות מבחנים במתמטיקה אמיתית.

על טיעוני “הכפיה הדתית” ראוי לדבר בפוסט נפרד. הסיבה להן פשוטה - טקסט תנ”כי (מלכים א’ ז’ כ”ג) שממנו ניתן “להסיק” שערכו של פאי “על פי התורה” הוא 3, ולכן התורה “שגויה”. זה בפני עצמו הוא קשקוש מוחלט, אבל גרוע עוד יותר הוא הנסיון של כמה אנשים לנצל זאת לטובת הדת דווקא ולהראות איך “תיקון” של הערך שמשתמע מהטקסט הזה נותן קירוב מדוייק מאוד של פאי, ולכן רומז לאלוהיותו של התנ”ך. כאמור, אני מקווה להרחיב על זה בפוסט אחר מתישהו.

חזרה לחוק פאי. הצ’יזבט כאמור קיים, אך בסיס עובדתי - אין. מעולם (עד כמה שידוע לי) לא הועבר אף חוק שניסה לקבוע את ערכו של פאי. אפילו מחוקקים הם לא מטומטמים עד כדי כך, כנראה. מה שכן יש הוא חוק שהועבר באינדיאנה בשנת 1897 ונגנז חיש קל בהתערבותו של מתמטיקאי. החוק לא מנסה בשום צורה לקבוע את ערכו של שום קבוע מתמטי - הוא מנסה להציע מה שהוא מכנה “אמת מתמטית חדשה” כדי שתשתמש את מדינת אינדיאנה “ללא תשלום”. בקיצור - מתנה. המתנה היא שיטה לריבוע המעגל (או בשם יותר מדוייק ופחות נפוץ, ריבוע העיגול), ש”הומצאה” בידי מה שמכונה באנגלית Mathematical Crank ובעברית, בהיעדר תרגום רשמי, אכנה “טרחן מתמטי כפייתי”, בהתבסס על מאמרו המצויין של אלון עמית.

מבוא שני: בעיית ריבוע המעגל היא בעיה עתיקה, עוד מימי היוונים, שמנוסחת כך: בהינתן עיגול, האם ניתן לבנות ריבוע ששטחו זהה לשטח העיגול? בפרט, אם העיגול שלנו הוא מרדיוס 1 שטחו הוא פאי (תוצאה שאיננה טריוויאלית בפני עצמה) ולכן בעיית ריבוע המעגל ניתנת לצמצום לבעיה של בניית ישר שאורכו שורש פאי (כי אם ישר כזה הוא צלע של ריבוע, שטח הריבוע הוא פאי).

על פניו זה לא בהכרח קשה; האתגר הוא לעשות את זה תוך שימוש בשני כלים מוגבלים למדי - סרגל ומחוגה בלבד, כש”סרגל”, בניגוד לסרגלים של ימינו, אינו מסומן בשנתות ואי אפשר למדוד בו אורכים, אלא רק להעביר קווים ישרים.

לא אכנס כאן לכללי המשחק המדוייקים של בניה בסרגל ומחוגה - גם אל הנושא הזה אני מקווה לחזור בעתיד. הנקודה המהותית והחשובה כאן היא שלא עלה בידי אף אחד למצוא שיטה לריבוע המעגל באמצעות סרגל ומחוגה בלבד במשך אלפי שנים, ולבסוף הוכח (לפני 1897) שהדבר פשוט בלתי אפשרי. כמובן שזה לא מנע מהמוני אנשים להמשיך להאמין שהם מצאו שיטה טריוויאלית לריבוע המעגל - לרוב מתוך חוסר הבנה של מה בעצם צריך לעשות, או התעלמות מעובדות מתמטיות אלמנטריות.

וכאן נכנס מושג הטרחן המתמטי הכפייתי לתמונה. טרחן מתמטי כפייתי הוא אדם (לרוב ללא רקע פורמלי במתמטיקה, אך לא בהכרח) שעוסק במתמטיקה בצורה שהיא חסרת תועלת לחלוטין, ולרוב בהתלהבות שעומדת בפרופורציה הפוכה לתועלת שלו. הגדרה טובה תהיה באמצעות דוגמאות, וכאלו לא חסרות - רבות מהן קובצו בספר המצויין של Underwood Dudley שנקרא פשוט “Mathematical Cranks”. לא חסרים טרחנים שסבורים שמצאו פתרון פשוט לבעיה שפתרונה סבוך ביותר, או שטרם נפתרה, או שאי אפשר לפתור - למשל, המשפט האחרון של פרמה, השערת גולדבך, ריבוע המעגל (ושני אחיו החורגים, הכפלת הקוביה ושילוש הזווית), משפט ארבעת הצבעים ועוד כהנה וכהנה. לרוב יש בהוכחה שלהם טעות או “רמאות” בסיסית (כלומר, מעבר שאינו מנומק היטב ולא ניתן לנמק אותו) שהם מסרבים לשים אליה לב. טרחנים אחרים משוכנעים שהתורות המתמטיות הנוכחיות שגויות מהותית - למשל, כאלו שטוענים ש”קנטור טעה” ושיטת האלכסון שלו לא מוכיחה כלום. דוגמה לאחד כזה ניתן למצוא בדיון שהתפתח בתגובות למאמר של אלון עמית, ובו נטלתי חלק פעיל, שלא בהכרח לטובתי.

אם כן, העומד מאחורי החוק של אינדיאנה היה טרחן שכזה, שחשב שגילה שיטה לריבוע העיגול ומתוך רצון אלטרואיסטי (נניח) בחר להעניק אותה למדינת אינדיאנה. לפעמים סיפורי נדבות שכאלו עשויים להיות טראגיים - דדלי מביא את סיפורו של טרחן שהקדיש שנים רבות לחיפוש אחר שיטה לייצור שלשות פיתגוריות ולבסוף פרסם ספר (מסובך ובלתי קריא) שבו מוצגת השיטה, כשההקדמה אליו מעידה על נטיות אלטרואיסטיות מרגשות. חבל שאיש לא סיפר לו (או שסיפרו והוא לא הבין) שייצור כל השלשות הפיתגוריות הוא טריוויאלי לחלוטין.

למרבה השמחה, הצעת החוק ניתנת לקריאה באינטרנט לכל דורש. כך ניתן לעמוד על אופיו של טקסט טרחני “קלאסי”. אין הרבה טעם לדבר או לנסות לפענח את הטקסט עצמו, למרות שכבר היו כאלו שנרתמו בששון למשימה - אני משאיר לכל אחד את ה”משחק” של לנסות ולהבין מה הולך שם ולבדוק מתי זה מפסיק לשעשע. הסיבה לכך שהחוק הזה (כנראה) הוא שגרם ליצירת האגדה של “חוק פאי” היא שהמאמר מצביע על ערכו של פאי - למעשה, על ערכים רבים ושונים של פאי. הברורים שבהם הם 4, שבא לידי ביטוי במשפט “: It has been found that a circular area is to the square on a line equal to the quadrant of the circumference”, ו-3.2, שבא לידי ביטוי במשפט “disclosing the fourth important fact, that the ratio of the diameter and circumference is as five-fourths to four”. דדלי מספר על מישהו שהצליח למצוא תשעה ערכים שונים של פאי שניתנים להפקה מהטקסט - די מרשים בהתחשב בכך שהוא אינו ארוך במיוחד ושחלקו השלישי מוקדש לפיאור והילול הצלחותיו הגדולות של המחבר שפורסמו כבר בכתב עת מתמטי נחשב (דדלי טוען שהן אכן פורסמו, אבל על תקן “פרסומת שלא בתשלום” - אולי העורכים חשבו שיהיה זה דבר משעשע לפרסם).

כאמור, בתחילה שקלו חברי המועצה של אינדיאנה ברצינות את העברת החוק. אפשר ללעוג להם, אבל צריך לזכור שהם היו חסרי כל הבנה במתמטיקה, וכנראה שהטרחן הצליח להוליך אותם שולל בהעמדת הפנים שלו כאילו יש מאחוריו גיבוי של מתמטיקאים “נחשבים” (טרחנים נוהגים לעשות זאת; הדבר דומה למה שקראתי רק השבוע ב”הארץ”, על איזו “מומחית לתת מודע” שמתהדרת בצילום עם נשיא המדינה שמעון פרס, שמצדו, מתברר, פשוט מצטלם עם כל מי שמבקש, “כמו ג’נטלמן”).

בסופו של דבר התערב בכל הפיאסקו מתמטיקאי אמיתי, והחוק נדחה עד אין קץ ולא עבר. נשארנו בעיקר עם הצ’יזבט, ועם דוגמה אחת מני רבות לנוכחותם המזיקה של הטרחנים המתמטיים.