האם יש שיטה למציאת שורש ריבועי? (כן!)

לא מזמן עסקתי במהומה שהקים טרחן מתמטי כפייתי (“Mathematical Crank”) שחשב כי ביכולתו לרבע את המעגל, ויצר אגדה אורבנית על חוקים שקובעים שפאי שווה 3. אלון עמית הזכיר לי דוגמה נוספת, רלוונטית הרבה יותר - מקורה בישראל וגילה קצת יותר משנה. למרבה המזל, היא הסתיימה ללא הדים מיוחדים, ועם זאת אני סבור שיש בה עניין בזכות עצמה, והיא גם מהווה פתח לדיון מתמטי מעניין.

הבעיה, כרגיל עם טרחנים מתמטיים, אינה בטרחן עצמו. אין בטרחנות רע מבחינה עקרונית; היא לא מזיקה לאיש פרט אולי לטרחן עצמו, והוא עצמו כנראה נהנה מאוד ממעשה ידיו. הבעיה מתחילה רק כשהוא מנסה לפרסם את עבודתו. לעתים הפרסום מוגבל לחוגים המתמטיים, ואז הנזק שנגרם הוא בזבוז זמנם של כמה מתמטיקאים (ואולי גם שעשוע שלהם). גם זה אינו נורא כל כך. במקרים אחרים, הטרחן מפרסם את תוצאותיו בצורה עצמאית - בעבר הוא נאלץ לשלם הון כדי להוציא ספר, ובימינו עתירי הבלוגים הכל נהיה קל יותר. גם הטרחן שאני מתאר הפעם כתב את הגיגיו ראשית בבלוג (וכך גם הטרחן שכותב שורות אלו מגביל את קשקושיו לבלוג).

גם בלוג ודומיו אינם נוראיים - מי שרוצה, יקרא, ומי שלא - לא. הבעיה מתחילה כשכלי תקשורתי מבוסס יותר פורש את חסותו על הטרחן, במקרה זה - אתר Ynet.

לפני מעט יותר משנה פרסם אתר Ynet מאמר בשם “האם יש שיטה למציאת שורש ריבועי?” פרי עטו של אחד, יהודה בלו. למען הגילוי הנאות אציין שהכרתי את יהודה בלו עוד מלפני כן, שלא באופן אישי, דרך ויקיפדיה העברית, והיו לנו חיכוכים אישיים לא מעטים שם. בלו פרסם את המאמר שנה לפני כן בבלוג האישי שלו, וניתן למצוא אזכור לרעיונות שבו כבר בדף השיחה שלו בויקיפדיה מתחילת 2005. המאמר מעיד, לדעתי, על כשל חמור ביותר של Ynet, משתי סיבות: האחת, המאמר הוא חסר ערך מתמטי לחלוטין, ואין מקום לפרסמו תחת “מתמטיקה” - יותר מכך, הוא פשוט מטעה את הקוראים ומוסר להם מידע שגוי. השניה, המאמר כתוב איום ונורא ויהיה כנראה בלתי מובן ובלתי קריא לאלו שלא יתאמצו לפענחו. התוצאה? הקוראים שאינם מבינים במתמטיקה גם יקבלו מידע מוטעה והבנתם לגבי מתמטיקה תשתבש עוד יותר, וגם יקבלו את הרושם שמאמרים שעוסקים במתמטיקה הם גיבובי מילים בלתי ברורים - עוד הרחקה של המתמטיקה מחיי היום-יום ומקהל הקוראים הלא מתמטי. כשזה מתפרסם בעיתון רשת “מכובד” ונפוץ כמו Ynet, ועוד במדור המדע שלו, הנזק הנגרם הוא ממשי. זה גרוע פי כמה מאותה כתבת “מטרנסצנדנטלי יוצא ריאלי” ב”הארץ” שעליה התקוממתי בעבר.

עוד דבר מביך למדי הוא שמבט במאמר כפי שהוא מופיע בבלוג נותן את הרושם שהוא הושם ב-Ynet מבלי לעבור שום עריכה. קיימת כמובן האפשרות שהמאמר בבלוג נערך אחרי הפרסום ב-Ynet ועל פיו, אבל אני בספק אם זה קרה. המסקנה הפשוטה - מישהו ב-Ynet לקח מאמר מבלוג ושם אותו באתר מבלי לבצע בו חלקיק עריכה (שברור שהיא נדרשת) - אני לא בטוח אם הוא אפילו טרח לקרוא אותו (זה לא המאמר היחיד שבלו פרסם שם). אם הייתם שואלים אותי, הייתי חושד שזו הלצה של האקר.

אם כן, זה למה זה רע. אבל מה זה? להלן סקירה של המאמר.

פסקת הפתיחה (שהתווספה רק במאמר ואינה מופיעה בבלוג) היא המרתקת (והקריאה) ביותר. הנה היא בשלמותה:

“מסיבה לא ברורה, לא מחפשים המתמטיקאים שיטה למצוא שורש ריבועי או שורש כלשהו. האם יש בידם הוכחה מתמטית שלא מתאפשרת שיטה שכזו? עדיין לא. חידת המספרים הראשוניים היא שמונעת מציאת השיטה לכאורה, ועד שלא תיפתר, אין על מה לדבר. ברם, שום ניסיון רציני לתקוף סוגיה זו לא נעשה, ואפילו לא מחפשים דרך כלשהי למצוא שורש ריבועי, של חלק מהמספרים הדו-חזקתיים.”

יש כאן מספר לא קטן של מאפייני טרחנות (כפי ש-Underwood Dudley מציג אותם היטב). המאמר מתחיל בפסילת העולם המתמטי הנוכחי בכל הנוגע להקשרי עבודתו של הכותב - המתמטיקאים מתעלמים ממשהו שברור לכותב המאמר שהוא חשוב. הבעיה היא שהמתמטיקאים בעבר חיפשו שיטה למציאת שורש ריבועי או שורש כלשהו, ואפילו מצאו. שיטה למציאת שורש ריבועי הייתה ידועה כבר לבבלים הקדמונים. בימינו יש שיטות רבות כאלו (אני מקווה להציג חלק בפוסט הבא), וכל מחשבון כיס בן זמננו מסוגל להוציא שורש כלשהו.

האמירה הבאה זורקת לחלל האוויר מושג שאינו קיים: “חידת המספרים הראשוניים”. ללא ספק, המספרים הראשוניים הם הבסיס לבעיות מעניינות רבות, אבל לא קיימת בעיה בשם “חידת המספרים הראשוניים”. מילא, זה לא מאמר מדעי, אבל משתמשים בחידה הלא קיימת הזו בתור נימוק לכך שלא תימצא השיטה שכבר נמצאה.

בשלב הבא ממשיכים להמעיט בערכו של העולם המתמטי: “שום נסיון רציני לתקוף סוגיה זו לא נעשה” - זה אופייני למדי לטרחן, שלעתים קרובות יהיה בור מוחלט במתמטיקה (כבר אמרתי ש-Dudley מביא בפרק אחד את סיפורו הנוגע ללב של טרחן שהמציא שיטה קשה ביותר למציאת שלשות פיתגוריות, מבלי לדעת שקיימת שיטה טריוויאלית למציאתן), לחשוב שאף מתמטיקאי לא התייחס עד כה לבעיה שהוא פונה אליה.

סוף הפסקה עוסק סוף סוף בנושא האמיתי של המאמר: “המספרים הדו-חזקתיים”. זה עוד מאפיין לטרחן - להמציא שם חדש ומסובך למושג טריוויאלי ומוכר - במקרה הזה (כפי שמתברר בהמשך המאמר), המספרים הדו חזקתיים הם פשוט מספרים טבעיים שיש להם שורש ריבועי טבעי (בלו מביא את 81, שאחד משורשיו הוא 9, בתור דוגמה).

המשך המאמר מכיל רשימה מפלצתית של “משפטים” (“להלן המשפטים הבאים”), שכל אחד מהם בפני עצמו הוא פשוט ציון עובדה טריוויאלית (טריוויאלית במובן של “רמת בית ספר יסודי”, לא במובן של “סטודנט באוניברסיטה מסוגל להשלים את הפרטים בקלות בעצמו”). מטרתם של כל המשפטים הללו היא שני המשפטים האחרונים, ולא ברור בשביל מה היה צריך לציין את הקודמים - הרי הוכחות אין כאן, ובפרט אין טיעונים כדוגמת “המשפט הזה נכון בגלל המשפטים הקודמים לו”.

ששת המשפטים הראשונים (ועוד אחד בהמשך) עוסקים בזוגיות ואי זוגיות ובצורה שבה היא משתנה או נשמרת תחת פעולות האריתמטיקה. אפשר לצמצם אותן לטבלאות כפל וחיבור (בלו מדבר על חיסור - אין הבדל) פשוטות:

אי זוגי	זוגי	חיבור
אי זוגי	זוגי	זוגי
זוגי	אי זוגי	אי זוגי

אי זוגי	זוגי	כפל
זוגי	זוגי	זוגי
אי זוגי	זוגי	אי זוגי

“תרגיל” נחמד שעוזר לזכור את זה - החליפו את “זוגי” ב-0 ואת “אי זוגי” ב-1 וראו מה קיבלתם - אלו טבלאות החיבור והכפל מודולו 2 (הקשר, כמובן, אינו מקרי).

בשלב הבא יש שתי תוצאות שנובעות מיידית מלוח הכפל - למשל, שמספר דו חזקתי זוגי הוא בעל שורש זוגי, ועבור דו חזקתי אי זוגי השורש אי זוגי. תרגיל - להבין למה זה נובע מטבלאות הכפל.

משפט אחד אולי נשמע מעניין מבין המשפטים שצצים בשלב הזה: “אין מספר דו-חזקתי אי זוגי שמסתיים בספרה 3” . זה נובע בצורה בלתי נמנעת מטבלת הכפל שלומדים בכיתה א’ - מספיק להראות שכל המספרים האי זוגיים הקטנים מ-10 לא נותנים 3 כספרה אחרונה כשמעלים אותם בריבוע. מה שכן, לא ברור מה הקשר של המשפט הזה לשאר המשפטים. כנראה שהוא סתם נוצר אגב משחק.

בהמשך מגיעים לרמות חדשות של טריוויאליות: למשל, “כל מספר זוגי נמצא בין שני מספרים אי זוגיים” וההפך, שמהם נובע מייד (למה?) ש-“בין מספר דו-חזקתי אי זוגי יהיו תמיד שני מספרים דו-חזקתיים זוגיים”. עוד משפט תמוה במיוחד הוא “כל מספר הוא שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי” ו-“כל מספר זוגי מתחלק לשניים” (זו לא ההגדרה?) וכיוצא בזה.

רק לקראת הסוף מגיע סוף סוף משהו בעל תוכן מהותי יחסית: “תוצאת החלוקה בארבע של כל מספר דו-חזקתי זוגי מהווה מספר דו-חזקתי אחר”. גם זו טענה טריוויאלית: אם x הוא דו-חזקתי זוגי, אז גם השורש שלו זוגי, כלומר \( x=(2a)^2=4a^2 \) ולכן מן הסתם ניתן לחלק אותו ב-4 ולקבל עוד מספר דו חזקתי. ה”משפט” הבא הוא דרך מסובכת להציג את הדבר הפשוט שכבר ראינו: “מכפלת השורש בשניים של תוצאת החלוקה בארבע של מספר דו-חזקתי זוגי, מהווה את השורש הריבועי של המספר הדו-חזקתי הזוגי” זו פשוט כתיבה מסורבלת של המשוואה \( x=(2a)^2 \).

המשפט האחרון הוא עוד וריאציה על הקודם, במקרה שבו אפשר לחלק ב-16 ולא רק ב-4 (זה לא תמיד אפשרי, למשל עבור 4 או 36): “מכפלת השורש בארבע של תוצאת החלוקה ב-16 ללא שארית של מספר דו-חזקתי זוגי, מהווה את השורש הריבועי של המספר הדו-חזקתי הזוגי". תרגיל - לפענח.

מה היה הטעם בכל הרשימה הזו, של עובדות שתלמיד בבית ספר יסודי יכול לגלות בעצמו? זה ניתן בפסקה הבאה: “לפי שני המשפטים האחרונים, ישנה שיטה למצוא שורש ריבועי של מחצית מן המספרים הדו-חזקתיים הזוגיים או רבע מכלל המספרים הדו-חזקתיים". זה נשמע מעניין, בכל זאת. שיטה למציאת שורש היא לא דבר טריוויאלי.

המשפט הבא, לעומת זאת, לחלוטין לא מעניין: “כמו כן, די בכך שתוצאת חלוקה של מספר זוגי בארבע תהא ללא שארית, כדי להצביע על כך שיתכן שהוא מספר דו-חזקתי, קרי שיש לו שורש ריבועי". כאן מסופק מה שמכונה במתמטיקה "תנאי הכרחי" - כלומר, תנאי שאם הוא לא יתקיים, תכונה מסויימת לא תתקיים. ברור מהמשפטים לעיל שאם מספר זוגי הוא דו חזקתי, הוא מתחלק ב-4, כלומר זה הכרחי - אבל זה לא מספיק, ולכן המשפט אומר מעט מאוד. שימו לב למילה "ייתכן" - היא לב העניין כאן. ייתכן. אפשר גם לומר "די בכך שתוצאת חלוקה של מספר בעשרה מספרים אקראיים קטנים ממנו וגדולים מ-1 תהיה עם שארית כדי להצביע על כן שייתכן שהוא ראשוני". האם פתרתי את בעיית בדיקת הראשוניות?

ובכן, כעת אנחנו מצפים בכיליון עיניים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה במאמר - שיטה למציאת שורש עבור חלק מהמספרים. במקום לקבל אותה, אנחנו מקבלים את הפסקה המופלאה הבאה:

“נשוב על הדוגמה למען התלמידים: הבוקר לאחר שזללתם את הלחמניה ושתיתם את שקית השוקו בקייטנה, נתברר לכם שהביקור בבריכה התבטל. מה לעשות? אתם שואלים את עצמכם. הרי כל החברים שלכם יושבים עכשיו מול הטלוויזיה וצופים בפינוקיו, נילס הולגרסון והלב (כל יום בערוץ מספר אחד בארץ). מיד אתם אצים-רצים הביתה ומגלים ששמשון ויובב חטפו את בלה, שנילס נתפס על ידי השועל, והקוף של מרקו הציל גור של שועל. בלית ברירה, אתם מכבים את הטלוויזיה ופותחים את חוברות החשבון של תמר פיש, שאמא קנתה לכם לחופש הגדול. אך אויה, לאן נעלם פלוטו...כלומר, המחשבון? הכיצד נמצא שורש ריבועי של 20736?”

לא אומר את דעתי המדוייקת על הפסקה הזו. רק אעיר שגם עורך לא-מתמטי בהשכלתו היה צריך להבין שמקומה לא יכירנה במאמר.

אבל כעת, סוף סוף, מגיעים לשיטה. לא אצטט כאן את השיטה עצמה, כי אין בכך טעם רב - מה שבלו מציע לעשות הוא לחלק את המספר ב-4 או ב-16 (אם הוא זוגי), עד שמגיעים למספר שהוא קטן מספיק כדי שנדע במדוייק את השורש שלו. ומה אם המספר אי זוגי? בלו אומר “באם הוא מספר אי זוגי יש לפעול לפי השיטה האי זוגית”. לא הצלחתי להבין מהמאמר מהי השיטה האי זוגית - אני מקווה שאחרים יוכלו להסביר לי.

אם כן, לא פתרנו את הבעיה. מה עושים, למשל, עם 283,024? חלוקה ב-16 נותנת את 17,689. לכו תוציאו לו שורש עכשיו בלי שיטה מסודרת (השורש הוא 133, אומר המחשבון שלי). בקיצור, השיטה חסרת תועלת למעט כמה מקרים פרטיים שבהם אפשר לחלק שוב ושוב ב-16 עד שמגיעים למספרים קטנים ממש - בוודאי לא עבור “רבע מהמספרים”.

לכאורה כאן המאמר היה צריך להיגמר, אבל הוא נמשך עם עוד כמה תגליות שגילה בלו, כנראה במהלך המשחק שבו המציא את השיטה שלו. זה מתחיל בדברי הלל עצמיים:

“עד כמה שידוע לי, אף אחד מלבדי בעולם לא מתעניין במספרים הללו (מספרים דו-חזקתיים זוגיים), מבחינת התבנית הייחודית הזו כסדרה (ואינני מתכוון לבינאריים), מדוע? למעשה, אני אפילו המצאתי את המונח הזה.”

שוב - הפגנת בורות באמצעות הכסות של “עד כמה שידוע לי”, וגאווה תמוהה על כך שהוא המציא את המונח ה”חדש” של מספר דו חזקתי. כעת מגיעה שורה של שוויונות זהים ברעיונם, שהאחרון שבהם הוא:

1024=512+256+128+64+32+16+8+4+2+1+1

היופי שבמשוואה הזו כנראה לא חמק גם מעיניו של בלו, אלא שהוא בטוח, משום מה, שהוא הראשון שגילה אותו. למעשה, הוא גילה מקרה פרטי של הנוסחה הסטנדרטית לטור הנדסי: פרט לאחד משני ה-1 שבהתחלה, כל האיברים שהוא מחבר הם איברי הטור ההנדסי \( \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \) (הטור שמנתו 2 והאיבר הראשון שלו 1). בחטיבת הביניים לומדים שסכום טור שכזה הוא \( \frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1 \), ולכן ברור שאם נחבר עוד 1 לסכום נקבל \( 2^n \). יפה, בהחלט יפה (ואף מועיל פה ושם), אך ממש לא תגלית חדשה.

זהו המאמר. יש דברים שנותרו סתומים לגמרי, כמו “חידת המספרים הראשוניים” המדוברת. המאמר עורר דיון בויקיפדיה העברית שבו השתתף הכותב - תחילתו כאן והמשכו כאן. מהדיון קיבלתי את הרושם ש”חידת המספרים הראשוניים” מתייחסת לכך שקשה לפרק מספר לגורמים ראשוניים (“קשה” מבחינה חישובית). כמובן שחידה אין כאן - פירוק לגורמים אכן מספק דרך (מאוד לא יעילה) להוציא שורשים. אפרט עליה, ועל כמה מהשיטות האמיתיות להוצאת שורש, בפוסט הבא.