שאלות ותשובות - מקבץ מס’ 1

החלטתי לפתוח במסורת חדשה. בין הנשמות התועות שמגיעות בטעות אל האתר הזה ישנן רבות שחיפשו ביטוי ספציפי מדוייק עד כדי כך שאוכל לנחש מה רצו. מכיוון שלרוב אין תשובה לשאלה שלהן בדף שאליו הגיעו, אנסה לענות על השאלות כאן, במקבצים.

1) “חבורה מסדר 6” - קיימות בדיוק שתיים כאלו. האחת היא \( \mathbb{Z}_6 \) - החבורה הציקלית עם 6 איברים (באופן כללי, לכל מספר איברים, קיימת חבורה ציקלית אחת ויחידה עם מספר איברים שכזה). אפשר להראות שכל חבורה אבלית חייבת להיות החבורה הזו (על פי משפט קושי יש תת חבורות נורמליות מסדרים 2 ו-3; ואז החבורה כולה היא המכפלה הישרה של שתיהן, ומכיוון ש-2 ו-3 זרים מקבלים חבורה ציקלית). החבורה השנייה, שאינה אבלית, היא \( S_3 \). כל חבורה אחרת עם 6 איברים איזומורפית לאחת משתיהן.

2) “האם 0 הוא שדה” - בדרך כלל כשמגדירים שדה, דורשים קיום של שני איברים שונים זה מזה - 0 ו-1. אם הם זהים, נובע מתכונותיהם שכל איבר שווה ל-0. מכיוון שזה יצור מנוון למדי, הוא לא נחשב לשדה.

3) “מציאת שורש במחשבון” - אני מניח שהכוונה איננה ל”איך מוצאים את הכפתור של הוצאת שורש במחשבון” אלא “איך המחשבון עושה את זה”. התייחסתי לנושא חלקית באחד הפוסטים שלי. ישנן שיטות רבות למציאת שורשים - שיטה ישירה אחת היא שיטת-ניוטון רפסון, שחוזרת על פעולת חשבון בסיסית (שמערבת חיבור, חיסור, כפל וחילוק בלבד, שאותם קל למחשבון לעשות) מספר פעמים ובכל פעם משפרת את הדיוק של הקירוב לשורש (שורש שאינו שלם הוא אי רציונלי - אי אפשר לכתוב לו הצגה עשרונית סופית). יש שיטות עקיפות יותר - למשל, אם המחשבון כבר יודע לחשב את פונקצית הלוגריתם הטבעי, אפשר להשתמש בה כדי לחשב שורשים.

4) “ההוכחה ש-PRIME שייך ל-P” - הכוונה כנראה היא למאמר “PRIMES in P” המפורסם (קובץ PDF), שמתאר את אלגוריתם AKS שבודק באופן דטרמיניסטי ראשוניות של מספר תוך שימוש בזמן פולינומי בגודל הייצוג של המספר.

5) “מדוע לאפס אין הופכי” - הופכי של אפס, על פי הגדרה, צריך להיות מספר \( x \) כך ש-\( x\cdot 0=1 \). אלא מה, קל להוכיח שכל מספר שנכפל באפס נותן אפס, ולכן נכונות השוויון הנ”ל תגרור ש-0=1, תוצאה בעייתית משהו. הוכחה לכך שכל מספר כפול אפס זה אפס: \( y\cdot 0=y\cdot (0+0)=y\cdot 0+y\cdot 0 \) והעברת אגפים נותנת את התוצאה.

6) “מהו פאי מתמטיקה” - פאי הוא מספר שמייצג את היחס בין היקף מעגל וקוטרו. כלומר, קחו מעגל (כלשהו!), חשבו את ההיקף שלו, חשבו את הקוטר, חלקו את המספר הראשון בשני, והרי פאי, המסומן \( \pi \). מתברר שזהו מספר קבוע, ולא משנה איזה מעגל ניקח. מתברר גם שלא קיים לו ייצוג עשרוני סופי או מחזורי, כך שחישוב המוני ספרות שלו הוא תחביב של אנשים מסויימים. מתברר גם שהוא צץ ומופיע במקומות שונים ומשונים במתמטיקה , גם כאלו שאינם קשורים בבירור למעגלים. למשל, בתורת המספרים, ההסתברות ששני מספרים שנבחרו באקראי יהיו זרים זה לזה היא, משום מה, \( \frac{6}{\pi^2} \).

7) “איך בונים מכונות זמן” - כרגע התיאוריות הפיזיקליות היחידות שאני מכיר שמדברות על כך שאולי אפשר לנוע בזמן בצורה כלשהי מדברות על שימוש בחורים שחורים לשם כך, ולכן “בנייה” היא לא מילה מדוייקת בהקשר זה. עם זאת, יש צורה מסויימת של מסע “לעתיד” שסופרי מד”ב אוהבים להשתמש בה ונובעת מתורת היחסות - אם ניסע במהירות גבוהה מאוד (קרובה למהירות האור, מה שאינו אפשרי עם הטכנולוגיה של ימינו), הזמן “שלנו” יחלוף יותר לאט מהזמן של “האחרים” (אני משאיר את “האחרים” מעורפל במתכוון - כצפוי, כל העסק הרבה יותר מסובך ממה שנראה בספרי מד”ב). כלומר, אצלנו יחלוף חודש, ואצלם תחלוף חצי מאה. בתיאוריה. הבעיה המהותית ביותר שצריך לפתור לפני שנוסעים בזמן היא הפרדוקסים הרבים שנובעים מכך - פרדוקס הסבא, למשל.

8) “איך עוצרים לולאה אינסופית” - מן הסתם לא עוצרים, הרי היא אינסופית! ובכל זאת, ברמת התוכנה, רוב שפות התכנות תומכות בהוראה כמו break שיוצאת מלולאה מייד, גם בלי שיתקיים התנאי שאמור לסיים אותה; וברמת המשתמש, ניתן לסגור תוכנות שנכנסו ללולאה אינסופית מבחוץ על ידי פקודת ctrl+c אם התוכנה הופעלה מתוך טרמינל (חלון DOS או טרמינל של לינוקס, למשל), ואחרת - אפשר להשתמש ב-ctrl+alt+delete הישן והטוב (בווינדוס) לבחור את התוכנה התקועה ולהגיד לווינדוס לחסל אותה בכוח (בלינוקס זה קצת יותר פשוט - ctrl+alt+escape ולחיצה על התוכנה עצמה סוגר אותה בדרך כלל).

9) “הגדרת היחס הלקסיקוגרפי” - כשמגדירים אותו על מילים, הרעיון הוא זה: מגדירים סדר על אותיות (א’ בא לפני ב’ וכדומה), ואז מבצעים השוואה בין שתי מילים כך: משווים את האות הראשונה של שתיהם. אם לא התקבל שוויון, היחס ביניהן הוא היחס בין המילים (מילה שמתחילה ב-כ’ היא אחרי מילה שמתחילה ב-ט’). אם היה שוויון, עוברים לאות הבאה ועושים את אותו הדבר, וכן הלאה. אם המילים לא מאותו האורך, והתקבל שוויון בכל האותיות של המילה הקצרה יותר, אז היא ראשונה (“אב” בא לפני “אבא”). אם שתי המילים מאותו אורך ועם אותן אותיות, הן אותה מילה… הגדרת הסדר הלקסיקוגרפי באופן כללי יותר, על סדרות סופיות (או אפילו אינסופיות) של איברים כלשהם שיש ביניהם סדר דומה. השאלה היא רק האם מתחילים מ”תחילת” הסדרה או מה”סוף” שלה (מה שבלתי אפשרי בסדרות אינסופיות, כמובן) ולעתים מבדילים בין “יחס לקסיקוגרפי ימני” ו”יחס לקסיקוגרפי שמאלי” על בסיס זה.

10) “מהם מספרים שליליים” - אם מספרים חיוביים בחשבון הבנק מסמלים כמה כסף הבנק חייב לך, הרי שמספר שלילי בחשבון הבנק מסמל כמה כסף אתה חייב לבנק - כלומר, במובן מסויים, המספרים השליליים הם ה”נגדיים” לחיוביים. אם חום של 100 מעלות צלזיוס אומר שצריך לקרר ולהוריד 100 מעלות כדי להגיע לנקודת הקיפאות של המים, הרי שחום של מינוס 100 מעלות צלזיוס אומר שצריך לחמם ולהעלות 100 מעלות כדי להגיע לאותה נקודה. אם קומה 5 פירושה שאנחנו נמצאים חמש קומות מעל הכניסה, הרי שקומה מינוס 2 פירושה שאנחנו נמצאים שתי קומות מתחת לכניסה. בגישה הפורמלית, מגדירים מספר שלילי \( -a \) בתור המספר שכשמחברים אותו עם \( a \) מקבלים את 0 - וייחודו של אפס בכך שהוא המספר הנייטרלי לחיבור (אם מחברים משהו עם אפס, מקבלים את אותו המשהו).

11) “האם לוגיקה היא מוחלטת” - זו נשמעת כמו שאלה פילוסופית יותר מאשר מתמטית, ולכן ארשה לעצמי בעיקר לחמוק ממנה; התשובה הקצרה היא, לדעתי, “לא”. הארוכה היא שלוגיקה מתמטית היא בסך הכל ענף שעוסק בחקר מושגים כמו “הוכחה” באמצעים מתמטיים, כמו שתורת החבורות עוסקת בחקר מושגים כמו “חבורה” באמצעים מתמטיים, וממילא היא אינה מוחלטת - יש סוגים שונים של לוגיקה (גם לוגיקה עם ערכים נוספים פרט ל”אמת” ו”שקר”) ומערכות ההוכחה שקיימות הן רבות ושונות בכוחן, ובאקסיומות שהן מתבססות עליהן. אין לוגיקה “אחת” שנכונה להכל. כדי לחמוק מהאשמה בפוסט-מודרניזם רק אסייג את עצמי ואזכיר שזה לא אומר שכל לוגיקה היא נכונה; בפרט, תורות (מערכות הוכחה+אקסיומות) שאפשר להוכיח מהן דבר והיפוכו נחשבות לחסרות ערך לחלוטין (כי אפשר להוכיח מהן את הכל).